Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001).pdf

онал (15.5.22) очень быстро осциллирует за исключением области вблизи fα = 0, так что этот функционал действует как дельта-фун- кция, воспроизводя калибровочное условие Ландау ∂μAμ = 0, åñòå-

ственно приводящее к пропагатору, удовлетворяющему соответствующему условию ∂μ αμ,βν = 0. При ненулевых значениях ξ функционал

B[f] не отбирает калибровочных полей, удовлетворяющих какомуто конкретному калибровочному условию, наложенному на поле Aαμ.

Обычно ссылаются на пропагатор (15.5.25) как на пропагатор в «обобщенной калибровке Фейнмана» или «обобщенной ξ-калибровке». Ча-

сто хорошей стратегией является вычисление физических амплитуд с произвольным ξ, и последующая проверка в конце вычислений, что результат от ξ не зависит.

С одной оговоркой фейнмановские правила становятся теперь очевидными. Вклады вершин извлекаются из слагаемых со взаимодействием в исходном лагранжиане L, пропагаторы калибровочного поля даются выражением (15.5.25), а пропагаторы полей материи вычисляются как и раньше. Конкретно, трилинейное взаимодействие в L имет вид

−1 Cαβγ (∂μ Aαν − ∂νAαμ )Aβμ Aγ ν

2

èсоответствует вершине, к которой прикреплены три линии век-

торных бозонов. Если эти линии несут (входящие) импульсы p, q, k, а также лоренцовские и калибровочные индексы μα, νβ, ργ, òî â

соответствии с приавилами Фейнмана в импульсном пространстве, вклад такой вершины в подынтегральное выражение равен

i(2π)4 δ4 (p + q + k) [−iCαβγ ]

× [pνημλ − pλ ημν + qλ ηνμ − qμ ηνλ + kμ ηλν − kνηλμ ].(15.5.26)

Кроме того, член взаимодействия А4 в L, имеющий вид

−1 CεαβCεγδ Aαμ Aβν Aγ μ Aδ ν

4

соответствует вершине, к которой прикреплены четыре линии векторных бозонов. Если эти линии несут (входящие) импульсы p, q, k,

l, а также лоренцовские и калибровочные индексы μα, νβ, ργ è σδ,

вклад такой вершины в подынтегральное выражение равен

i(2π)4 δ4 (p + q + k + l) × − CεαβCεγδ (ημρηνσ − ημσ ηνρ )

− Cεαγ Cεδβ (ημσ ηρν − ημνησρ) − CεαδCεβγ (ημνηρσ − ημρηνσ ) .(15.5.27)

(Напомним, что структурные константы Cαβγ включают множители

констант связи, так что множители (15.5.26) и (15.5.27) – соответственно, первого и второго порядка по константам связи.)

Единственное усложнение в фейнмановских правилах, с которым мы до сих пор не имели дела, это наличие в (15.5.21) множителя Det F, который не постоянен в произвольных калибровках. Переходим к рассмотрению этого множителя.

15.6. Госты

Посмотрим, как модифицируются фейнмановские правила для неабелевых калибровочных теорий с учетом множителя Det F в формуле (15.5.22). Для этого напомним, что, как показано в разделе 9.5, детерминант любой матрицы F αx,βy можно выразить как

функциональный интеграл

Здесь ω*α è ωα — набор независимых антикоммутирующих класси-

ческих переменных, а константа пропорциональности не зависит от поля. (Чтобы воспроизвести множитель Det F, полевые переменные ωα è ω*α необходимо выбрать фермионными. Если бы они были бо-

зонными, то функциональный интеграл (15.6.1) был бы пропорционален (Det F)–1.) Ïîëÿ ω*α è ωα не обязательно связаны операцией

комплексного сопряжения. Действительно, в разделе 15.7 мы увидим, что для некоторых целей следует предположить, что ω*α è ωα

являются независимыми действительными переменными. Наличие множителя Det F эквивалентно включению IGH(ω,ω*) в полное эффективное действие и интегрированием по «полям» ω è ω*. Иначе

говоря, для произвольных фиксирующих калибровку функционалов fα(x) получаем

Ïîëÿ ωα è ω*α являются лоренцовскими скалярами (по край-

ней мере, в ковариантных калибровках), но подчиняются статистике Ферми. В данном случае связь между спином и статистикой реально не нарушается, так как не существует описываемых этими полями частиц, которые могли бы возникать в начальном или конечном состояниях*. По этой причине ωα è ω*α называются полями

«гостов» и «антигостов»**. Из (15.6.2) следует, что действие подчиняется закону сохранения величины, называемой «числом гостов» или «гостовским числом», равным +1 для ωα, –1 äëÿ ω*α è 0 äëÿ âñåõ

остальных полей.

Фейнмановские правила для гостов проще всего выглядят в случае, когда «матрица» F может быть записана в виде

* Формально теорема о связи спина и статистики не нарушена, потому что эти поля нарушают условие теоремы о дефинитности метрики гильбертова пространства состояний. — Прим. ред.

** Английские термины «ghosts» и «antighosts», буквально «духи» и «антидухи», в контексте калибровочных1 теорий чаще переводятся калькой «госты» и «антигосты». Термин «духи» обычно используют в более общем контексте для обозначения полей с индефинитной метрикой. — Прим. ред.