Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001).pdf

ãäå β0 = 11 – 2nf/3 è Λ d 250 МэВ — квантово-хромодинамический

масштабный фактор. Поэтому для малых инстантонов множитель expe− 8π2g12 R j равен

expe− 8π2g12 R j = (RΛ)β0 .

Для больших инстантонов с RΛ . 1 этот множитель вычис-

лить нельзя, но ясно, что в данном случае не происходит подавления инстантонных эффектов.

Несмотря на первоначальные надежды, открытие инстантонов не привело к заметному продвижению в нашей способности производить количественные расчеты в квантовой хромодинамике. С другой стороны, как мы сейчас увидим, это открытие привело к существенным качественным изменениям в понимании квантовой хромодинамики и других калибровочных теорий.

Уже тот факт, что существуют решения полевых уравнений, для которых интеграл (23.5.15) не обращается в нуль, достаточен для того, чтобы разрешить обсуждавшуюся в разделе 19.10 проблему U(1). При глобальных U(1) преобразованиях ψ → exp(iγ5α)ψ ìåðà

интегрирования по кварковым полям подвергается изменению, которое определяется формулой (22.2.10):

где (при матрице t, равной единице) аномалия A(x) дается выражением (22.2.45):

Существование этой аномалии само по себе не решает проблему U(1), поскольку величина (23.5.22) является полной производной и поэтому в случае несингулярного калибровочного поля, достаточ- но быстро убывающего на бесконечности, имеет равный нулю интеграл. Инстантонное решение убывает лишь как 1/r и приводит к ненулевому значению этого интеграла, которое определяется формулами (23.5.22), (23.5.18) и (23.5.5):

Этим показывается, что аномалия действительно нарушает U(1) киральную симметрию.

Как мы видели в разделе 22.4, токи барионного и лептонного чисел также содержат аномалии, вызванные взаимодействием кварков и лептонов с SU(2) ´ U(1) калибровочными полями стандартной

модели. Поэтому инстантонные конфигурации SU(2) калибровочного поля приводят к нарушению сохранения числа барионов и лептонов 25. Как отмечалось в разделе 22.4, существует ряд токов, сохранение которых не нарушается аномалиями или чем-то еще, типа разности барионного и лептонного чисел или разностей электронных, мюонных и тау-лептонных чисел, так что эти разности будут сохраняться в любом нарушающим сохранение барионного и лептонного числа процессе. Например, распад протона или дейтрона запрещен, но распад He3 ® e+ + m+ +`nτ разрешен. Амплитуды этих эффектов подавлены тем же множителем exp(–8|n|p2/g2), что и раньше, но теперь g является SU(2) константой связи e/sin q, вычис-

ленной не при скользящем масштабе, а в естественном масштабе электрослабых процессов порядка mZ. Áåðÿ e2/4p = 1/129 (см. раздел 18.2) и sin2q = 0,23, находим, что подавляющий множитель при |n| = 1 равен exp(–373). Похоже, что наблюдение распада He3 íà òðè

антилептона маловероятно.

* * *

Существует иной подход 26, проливающий свет на некоторые1 стороны физики инстантонов. Можно ожидать, что во временной калибровке с Aα4(x, x4) = 0 калибровочное поле при x4 ® ±¥ ñòðå-

мится к независящим от времени чистым калибровкам

ãäå g±(x) — групповые элементы в представлении, определяемом генераторами ta. Предполагая, что Aα(x, x4) обращается в нуль при x ® ¥, групповые элементы g±(x) должны стремиться при x ® ¥ к постоянным значениям g±, òàê ÷òî ïðè x4 ® ¥ трехмерные про-

странства можно рассматривать как три-сферы с точкой на бесконечности, рассматриваемой как обыкновенная точка. Следуя тем же рассуждениям, что и при выводе формулы (23.4.13), получим

eijk z d3x Trog±−1(x)¶ig± (x)g±−1(x)¶jg± (x)g±−1(x)¶kg± (x)t = 24p2n± ,

(23.5.25)

ãäå n± — целые числа. Интеграл по границе 4-пространства в (23.5.2)

можно рассматривать как разность интегралов по «плоскостям» x4 = +¥ è x4 = –¥, так что из формул (23.5.8) и (23.5.18) (с N = 1) нахо-

äèì:

Экспоненциальный множитель exp(–8|n|p2/g2) èç (23.5.19) ìîæ-

но поэтому рассматривать как амплитуду перехода от конфигурации с пространственным топологическим числом n– ïðè x4 ® -¥ ê

конфигурации с пространственным топологическим числом n+ ïðè x4 ® +¥. Экспоненциальный вид этого множителя при n ¹ 0 отража-

ет то, что это — процесс тунеллирования: никакой непрерывной последовательностью чисто калибровочных полей невозможно перейти от конфигурации с одним пространственным топологическим числом к конфигурации с другим таким числом.

Интерпретация множителя exp(–8|n|p2/g2) как амплитуды тун-

нельного перехода позволяет предположить, что процессы с несохранением барионного и лептонного чисел могут происходить быстрее при температурах выше 1 ТэВ, где, вместо того, чтобы тунеллировать сквозь барьер, тепловые флуктуации могут перевести вакуум над барьером 27. Такой процесс может иметь значение в космологии, но при этом все равно должны соблюдаться упомянутые выше правила отбора: тепловые флуктуации не меняют разности плотностей барионного и лептонного чисел или разностей плотностей трех типов лептонных чисел.

23.6. Óãîë òåòà

Мы видели, что существуют конфигурации с произвольным целым топологическим числом. Откуда мы знаем, что эти конфигурации должны включаться в функциональный интеграл? Чтобы рассуждать непредвзято, предположим, что мы складываем конфигурации с произвольными весовыми множителями f(n) äëÿ êàæ-

дого топологического числа, не исключая при этом возможности,

что некоторые или все эти весовые множители могут равняться нулю. Тогда среднее значение локальной наблюдаемой О, находящейся внутри большого евклидового пространственно-временного объема Ω, равно

ãäå ϕ означает все поля теории, индекс ν при знаках интеграла

указывает, что мы должны включить только конфигурации с топологическим числом ν, à IΩ[ϕ] — интеграл от лагранжиана по про- странственно-временному объему Ω. Предположим теперь, что Ω разделен на два очень больших объема Ω1 è Ω2, причем O находится в Ω1. Интеграл по всем полям с топологическим числом ν можно записать как интеграл по всем полям с топологическим числом ν1 в объеме Ω1 и с топологическим числом ν2 в объеме Ω2, причем производится сумимирование по ν1 è ν2 при условии ν1 + ν2 = ν. Таким

образом, в хорошем приближении выражение (23.6.1) принимает вид

(23.6.2)

Но тогда при произвольных весовых множителях это среднее не совпадает с тем, которое бы получилось, если просто отбросить объем Ω2, в противоречии с общими идеями кластерного разложе-

ния. (См. гл. 4.) Для того, чтобы в этом отношении сократились множители, включающие объем Ω2, должно выполняться равенство

f(ν1 + ν2 ) = f(ν1)f(ν2 ) .

Так будет в случае, если и только еслии f(ν) имеет вид