Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001).pdf

образом, гомотопический класс g(θ) для любой простой группы Ли

полностью определяется ее гомотопическим классом, получающимся при деформации группы на ее стандартную SU(2) подгруппу.

23.5. Инстантоны

Как мы видели в разделе 23.1, топологически нетривиальные решения чисто калибровочной теории с простой калибровочной группой G в евклидовом пространстве-времени d = 4 измерений соответствуют элементам гомотопической группы π3(G) = Z. Ýòè ðåøå-

ния, представляющие четырехмерные полевые конфигурации, называются инстантонами и (по причинам, которые обсуждаются в следующем разделе) должны включаться вместе со своими флуктуациями в функциональные интегралы. После того, как Белавин, Поляков, Шварц и Тюпкин 1 продемонстрировали существование таких решений, ′ò Õîôò 23 показал, что включение этих конфигу-

раций в функциональные интегралы решает проблему U(1), о которой шла речь в разделе 19.10. Мы сначала обсудим сами инстантонные решения, а затем рассмотрим их роль при вычислении функциональных интегралов.

Согласно выражению (23.1.7), для того, чтобы топологически нетривиальное калибровочное поле имело конечное действие, сами калибровочные поëÿ äолжны при r → ∞ стремиться к чистой калиб-

ãäå Ai ≡ tαAαi è g(x$ ) — зависящий от направления элемент калибро-

вочной группы G.

Поэтому обсуждавшийся в предыдущем разделе топологический инвариант может быть записан с учетом асимптотического поведения калибровочного поля в виде

ãäå θa (a = 1, 2, 3) — любые три параметра, используемые для задания направления единичного 4-вектора x$ . Этот поверхностный

интеграл можно вычислить с помощью теоремы Гаусса. По аналогии с током (22.2.29) в пространстве Минковского, можно определить ток в евклидовом пространстве-времени

дивергенция которого равна

(Здесь εlijkE — полностью антисимметричный тензор с ε1234E ≡ 1). Ìû

используем представление калибровочной группы с полностью антисимметричными структурными константами, так что

где N — константа, зависящая от представления, в котором вычисляется след в выражении (23.5.2). Следовательно выражение (23.5.3) можно записать в виде

Поэтому, для того, чтобы продемонстрировать существование топологически нетривиальных полевых конфигураций, нам следует показать, что существуют такие конфигурации, для которых ин-

Для этой цели очень удобно использовать так называемое неравенство Богомольного 10. Èç òîãî, ÷òî

(24.5.9), так что данное решение принадлежит гомотопическому классу тождественного отображения. Как мы видели в предыдущем разделе, это означает, что решение имеет топологическое число ν = 1. Из выражений (23.4.14) и (23.5.9) (которое в данном случае

следует рассматривать как равенство) имеем

Из выражений (23.5.10) и (23.5.11) (с положительным знаком) находим также, что

Это решение неоднозначно, поскольку его можно подвергнуть трансляции или калибровочному преобразованию, но, если не учи- тывать эти степени свободы, не существует других решений полевых уравнений с топологическим числом единица 24.

Так как мы нашли полевые конфигурации с ν = 1, это означа- ет, что должны быть и полевые конфигурации с любым целым ν. Например, решения с ν, равным целому положительному числу N, можно построить, объединяя N решений с ν = 1 с центрами, нахо-

дящимися настолько далеко друг от друга, что можно пренебречь нелинейностями в полевых уравнениях. Решение с ν = −1 можно

получить, заменяя g1 в выражении (23.5.12) на g1–1, а решения с отрицательным целым значением ν = –N можно построить наложе-

нием N таких решений, разделенных большими расстояниями. В случае произвольного топологического числа выражения (23.5.15) и (23.5.16) принимают вид

Эти результаты получены для калибровочного поля, нормированного так же, как в выражениях (23.5.11)–(23.5.13). С учетом этой нормировки, действие I[A] равно не –S[A], а величине

где g — обычная константа связи. Если бы мы использовали наше обычное соглашение и включили множитель g в генераторы и структурные константы, то действие I[A] совпадало бы с –S[A]. Если же включить множитель 1/g в Aαμ è Fαμν, то, вместо (23.5.15), получи- лось бы S[A] = 8p2/g2 , и в этом случае опять действие равнялось бы –8p2/g2, но вместо формулы (23.5.18) мы имели бы

В следующем разделе мы увидим, что при вычислении функциональных интегралов необходимо суммировать вклады от инстантонов со всеми топологическими числами. Вклад конфигураций с топологоческим числом n ¹ 0 в евклидовы функциональные интегралы подавлен множителем exp(I[A]) = exp(–8|n|p2/g2). В разделе

23.7 мы увидим, что коэффициент при этой экспоненте является целой отрицательной степенью –n константы g; в квантовой хромодинамике n = 12. Функция g–n exp(–8|n|p2/g2) и все ее производные

по g обращаются в нуль при g = 0, так что эти вклады являются непертурбативными, т. е. ни при каких условиях не могут быть получены в любом порядке теории возмущений.

Это не обязательно означает, что подобные вклады малы. Как мы видели в гл. 18, в квантовой хромодинамике константа g является не фиксированным безразмерным параметром, а бегущей функцией энергии, становящейся большой при низких энергиях. Эффективный масштаб энергий, использованный для определения константы в формуле (23.5.19), определяется квантовыми флуктуациями, которые обсуждаются в разделе 23.7. Однако по соображениям размерности этот масштаб не может слишком сильно отли- чаться от величины 1/R, где R — размер интстантона в выражении (23.5.12). Этот размер не фиксирован, и по нему следует проинтегрировать с некоторой весовой функцией, зависящей от рассматриваемого процесса. В квантовой хромодинамике бегущая константа связи gμ определяется при больших m формулой (18.7.7) в виде

2 = 8p2 ,

gμ b0 lnbmLg