Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001).pdf

ãäå θ — свободный параметр. Отсюда, в частности, мы не можем

произвольно отбросить все конфигурации с ненулевым топологи- ческим числом, поскольку тогда инстантон с топологическим числом n в одной области должен быть сбалансирован инстантоном с топологическим числом –ν в какой-то другой области, что делает

невозможным вычисление средних значений без учета того, что происходит вдали от местонахождения измеряемых операторов.

Множитель f(ν) можно представить в более знакомой форме.

Согласно формуле (23.5.18), при такой нормировке калибровочных полей, что в стандартной SU(2) подгруппе структурные константы равны εijk, топологическое число можно записать как интеграл

Это выражение можно представить в виде функционального интеграла в пространстве Минковского. Так как (d4x)E = id4x, Fα34 = −iFα30, è ε1230 = –1, выражение (23.6.4) можно записать в виде

Однако, как отмечалось в начале раздела 15.2, мы в любом случае могли бы включить такой член с произвольным действительным параметром θ в лагранжиан любой неабелевой калибро-

вочной теории.

ÐВключениеÑÐ члена (23.6.6) в лагранжиан нарушило бы сохранение и . Конечно, можно было бы просто положить θ = 0, однако

это сделало бы недействительным то, что в разделе 18.7 былоÐ îöåÑÐ- нено как один из успехов квантовой хромодинамики: в ней и автоматически сохраняются сильными взаимодействиями, хотя, конечно, эти симметрии нарушаются слабыми взаимодействиями.

В частности, мы всегда можем определить фермионныеÐïîëÿ òàê,ÑÐ ÷òî θ = 0, но ценой возможного введения нарушающих или

сохранение фаз в массовые параметры.

Эта дискуссия показывает, что если бы хоть одна кварковая масса равнялась нулю, то угол тета не оказывал бы никакогоÑвлияния,ÑÐ и в квантовой хромодинамике не было бы нарушения или

. Анализ отношений масс кварков в разделе 19.7 показывает, что все кварки обладают ненулевыми массами, хотя иногда делаются утверждения, что включение слагаемых второго порядка по ms в этот анализ позволило бы считать mu равным нулю 28. Однако вне всяких сомнений кварки u и d довольно легкие, что приводит к некоторому подавлению эффектов, связанных с ненулевым углом тета. В разделе 19.4 мы видели, что mu è md — примерно порядка mπ2/mN (здесь mN используется как типичная квантово-хромодина-

мическая шкала энергий), так что можно ожидать подавления эффектов от угла тета четырьмя множителями mπ. Но это не совсем

так. Если Р и СР не сохраняются, то существует ненулевая амплитуда перехода π0 в вакуум, пропорциональная mπ4, но диаграммы-

«головастики» с пионными линиями, оканчивающимися в таких вершинах перехода в вакуум, усилены множителем mπ–2 от пионного пропагатора, так что в результате эффект пропорционален не mπ4, à mπ2. В частности, если определить фермионные поля так, что все

Известно, что электрический дипольный момент нейтрона меньше 10–25å ñì, òàê ÷òî |θ| < 10–9.

Чтобы естественным образом объяснить такую малость θ, Печ- чеи и Квинн 30 предложили теорию, в которой θ на самом деле

становится динамической переменной, которая может релаксироÐ ÑÐ - вать к минимуму эффективного потенциала, в котором и сохраняются. Их идея была подхвачена Вильчеком и мной 31, заметившими, что это требует существования легкой бесспиновой частицы — аксиона. Тот аксион, который появился в первой модели Печчеи–Квинна, был исключен экспериментальными данными,

однако существуют более общие возможности 32, когда аксион настолько слабо взаимодействует с обычной материей, что его невозможно наблюдать.

Общее свойство всех вариантов теории аксиона заключается в том, что существует некоторая U(1) симметрия, которая спонтанно нарушается при энергиях, намного превышающих те, которые ассоциируются с квантовой хромодинамикой, и кроме того нарушается аномалией, включающей глюонные поля. Согласно общему формализму гл. 19 и 22, низкоэнергетическая эффективная теория поля будет содержать поле голдстоуновского бозона j, òàê ÷òî ïîä äåé-

ствием преобразования симметрии

эффективный лагранжиан подвергается преобразованию

где А — безразмерная константа порядка единицы, характеризующая аномалию, а Fϕ — константа порядка энергетической шкалы, при которой симметрия спонтанно нарушается (j считается канонически нормированным). Тогда включающие j слагаемые в эффек-

тивном лагранжиане равны

ãäå M º Fϕ/A и многоточие означает возможные взаимодействия, включающие производные по j. Сравнивая выражения (23.3.16) и (23.3.6), видим, что при постоянном j все наблюдаемые будут функциями не j è q по-отдельности, но только комбинации q + j/M.

(Это верно, когда фермионные поля определены так, что все массовые параметры Mf действительны; в противном случае наблюдаемые будут зависеть от q – åfArgMf + j/M.) Если все взаимодействия в теории, кроме тета-членаÐ ÑÐ(23.6.6) и взаимодействия j â

выражении (23.3.16), сохраняют и , тогда эффективный потенциал будет четен по q + j/M, так что он будет иметьÐ ÑÐстационарную точку при q + j/M = 0, не нарушая сохранения и . В реальном

мире симметрии Р и СР не точны, но единственные наблюдаемые нарушения связаны со слабыми взаимодействиями, которые лишь немного сдвигают среднее значение ϕ от значения –Mθ 33.

Даже не конкретизируя лежащую в основе теорию и пользуясь техникой эффективной теории поля, можно довольно много сказать об общих свойствах аксиона. Наиболее общий лагранжиан аксионного поля ϕ, включающий теперь тета-член и все взаимодействия

с u- и d-кварками до порядка 1/M, имеет вид

ãäå fu è fd — безразмерные константы связи, которые, как ожидается, порядка единицы. Как видно из выражения (23.6.8), переопределение кварковых полей (23.6.7) приводит к сдвигу величины ϕ(x)/ M + θ во втором члене лагранжиана (23.6.17):

Выбирая αf = –(θ + ϕ/M)cf/2 c постоянными коэффиуциента-

ìè cf, удовлетворяющими условию cu + cd = 1, мы исключаем слагаемое в лагранжиане, содержащее εμνρσFαμνFαρσ , и изменяем массо-

вый член в низкоэнергетическом лагранжиане квантовой хромодинамики:

Lm = −mu u−icu (θ + ϕM)γ 5 u − md d −icd (θ + ϕM)γ 5 d . (23.6.19)

Кроме того, из кинематической части кваркового лагранжиана мы извлекаем член с взаимодействием с производной:

òàê ÷òî fu è fd в выражении (23.6.17) заменяются на f′u = fu – cu/2 è f′d = fd – cd/2. Чтобы вывести вид эффективного лагранжиана для

пионов и аксионов при низких энергиях, последуем процедуре раз-