исчезающий, если у K(ν,u) имеются какие-то нулевые моды. Этот
результат легко понять, если вспомнить правила интегрирования по фермионным параметрам. Разлагая ψ(x) è`ψ(x) по собственным модам K, можно записать интеграл по ψ(x) è`ψ(x) как интеграл по
коэффициентам в этих разложениях. Коэффициенты нулевых мод не входят в квадратичное приближение в действии, так что для каждой такой фермионной нулевой моды получается интеграл по фермионному параметру, который не входит в подынтегральное выражение, так что согласно общим правилам раздела 9.5 этот интеграл равен нулю. Единственными неисчезающими членами в интеграле по фермионным параметрам будут те, для которых подынтегральное выражение содержит по одному множителю каждой переменной интегрирования. Отсюда интеграл по фермионным полям в выражении (23.7.1) не обратится в нуль только в случае, если в О имеется единственное фермионное поле для каждой нулевой моды в K. Для инстантонов существуют фермионные нулевые моды, числа и киральности которых определяются теоремами об индексах, типа доказанной в разделе 22.2 теоремы об индексе Атьи–Зин- гера, так что для заданного топологического числа разрешены только определенные процессы. На этой основе ′ò Õîôò 25 показал, что порождаемое инстантонами с ν = 1 не сохраняющее барионное и
лептонное числа эффективное взаимодействие в электрослабой стандартной модели должно включать ровно по одному каждому лептонному аромату.
23.8. Распад вакуума
Вакуумное состояние стабильно, если средние значения его скалярного поля соответствуют истинному минимуму эффективного потенциала. Однако если средние значения скалярного поля находятся в локальном минимуме, которые выше истинного, тогда такой вакуум метастабилен. «Фальшивое» метастабильное вакуумное состояние, соответствующее локальному минимуму, будет распадаться в стабильный «истинный» вакуум, соответствующий истинному минимуму, за счет процесса подбарьерного перехода, аналогичного ядерному альфа-распаду или спонтанному делению. Конечно, речь не идет о процессе, который можно наблюдать в лаборатории, но предположительно он происходил несколько раз
624 |
Глава 23. Протяженные полевые конфигурации |
в истории Вселенной, когда спонтанно нарушались различные симметрии, так что важно уметь вычислять вероятность такого распада фальшивого вакуума. Как мы сейчас увидим, это вычисление включает рассмотрение еще одной протяженной полевой конфигурации 6.
Сосредоточимся на компоненте j мультиплета скалярных полей, приобретающей среднее значение ájñ в истинном вакууме. На-
пример, в теории нарушенной киральной симметрии, обсуждавшейся в разделе 19.5, поле j являлось четвертой компонентой
кирального 4-вектора. Как окажется, когда проницаемость барьера сильно подавлена, другие скалярные поля (включая поля любых голдстоуновских бозонов) не влияют на главный подавляющий фактор в вероятности распада. Для определенности, выберем лагранжиан в виде
L = - |
1 |
¶μj¶μj - V(j) . |
(23.8.1) |
|
2 |
|
|
Предположим, что эффективный потенциал в низшем порядке имеет истинный минимум при j = ájñ и локальный минимум при j =
0, и мы подобрали аддитивную постоянную в лагранжиане так, что V(0) = 0, откуда в данном случае V(ájñ) < 0. Мы хотим вычислить
вероятность, с которой состояние фальшивого вакуума со средним значением скалярного поля, равным нулю, распадается в состояние истинного вакуума со средним значением скалярного поля ájñ.
Из результатов Приложения А к этой главе (формулы (23.А.6), (23.А.21) и (23.А.23)) следует, что энергия Е0 состояния фальшивого вакуума с нулевым средним значением скалярного поля дается выражением
|
|
1 |
LX |
|
O |
|
|
E0 |
= - limT→∞ |
|
lnMY expb-S[j; T]g∏ dj(x, t)P |
, |
(23.8.2) |
|
|
|
T |
MZ |
x,t |
P |
|
|
|
|
N |
|
Q |
|
|
ãäå S[j; T] — евклидово действие, полученное с помощью формулы
(23.8.1),
X |
XT 2 |
L |
1 |
S[j; T] = Y d3xY |
dtM |
|
|
Y |
Y |
M2 |
Z |
Z−T 2 |
N |
|
|
1 |
O |
|
|
+ |
(Ñj)2 + V(j)P |
, |
|
|
(23.8.3) |
2 |
P |
|
|
|
|
|
Q |
|
|
а интеграл в (23.8.2) берется по всем полям j(x,t), удовлетворяю-
щим условиям
ϕ(x, T 2) = ϕ(x, −T 2) = 0. |
(23.8.4) |
Энергия (23.8.2) комплексна, и ее мнимая часть определяет вероятность распада.
Чтобы вычислить функциональный интеграл в формуле (23.8.2), найдем стационарную «точку» евклидова действия S[j,T]. Ïîëÿ, ïðè
которых интеграл (23.8.3) стационерен, удовлетворяют уравнениям поля
|
0 = |
dS |
= - |
¶2j |
- Ñ2j + |
dV(j) |
, |
(23.8.5) |
|
dj |
¶t2 |
dj |
|
|
|
|
|
|
и граничным условиям (23.8.4). Благодаря таким граничным условиям, решение этого уравнения называется баунсом *.
Будем искать эти решения, сделав предположение, что j(x,t)
инвариантно относительно вращений вокруг точки x0, t0 в четырех измерениях:
j(x, t) = j(r) , ãäå r º (x - x0 )2 + (t - t0 )2 . |
(23.8.6) |
Существуют и решения, которые не являются инвариантными относительно вращений в четырехмерном1 пространстве, но этим другим решениям отвечают большие значения S 37, так что они становятся пренебрежимо малыми при больших Т. Подставляя анзатц (23.8.6) в уравнение (23.8.5), приходим к обыкновенному дифференциальному уравнению
|
d2j |
+ |
3 |
|
dj |
= V¢(j) . |
(23.8.7) |
|
dr2 |
r dr |
|
|
|
|
Строго говоря, решение такого вида согласуется с граничными условиями (23.8.4), только когда Т очень велико по сравнению
* Вместо точного перевода отскок мы предпочли русскую транслитерацию англ. термина bounce. Именно такой термин используется в ряде имеющихся русскоязычных книг. — Прим. пер.
626 |
Глава 23. Протяженные полевые конфигурации |
ñхарактерным временем, связанным с V(ρ). В этом случае мы мо-
жем взять Т в условии (23.8.4) бесконечно большим, и тогда оно становится условием обращения в нуль ϕ(ρ) ïðè ρ → ∞. Кроме того, ϕ(x,t) должно быть аналитической функцией x в окрестности x = 0
при всех t, включая t = t0, òàê ÷òî ϕ(ρ) есть степенной ряд по ρ2 ïðè ρ → 0, и, в частности, dϕ/dρ = 0 ïðè ρ = 0. С учетом этих условий
уравнение (23.8.7) есть уравнение движения частицы единичной массы
ñ«координатой» ϕ, зависящей от «времени» ρ, и движущейся в потенциальном поле –V(ϕ) в присутствии силы вязкого трения –(3/ρ)dϕ/dρ. Эта частица начинает движение из состояния покоя
при некотором конечном начальном значении ϕ0 ïðè ρ = 0 и достигает значения ϕ = 0 ïðè ρ → ∞, теряя при движении свою началь-
ную «энергию» –V(ϕ0) > 0 за счет вязкости. Евклидово действие (23.8.2)
для такого решения равно
|
X∞ |
L |
1 |
|
B ≡ Y |
2π2ρ3dρM |
|
|
|
Y |
M |
2 |
|
Z0 |
N |
|
Критически важно определить знак В. Для этого мы используем 38 тот же прием, который был применен при доказательстве теоремы Деррика в разделе 23.1, и рассматриваем действие (23.8.8) для модифицированного поля ϕR(ρ) ≡ ϕ(ρ/R). Изменяя масштаб перемен-
ной интегрирования, находим:
|
|
X∞ |
L R2 |
|
S[ϕR |
] = Y |
2π2ρ3dρM |
|
|
2 |
|
|
Y |
M |
|
|
Z0 |
N |
|
O
+ R4V(ϕ)PP . (23.8.9)
Q
Åñëè ϕ(ρ) есть решение уравнения (23.8.7), тогда действие должно быть стационарно по отношению к любой вариации ϕ, òàê ÷òî dS[ϕR]/dR должна обращаться в нуль при R = 1. Поэтому
X∞ |
F dϕ I 2 |
|
∞ |
|
|
Y |
ρ3dρ G |
|
J |
= −4 |
z |
ρ3dρV(ϕ) . |
(23.8.10) |
|
Y |
H dρ K |
|
|
|
Z0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|