Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001).pdf

где скобки в нижних индексах обозначают антисимметризацию по отношению к взятым в скобки индексам B, C и D. Формула (15.8.12) может быть выведена из коммутационного соотношения (15.8.10) тем же способом, что и обычное тождество Якоби, и заменяет это тождество в случае симметрий с зависящими от поля структурными константами.

Чтобы показать, что преобразование (15.8.8) является симметрией INEW, заметим (вспоминая, что θ антикоммутирует с ω*A), ÷òî

(15.8.7) можно переписать в виде

Слагаемое I[ϕ] БРСТ-инвариантно, так как на полях ϕr ÁÐÑÒ ïðå-

образование является простым калибровочным преобразованием (15.8.1), в котором произведена замена εA íà θωA, и которое коммутирует со всеми ϕr. Слагаемое s(ω*AfA) БРСТ инвариантно, так как

БРСТ преобразования нильпотентны.

По ряду причин нам потребуется рассмотрение более широкого класса действий, чем те, которые могут быть построены методом Фаддеева−Попова−де Витта. Этот класс определяется требовани-

ем, что действие инвариантно относительно БРСТ преобразования (15.8.8). В качестве шага к тому, чтобы продемонстрировать, что такое действие приводит к физически значимым результатам, докажем сейчас общее утверждение (уже использовавшееся в предыдущем разделе), что наиболее общий БРСТ-инвариантный функционал с гостовским числом нуль есть сумма функционалов от одного поля ϕ и дополнительного слагаемого, получающегося действием БРСТ оператора s на произвольный функционал Ψ ñ ãîñ-

товским числом –1:

Например, таким является действие Фаддеева−Попова−де Витта

(15.8.13). Коротко говоря, БРСТ когомология состоит из калибровоч- но инвариантных функционалов I[ϕ] только от полей ϕr.

Чтобы доказать формулу (15.8.14), заметим, что БРСТ преобразование (15.8.8)–(15.8.9) не изменяет полного числа полей hA è ω*A.

Поэтому, если разложить I в ряд слагаемых IN, содержащих суммарное число N полей hA è ω*A, то в sI не может быть никаких

сокращений между слагаемыми с разными N, следовательно, каждое слагаемое должно быть по-отдельности БРСТ инвариантно:

Введем теперь так называемый оператор Ходжа:

Можно непосредственно проверить справедливость антикоммутационного соотношения

Применяя к IN оператор {s,t} и используя (15.8.15), находим:

так что каждое IN, за исключением I0, является БРСТ точным в том смысле, что может быть записано как оператор s, действующий на другой функционал. Полный функционал I можно поэтому записать в виде I0 + sΨ, ãäå

Слагаемое I0, по определению, не зависит от ω*A è hA, à òàê êàê

мы предположили, что у него нулевое гостовское число, это слагаемое должно быть независимым и от ωA, что и требовалось дока-

çàòü.

Чтобы показать инвариантность физических матричных элементов относительно изменений в определении фиксирующего калибровку функционала Y, определим фермионный «заряд» Q так, что изменение любого оператора F относительно БРСТ преобразования равно

ветствует бозонному или фермионному оператору. Как и в предыдущем разделе, из нильпотентности БРСТ преобразования вытекает, что Q2 = 0. Матричные элементы калибровочно инвариантных операторов между физическими состояниями не зависят от выбора Y, если и только если физические состояния |añ è áb| удовлет-

воряют условиям

так что физически различимые физические состояния вновь находятся в одно-однозначном соответствии с элементами когомологии заряда Q. Поэтому общее БРСТ-инвариантное действие (15.8.3) будет приводить к физически значимым результатам для любого фиксирующего калибровку функционала Y, если мы можем найти ка- кой-нибудь функционал Y, вроде аксиальной калибровки в теориях

Янга–Миллса, приводящий к калибровке, в которой госты не взаимодействуют с другими полями. Если свободный от гостов выбор Y

неудобен для реальных вычислений, как, скажем, неудобна аксиальная калибровка из-за того, что она нарушает лоренц-инвариан- тность, можно выбрать любой нравящийся нам фиксирующий калибровку функционал Y и при этом быть уверенным, что унитарная

S-матрица не будет содержать гостов в начальном или конечном состояниях.

Описанный подход хорошо работает в теориях струн, где так называемое квантование на световом конусе заменяет аксиальную калибровку. Однако в других теориях, вроде общей теории относительности, не существует способа выбора координатной системы, в которой госты отщепляются. В таких теориях можно действовать с помощью метода квантования БРСТ, описанного в конце предыдущего раздела, используя БРСТ-инвариантность для доказательства того, что в физическом свободном от гостов гильбертовом пространстве S-матрица унитарна.

Открытие 17 инвариантности относительно антиБРСТ симметрии 18 показало, что несмотря на внешние различия, существует аналогия между ролями wA è w*A, остающаяся пока что несколько

загадочной.

15.9.Формализм Баталина–Вилковыского*

Âэтом разделе будет описан мощный формализм, широко известный под названием метода Баталина–Вилковыского 19. Этот метод был развит в рамках лагранжевого подхода, но уходит корнями

âболее ранний формализм Баталина–Фрадкина–Вилковыского 20, развитого в рамках гамильтонового подхода. (Было доказано, что обе схемы эквивалентны в рамках теории возмущений 21.) Как мы увидим в разделе 17.1, та же формальная технология рассматривалась еще раньше Зинн-Жюстеном 22 для того, чтобы разобраться с перенормировкой калибровочных теорий. Существуют по меньшей мере три области, где формализм доказал свою ценность.‡‡†‡

1.До сих пор мы рассматривали только неприводимые симметрии, алгебра которых замкнута в смысле формулы (15.8.10). В ряде теорий, например, в супергравитации (без вспомогательных полей)23, алгебра открыта. Она замыкается только в случае, когда

удовлетворяются уравнения поля, так что в (15.8.10) возникают слагаемые, пропорциональные δI/δχn. Аналогичные слагаемые появля-

ются тогда и в условиях совместности (15.8.12). Тогда из формулы (15.8.11) следует, что s2 в таких теориях не обращается в нуль, а равно линейной комбинации производных δI/δχn. Как мы увидим в

данном разделе, метод Баталина–Вилковыского позволяет рассматривать очень общие калибровочные теории, включая теории с открытыми или приводимыми алгебрами калибровочной симметрии.

2.Как упоминалось выше, существенные черты формализма Баталина–Вилковыского первоначально были использованы ЗиннЖюстеном для доказательства перенормируемости калибровочных теорий. Критический пункт, который поясняется в разделе 17.1, заключается в том, что хотя сумма всех одночастично неприводимых диаграмм в фоновом поле не удовлетворяет БРСТ симметриям исходного действия, она сохраняет одно из ключевых свойств действия, известное под названием мастер-уравнения.

3.Метод Баталина–Вилковыского является удобным для анализа возможных нарушений симметрий действия за счет квантовых эффектов. Он использован для этой цели в разделе 22.6.

* Этот раздел лежит несколько в стороне от основной линии изложения и может быть опущен при первом чтении.

Исходным пунктом формализма Баталина–Вилковицкого является введение так называемых «антиполей» для каждого поля в теории. Пусть χn включает все поля ϕr, ωA, ω*A è ηA. Для каждого χn введем внешнее антиполе * χ‡n с той же бозеили ферми-статисти-

кой и противоположным гостовским числом, что‡ и у БРСТ-преоб- разованного поля sχn. Иначе говоря, статистика χ n противоположна χn, а гостовское число равно –gh(χn) – 1, ãäå gh(χn) — гостовское число поля χn. В простейших случаях, включающих теории Янга–

Миллса и квантовую гравитацию**, исходное калибровочно инвариантное‡ действие I[ϕ] дополняется слагаемым, связывающим антиполя χ n ñ sχn, так что действие принимает вид

где R и L обозначают правое и левое дифференцирование. Чтобы убедиться в этом, заметим, что слагаемые в (15.9.2) нулевого порядка по антиполям удовлетворяют условию калибровочной инва-

а слагаемые, линейные по антиполям , обеспечивают выполнение условия нильпотентности

* Символ ‡ используется здесь вместо более привычного * для того, чтобы подчеркнуть, что он не имеет никакого отношения к символу комплексного или зарядового сопряжения. В частности, антигостовское поле ω*A не то же самое, что антиполе ω‡A ê ïîëþ ωA.

** Имеются в виду так называемые неприводимые теории с замкнутой алгеброй. — Прим. ред.