Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001).pdf

образования на произвольные функционалы, заметим, что антискобка действует как производная в том смысле, что

где берется знак –, если G — фермионный, а F — бозонный функционалы, и знак + в остальных случаях. Следовательно, если G и H — произвольные функционалы от χ è χ‡, причем δ$ θG = −θ(S, G) è

δ$ θH = −θ(S, H) , òî

δ$ θ (GH) = −θ(S, G)H − Gθ(S, H) = θ[(S, G)H ± G(S, H)] ,

где берутся знаки + или –, если G — бозонный или фермионный функционал, соответственно. Выбирая F в (15.9.18) равным бозонному функционалу S, видим, что

δ$ θ (GH) = −θ(S, GH) .

Вместе с формулами (15.9.16) и (15.9.17) это показывает, что для любого функционала F, построенного как сумма произведений полей и антиполей,

Мастер-уравнение (15.9.14) можно интерпретировать как утверждение, что эти обобщенные БРСТ преобразования оставляют S инвариантным:

Как и в случае исходного БРСТ преобразования, это преобразование симметрии нильпотентно. Чтобы увидеть это, используем тождество Якоби для антискобки:

где в первом слагаемом берется знак –, если F и H — бозонные функционалы, и знак + во всех остальных случаях (соответствующие знаки берутся и в двух других циклических перестановках F, G и H). Полагая F = G = S, получаем из (15.9.21)

где знаки – или + соответствуют бозонному или фермионному функционалу Н. Тогда из мастер-уравнения (15.9.14) вытекает условие нильпотентности

Вследствие этой симметрии решение мастер-уравнения не единственно. Например, из (15.9.22) следует, что для любого заданного решения S можно найти другое решение, определяемое инфинитезимальным преобразованием

ãäå δF – инфинитезимальный функционал от χ è χ‡, который про-

изволен, за исключением того, что он должен быть фермионным и иметь гостовское число –1, с тем, чтобы S′ был бозонным функционалом с духовым числом нуль. В частности, выбирая δF фермионным функционалом εΨ только от полей χn, имеем

Эти инфинитезимальные преобразования можно тривиально проинтегрировать и показать, что мастер-уравнение по-прежнему удов-

летворяется, если совершить сдвиг антиполей к новым переменным

χ′‡ ≡ χ‡ − δΨ δχn . *

n n

Преобразование (15.9.23) есть частный случай преобразований, обычно называемых каноническими. Будем называть их «антикано-

* Оставляя переменные полей неизменными: χ′n = χn. Преобразование функционалов при преобразовании полей и антиполей χn → χ′n, χ‡n → χ′‡n

(замена переменных) понимается здесь, как преобразование «по скалярному представлению»: S′(χ′,χ′‡) = S(χ, χ‡) что на языке функционалов экви-

валентно преобразованию S(χ, χ‡) → S′(χ, χ‡) = S(′χ,′χ‡), ãäå χn → ′χn, χ‡ →

′χ‡ n

n есть обратная замена переменных. Автор использует оба языка. Равно-

правным является преобразование функционалов по «антипредставлению»:

S(χ, χ‡) → S′(χ, χ‡) = S(χ′,χ′‡). — Ïðèì. ðåä.

ническими», чтобы отличать от канонических преобразований в гл. 7. Антиканоническое преобразование — это любое конечное или инфинитезимальное преобразование полей и антиполей, оставляющее неизменными фундаментальные антискобочные соотношения:

Например, рассмотрим инфинитезимальное антиканоническое преобразование, порождаемое инфинитезимальным фермионным генератором δF, под действием которого всякий бозонный или фер-

мионный функционал G преобразуется в функционал

Нетрудно показать, что это преобразование не изменяет антискобок (15.9.25). Для этого заметим, что антискобка (G,H) двух функционалов G и H преобразуется в (G′,H′), причем с точностью до перво-

го порядка по бесконечно малым добавкам

(G′, H′) = (G, H) + ((δF, G), H) + (G, (δF, H)).

Используя тождество Якоби (15.9.21), имеем

(G′, H′) = (G, H) + (δF, (G, H)), (15.9.27)

В частности, если (G,H) есть с-число, оно не изменяется антиканоническим преобразованием. (Это другой способ увидеть, что преобразование (15.9.23) не изменяет мастер-уравнения.) У полей и антиполей с-числовые антискобки (15.9.25), поэтому то же самое должно быть верным и для преобразованных полей и антиполей *.

* Конечное антиканоническое преобразование полей и антиполей χn → χ′n, χ‡n → χ′‡n (антиканоническая замена переменных) порождается производящим функционалом F[χ, χ‡] с гостовским числом –1 и определя-

Чтобы вычислить S-матрицу, следует придать антиполям определенные значения. Как и в простом случае замкнутых калибровоч- ных алгебр, когда S имеет линейную по антиполям форму (15.9.1), можно сделать это, выбрав антиполя в виде (15.9.5). Иными словами, мы вычисляем S-матрицу, используя действие с «фиксированной калибровкой»

ãäå Ψ[χ] – фермионный функционал с гостовским числом –1. В соот-

ветсвии с замечаниями после формулы (15.9.24), это эквивалентно тому, чтобы выбрать канонически преобразованные антиполя χ‡′

равными нулю *.

Действие с фиксированной калибровкой инвариантно относительно БРСТ преобразования, действующего только на поля χn:

Чтобы убедиться в этом, заметим, что

преобразование функционалов сохраняет антискобку в том смысле, что (G′,H′) = (G,H)′, и соответственно переводит решение мастер-уравнения в

решение же. Другими словами, мастер-уравнение инвариантно относительно антиканонических преобразований. Бесконечно малому антиканони- ческому преобразованию отвечает производящий функционал

F(χ, χ‡) = χn χ‡n − δF(χ, χ‡),

и соответствующее бесконечно малое преобразование функционалов имеет вид δG(χ, χ‡) = (δF, G). — Ïðèì. ðåä.

* На языке преобразования функционалов это означает положить χ‡ = 0.

Заметим, что для вычисления S-матрицы последнее необязательно. Фиксации калибровки отвечает антиканоническое преобразование фиксации калибровки, производящий функционал которого имеет вид

F(χ, χ‡) = χ n χ‡n + Ψ(χ). — Ïðèì. ðåä.

Первое слагаемое в правой части обращается в нуль как следствие мастер-уравнения, а второе — из-за антисимметрии * выражения в скобках по m и n **.

Для замкнутых алгебр с S вида (15.9.1) преобразование (15.9.29) совпадает с исходным БРСТ преобразованием δθχn =θsχn. Íî äëÿ

произвольных открытых алгебр преобразование (15.9.29) не совпадает с исходным БРСТ преобразованием и в общем случае даже не нильпотентно, если только не удовлетворяются уравнения поля. Вместо этого из слагаемых первого порядка по сдвинутым антиполям χ‡n′ = χ‡n − δΨ[χ] δχn в мастер-уравнении находим:

где знаки – или + соответствуют бозонным или фермионным χm.

Мы снова видим, что характерная для открытых калибровочных алгебр зависимость от уравнений поля связана с квадратичными по антиполям слагаемыми в S.

* Åñëè îáà ïîëÿ χn è χm — бозонные, то это следствие антикоммутативности δS/δχn è δS/δχm. Если одно из полей χn è χm — фермионное, а дру-

гое — бозонное, это есть следствие того, что правые и левые производные S по тому из полей, которое фермионное, имеют противоположные знаки. Наконец, слагаемые, в которых оба поля χn è χm — фермионные, анти-

симметричны, так как в этих слагаемых антисимметрична величина

δ2LΨ/δχmδχn.

** Инвариантность действия с фиксированной калибровкой относительно БРСТ преобразования (15.9.29) есть прямое следствие инвариантности мастер-уравнения относительно антиканонического преобразования фиксации калибровки (см. предыдущее прим. ред.). — Прим. ред.