Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001).pdf

Поля являются внешними, и им следует придать подходящие зна- чения, прежде чем использовать S[χ,χ‡] для вычисления S-матри-

цы. Для этой цели введем произвольный фермионный функционал Ψ[χ] с духовым числом –1 и положим *

Тогда формула (15.9.1) примет вид

Sϕ, δΨδχ = I[ϕ] + (sχn ) δΨ[χ]δχn = I[ϕ] + sΨ[χ] . (15.9.6)

Сравнение с (15.8.14) показывает, что это то же самое, что и действие INEW[χ] с фиксированной калибровкой. Отсюда, используя те

же аргументы, что и в предыдущем разделе, мы видим, что физи- ческие матричные элементы не изменяются в результате малых изменений Ψ. Действие (15.8.7), построенное методом Фаддеева−

Попова−де Витта, соответствует выбору Ψ = –ω*AfA, для которого ϕ‡r = ω*AδfA/δϕr, ω‡C = 0 è ω*‡A = –fA.

До сих пор не возникло ничего нового. Первый новый момент заключается в том, что мастер-уравнение (15.9.2)‡ можно использовать в более общих теориях, считая, что S[χ,χ ] — нелинейный функционал антиполей χ‡n. (Как обсуждалось в предыдущем разде-

ле, для приводимых теорий следует также включить в число полей χn госты для‡ гостов, а также их антиполя.) Как и выше, выберем статистику χ n противоположной статистике χn, а гостовское число этих полей равным –gh(χn) – 1, и потребуем, чтобы S[χ,χ‡] был бозонным оператором с духовым числом нуль. Так как поля ω*A è hA

имеют линейные БРСТ преобразования, они не подвержены тем усложнениям, которые возникают у других полей χn (ñì. â ýòîé

связи раздел 16.4). Поэтому как эти поля, так и их антиполя входят в действие S[χ,χ‡] так же, как и в (15.9.1). Иными словами,

* Здесь нет нужды различать левое и правое дифференцирование, так как и χn, è δΨ/δχn должны быть бозонными величинами.

где квадратные скобки в нижних индексах указывают на антисимметризацию по отношению к заключенным в скобки индексам А, В и С. На уравнениях движения это выражение становится обобщенным тождеством Якоби (15.8.12). Уравнение (15.9.11) — необходимое условие для совместности условия симметрии (15.9.9) (в предположении, что frA доставляют полный набор калибровочных симметрий *), а уравнение (15.9.12) есть необходимое условие для совместности коммутационных соотношений (15.9.11). Заметим, что те слагаемые в (15.9.11) и (15.9.12), которые возникают из квадратич- ных по антиполям слагаемых в Smin, пропорциональны δI[ϕ]/δχ, òàê

что они обращаются в нуль, если удовлетворяются уравнения поля. В этом смысле, они характерны для открытых алгебр симметрии. Слагаемые в мастер-уравнении второго или более высокого порядка по антиполям возникают от слагаемых третьего и/или более высоких порядков по антиполям в Smin. Они обеспечивают условия совместности для соотношений (15.9.11) и (15.9.12), условия совместности для этих условий совместности, и т. д. Достоинством формализма Баталина−Вилковыского является то, что все эти ус-

ловия совместности содержатся в одном мастер-уравнении.

Это уравнение можно иначе интерпретировать как утверждение об инвариантности S относительно обобщенного преобразования БРСТ. Чтобы увидеть это, а также для дальнейших применений, полезно ввести формальный объект, известный как антискобка. Возвращаясь к прежним обозначениям, определим антискобку двух произвольных функционалов F[χ,χ‡] è G[χ,χ‡] следующим образом:

* Это предположение называют условием полноты для генераторов калибровочной симметрии. — Прим. ред.