Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001).pdf

Скачать файл (33,84Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 1370

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

15.2. Лагранжианы калибровочных теорий и простые...

Эта матрица очевидно положительно определена, так как gαβuαuβ = Tr{(uαtα)2} положительно для любых действительных uα и обращается в нуль, только если uαtα = 0, что возможно только, если все uα равны нулю, поскольку tα предполагаются независимыми. Кроме того, такая матрица gαβ удовлетворяет условию инвариантности

(15.2.4), что можно увидеть, умножив коммутационное соотношение (15.1.2) на tδ и взяв след. Это дает равенство

iCγ αβTrntγ tδ s = Tro tα , tβ tδ t = Trntδtαtβ − tβtα tδ s ,

очевидно антисимметричное по β è δ. Проверив утверждение а, можно

сослаться на упомянутую выше теорему, чтобы вывести условие с, так что алгебра Ли должна быть прямой суммой компактных простых и U(1) подалгебр.

Вернемся к физической стороне калибровочных теорий. В этом разделе мы пришли к заключению, что построение подходящего кинетического члена в лагранжиане калибровочного поля с необходимостью требует существования положительно определенной симметричной действительной матрицы gαβ, удовлетворяющей усло-

вию инвариантности (15.2.4). В приложении А к этой главе мы показали, что этот результат эквивалентен условию, что алгебра Ли является прямой суммой компактных простых и U(1) подалгебр. Важное для наших целей утверждение, связанное с этим результатом, заключается в том, что все простые алгебры Ли принадлежат определенному ограниченному числу типов с известными размерностями. Например, легко видеть, что не существует простых алгебр Ли с числом генераторов менее трех, так как в одном или двух измерениях не может быть ненулевых полностью антисимметрич- ных структурных констант с тремя индексами. В случае трех генераторов можно избежать появления инвариантной подалгебры, взяв не равные нулю константы С312, Ñ231 è Ñ123. В базисе, где структурные константы действительны и полностью антисимметричны, есть, очевидно, только одна возможность:

Ñαβγ = cεαβγ.

Здесь с —произвольная ненулевая действительная постоянная, которую можно исключить, изменив масштаб генераторов tα → tα/c,

так что алгебра Ли будет иметь вид

16	Глава 15. Неабелевы калибровочные теории

tα , tβ = iεαβγ tγ .

Âней можно узнать алгебру Ли трехмерной группы вращений О(3), а также группы SU(2) унитарных унимодулярных матриц в двух измерениях, положенной в основу первой неабелевой калибровочной теории Янга и Миллса. Продолжая в том же духе, можно показать, что не существует простых алгебр Ли с 4, 5, 6 или 7 генераторами, имеется одна алгебра с 8 генераторами и т. д. Математики (особенно Киллинг и Э. Картан) сумели перечислить все простые алгебры Ли. Компактные простые алгебры Ли разбиваются на несколько бесконечных классов алгебр «классических» групп Ли — унитарных унимодулярных, унитарных ортогональных и унитарных симплектических групп, а также пять исключительных алгебр Ли. Этот список представлен в приложении Б к данной главе.

Âприложении А также показано, что при выполнении эквивалентных условий a, b или с метрика принимает вид

g	= g−2δ	mn	δ	ab	(15.2.5)
mn,ab	m	mn		ab

с действительными gm, где индексы m и n отмечают простые или U(1) подалгебры, а индексы а и b нумеруют отдельные генераторы этих подалгебр. Константы gm–2 можно устранить, изменив масштаб калибровочных полей:

μ	→ ~ μ	≡	−1 μ	(15.2.6)
Amα	Amα		gm Amα ,

но затем, чтобы сохранить те же выражения (15.1.10) и (15.1.13) для Dμϕ è Fαμν, следует также переопределить матрицы tα и структур-

ные константы:

	~	= gmtmα ,
tmα → tmα		= gmtmα ,
(m)	~(m)	(m)
Ccab	→ Ccab	= gmCcab .

(15.2.7)

(15.2.8)

Это означает, что мы всегда можем определить масштаб калибровочных полей (опуская теперь знак тильда), так что gm в (15.2.5) равна единице:

gab = δab,

(15.2.9)

15.3. Уравнения поля и законы сохранения

но тогда матрицы преобразования tα и структурные константы Cαβγ

будут содержать неизвестную мультипликативную константу gm для каждой простой или U(1) подалгебры. Эти константы являются константами связи калибровочной теории. Однако, иногда более удобно предпочесть некоторую, хотя и произвольную, но фиксированную нормировку для tα и структурных констант внутри каждой простой

или U(1) подалгебры, и в этом случае константы связи появятся

âлагранжиане калибровочного поля (15.2.3) подобно множителям gm–2

â(15.2.5).

15.3. Уравнения поля и законы сохранения

Подставляя выражение (15.2.9) для матрицы gαβ â (15.2.3), ïî-

лучаем полный лагранжиан в виде:

L = −	1	FαμνFα μν + LM(ψ, Dμ ψ),	(15.3.1)

4

где в отсутствие калибровочных полей LM(ψ, ∂μψ) является лагран-

жианом «материи». В принципе можно было бы включить в LM зависимость от Fαμν, а также высшие ковариантные производные DνDμψ, DλFαμν и т. п., но мы исключаем такие неперенормируемые слагае-

мые по тем же причинам, что и в электродинамике. Как обсуждалось в разделе 12.3, подобные слагаемые при обычных энергиях были бы сильно подавлены отрицательными степенями некоторой очень большой массы. По этой причине лагранжиан стандартной модели слабых, электромагнитных и сильных взаимодействий имеет общий вид (15.3.1).

Уравнения движения калибровочного поля имеют вид

∂		∂L	= −∂	F	μν =	∂L

	μ ∂(∂μ Aαν )
	μ ∂(∂μ Aαν )			μ α		∂Aαν

= −Fγ νμCγαβ Aβμ − i ∂LM tα ψ

∂Dνψ

поэтому

∂μFα μν = − Jα ν ,

(15.3.2)

18 Глава 15. Неабелевы калибровочные теории

ãäå Jαν — òîê,

Jα ν ≡ −Fγ νμCγαβ Aβμ − i	∂LM	tα ψ.	(15.3.3)
Jα ν ≡ −Fγ νμCγαβ Aβμ − i	∂Dνψ	tα ψ.	(15.3.3)
	∂Dνψ
Òîê Jαν сохраняется в обычном смысле:
∂ν Jα ν = 0,			(15.3.4)

что следует как из уравнений Эйлера–Лагранжа для ϕ и условия

инвариантности (15.2.2), так непосредственно (и проще) из уравнений поля (15.3.2).

В выражения (15.3.2) и (15.3.4) входят обычные, а не ковариантные производные Dν, поэтому калибровочная инвариантность этих

уравнений несколько туманна. Ее можно сделать явной, переписав (15.3.2) через калибровочно-ковариантную производную напряженности поля:

D F μν ≡ ∂		F μν − i(tA )				αγ		A F μν
λ α		λ α	β			αγ		βλ γ	(15.3.5)
= ∂λ Fα μν − Cαγβ Aβλ Fγ μν .									(15.3.5)
Тогда (15.3.2) принимает вид
	DμFα μν = −Jα ν ,								(15.3.6)
ãäå Jαν — ток только полей материи:
J	ν	≡ −i	∂LM	t			ψ.		(15.3.7)
J	α	≡ −i		t			ψ.
	α		∂Dνψ		α
			∂Dνψ

Åñëè LM калибровочно-инвариантен, то этот ток калибровочно-ко- вариантен. Кроме того, действуя Dν на (15.3.6) и используя комму-

тационные соотношения

[Dν , Dμ ] Fαρσ = −i(tAγ )αβ Fγνμ Fβρσ = −CγαβFγνμ Fβρσ ,

мы видим, что Jαν удовлетворяет калибровочно инвариантному за-

кону сохранения

D J	ν	=	0,	(15.3.8)
ν	α		0,

15.3. Уравнения поля и законы сохранения

а не обычному закону сохранения (15.3.4), которому удовлетворяет полный ток Jαν. Кроме того с помощью (15.1.5) можно непосредствен-

но вывести тождества

Dμ Fανλ + DνFαλν + Dλ Fαμν = 0,

(15.3.9)

которые справедливы независимо от того, удовлетворяют или нет калибровочные поля уравнениям поля.

Эти результаты позволяют еще раз подчеркнуть отмеченную в разделе 15.1 глубокую аналогию между неабелевыми калибровоч- ными теориями и общей теорией относительности. В общей теории относительности существует аналогичный току Jμ тензор энергииимпульса материи Tνμ, удовлетворяющий общековариантному закону сохранения Tνμ;ν = 0 и входящий в правую 1часть уравнений Эйнштейна в их общековариантной форме: Rνμ – δνμR = –8πGTνμ. Однако Tνμ не сохраняется в обычном смысле, т. к. ∂νTνμ не обраща-