Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001).pdf

не мог бы сохраняться. Аналогично, J να содержит слагаемое калиб-

ровочного поля (первое слагаемое в (15.3.3)), так как для неабелевых групп (тех, у которых Cγαβ ¹ 0) калибровочные поля несут кван-

товые числа, с которыми они же и взаимодействуют. Поскольку ток Jαν сохраняется в обычном смысле, его можно рассматривать как

ток таких квантовых чисел, причем генераторы симметрии определяются независящими от времени величинами

(Кроме того, однородные уравнения (15.3.9) включают ковариантные производные, как и тождества Бьянки в общей теории относительности.) Ни одно из этих усложнений не возникает в квантовой электродинамике, так как фотоны не несут то квантовое число, электрический заряд, с которым они взаимодействуют.

15.4. Квантование

Переходим к квантованию описанных в двух предыдущих разделах калибровочных теорий. Лагранжиан берется в виде (15.3.1):

L = - 1 FαμνFα μν + LM (y, Dμ y), (15.4.1)

4

ãäå

Fαμν ≡ ∂μ Aαν − ∂νAαμ + Cαβγ Aβμ Aγν , Dμψ º ¶μ y - itα Aαμ y.

Невозможно немедленно проквантовать эту теорию, приравняв коммутаторы произведению i на соответствующие скобки Пуассона. Проблема заключается в связях. По терминологии Дирака, введенной в гл. 7, существует первичная связь

и вторичная связь, обусловленная полевым уравнением для A0α:

что это связи первого рода, с которыми нельзя обойтись простой заменой скобок Пуассона на скобки Дирака.

Как и в электродинамике, для работы со связями следует выбрать калибровку. В данном случае принятая в электродинамике кулоновская калибровка привела бы к болезненным усложнениям *, поэтому мы предпочтем вести рассмотрение в аксиальной калибров-

Каноническими переменными калибровочного поля являются в этом случае Aαi, где теперь i принимает значения 1 и 2, и канонически

сопряженные импульсы

∂L 0i

Παi ≡ ∂b∂0Aαi g = −Fα = ∂0Aαi − ∂iAα0 + Cαβγ Aβ0Aγi . (15.4.5)

Ïîëå Aα0 не является независимой канонической переменной, а оп-

ределяется через другие переменные в силу уравнения связи (15.4.3). Чтобы увидеть это, заметим, что компоненты напряженности «электрического» поля Fαμ0 равны

* Помимо чисто алгебраических усложнений, в кулоновской калибровке (как во многих других) возникает проблема, известная под названием неоднозначности Грибова 9: даже при условии, что Aα обращается в нуль на

пространственной бесконечности, для каждого решения уравнения кулоновской калибровки Ñ×Aα = 0 существуют другие решения, отличающиеся

конечными калибровочными преобразованиями. Неоднозначность Грибова не будет нас беспокоить, поскольку мы проводим квантование в аксиальной калибровке, где эта неоднозначность отсутствует, а другие калибровки, например, лоренцовская, используются только для построения ряда теории возмущений.

Следуя общим правилам, выведенным в разделе 9.2, можно с помощью полученной плотности гамильтониана вычислять матричные элементы как функциональные интегралы по Aαi, Παi, ψl è πl ñ âåñî-

вым множителем exp(iI), где

I = z d4x Παi∂0Aαi + πl∂0ψl − H + слагаемые с ε , (15.4.13)

а слагаемые с ε служат только для получения в знаменателях про-

пагаторов правильных бесконечно малых мнимых добавок (см. раздел 9.2). Заметим, что формулы (15.4.7) и (15.4.9) определяют Aα0 как функционал от канонических переменных, линейный по Παi è πl.

Тогда анализ формулы (15.4.11) показывает, что подынтегральное выражение в полном действии (15.4.13) не более чем квадратично по Παi è πα (при условии, что LM не более чем квадратичен по Dμψ).

Поэтому с помощью обычных правил гауссовского интегрирования можно вычислить функциональный интеграл по каноническим «импульсам». Проблема, связанная с такой процедурой, состоит в том, что коэффициенты в квадратичных по Παi слагаемых в (15.4.13) являются функциями Aαi, так что гауссовский интеграл приводит к

неприятным множителям, содержащим зависящие от поля детерминанты. Кроме того, весь описанный формализм выглядит безнадежно лоренц-неинвариантным.

Вместо того, чтобы продолжать такой путь, применим трюк, аналогичный использованному в разделе 9.6 при формулировке электродинамики на языке функциональных интегралов. Заметим, что если попытаться рассматривать Aα0 как независимую переменную, то действие (15.4.13) очевидно квадратично по Aα0, при- чем коэффициент при слагаемом второго порядка Aα0(x)Aβ0(y) равен не зависящему от полей ядру (∂3)2δ4(x – y). Как было показано в приложении к гл. 9, интеграл от такого гауссиана по Aα0(x)

с точностью до постоянного множителя равен значению подынтегрального выражения в стационарной «точке» показателя экспоненты. Но стационарная точка действия есть решение уравнения связи (15.4.7), поскольку вариационная производная действия в данном случае равна