Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001).pdf

Отсюда, вместо того, чтобы использовать для Aα0 решение уравне-

ния (15.4.7), можно с тем же успехом считать эту величину независимой переменной интегрирования.

Итак, если рассматривать Aα0 как независимую переменную, гамильтониан òd3xH очевидно квадратичен по Pαi, причем коэффициент при слагаемом второго1 порядка Pαi(x)Pβj(y) определяется не зависящим от поля ядром d4(x – y)dij. Предполагая, что это же верно и для материальной переменной pl, можно с точностью до постоянного множителя вычислить интегралы по путям по pl è Pαi, просто взяв pl è Pαi в стационарных точках действия, соответству-

ющих лагранжиану (15.4.1):

Подстановка этих выражений обратно в (15.4.13) дает

где L — лагранжиан (15.3.1), с которого мы начинали! Иными словами, мы должны брать функциональные интегралы по yl(x) и всем четырем компонентам Aαμ(x) с явно ковариантным весовым

множителем exp(iI), определяющимся выражениями (15.4.14) и (15.3.1), а условие аксиальной калибровки обеспечивается включе- нием множителя

Åñëè OA, OB ... калибровочно-инвариантны, то

(В соответствии с нашими обычными обозначениями для функционалов от функций или функционалов считается, что B[f[ϕ]] зависит от значений, принимаемых функционалом fα[ϕ;x] для всех значе- ний не указанных явно переменных α и x, но при фиксированной выписанной явно переменной — функции ϕn(x).) Выражение (15.5.1)

не является самым широким из возможных обобщением выражения(15.4.16). В разделе 15.7 мы увидим, что существует дальнейшее обобщение, требуемое в ряде случаев. Начнем все же с (15.5.1), так как это поможет обосновать формализм раздела 15.7, и вполне достаточно для работы с неабелевыми калибровочными теориями в большинстве удобных калибровок.

Нам следует проверить, что интеграл по путям (15.4.16) является на самом деле частным случаем выражения (15.5.1). Поля ϕn(x) в (15.4.16) включают как Aαμ(x), так и поля материи ψl(x), причем

(Мы опускаем различие между верхними и нижними индексами α, β, ...) Сравнение (15.4.16) с выражениями (15.5.1)–(15.5.3) показыва-

ет, что эти интегралы по путям действительно одинаковы, если не считать множителя Det F [ϕ]. В частном случае фиксирующего ка-

либровку функционала (15.5.4) этот множитель не зависит от поля. Действительно, если Aα3(x) = 0, тогда изменение Аα3(x) под действием калибровочного преобразования с параметрами λα(x) равно

Aλα3 (x) = ∂3λα (x) = z d4y λα (y) ∂3δ4 (x − y) ,

так что в данном случае (15.5.3) — не зависящая от поля «матрица»

Fαx,βy[ϕ] = δαβ∂3δ4 (x − y) .

Поэтому в такой калибровке детерминант в (15.5.1) тоже не зависит от поля. Как обсуждалось в гл. 9, не зависящие от поля множители в функциональном интеграле влияют только на ту часть средних и матричных элементов S-матрицы, которые связаны с вакуумными флуктуациями и несущественны при вычислении связных частей S-матрицы.

Чтобы увидеть, что функциональный интеграл (15.4.16) для неабелевых калибровочных теорий является частным случаем общего интеграла по путям (15.5.1), следует заметить, что в этом выражении мы можем свободно изменять калибровку. Конкретнее, справедлива теорема, что интеграл (15.5.1) действительно не зависит (в широких пределах) от фиксирующего калибровку функционала fα[ϕ;x] и зависит от выбора функционала B[f] только че-

рез несущественный постоянный множитель.

Доказательство. Заменим везде в (15.5.1) переменную интегрирования ϕ на новую переменную ϕΛ, ãäå Λα(x) — произвольный

(но фиксированный) набор параметров калибровочного преобразования:

полагаемую калибровочную инвариантность (15.5.2) меры Πdϕ, умноженной на функционал G [ϕ], чтобы переписать это выражение в виде

Òàê êàê Λα(x) было произвольным, выражение в левой части не может от него зависеть. Интегрируя по Λα(x) с некоторым подходящим весовым функционалом ρ[Λ] (он будет выбран ниже), получим: