Файл: Садовский М.В. Квантовая теория поля. Часть 1.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 387

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

.

19

' ¨ ¥£® ¯¥à¢ëå ¯à®¨§¢®¤­ëå. à ¢­¥­¨¥ «¥©­

{ ®à¤®­

«¥£ª® ¢ë¢®¤¨âáï á ¯®-

¬®éìî « £à ­¦¨ ­ :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

')(@ ') ;

m2

2

 

1

 

 

2

; (r')

2

2

2

 

 

L = 2(@

 

2

'

=

2

[(@0

')

 

 

; m

'

]

(2.15)

í⮬ ¬®¦­® ã¡¥¤¨âìáï, ¥á«¨ à áᬮâà¥âì ®¡é¨© « £à ­¦¥¢ ä®à¬ «¨§¬ ¢ ⥮ਨ ¯®«ï. ¤­ ª® ¯à¥¦¤¥ ¯®«¥§­® ᤥ« âì ¥é¥

âáâ㯫¥­¨¥ ® à §¬¥à­®áâïå:

à áᬠâਢ ¥¬®© á¨á⥬¥ ¥¤¨­¨æ ~ = c = 1 à §¬¥à­®áâ¨ í­¥à£¨¨, ¬ ááë ¨ ®¡à â­®© ¤«¨­ë ¯à®- á⮠ᮢ¯ ¤ îâ: [í­¥à£¨ï]=[¬ áá ]=[l;1]. «ï ¯®­¨¬ ­¨ï ¯®á«¥¤­¥£® à ¢¥­á⢠¤®áâ â®ç­® ¢á¯®- ¬­¨âì, çâ® ª®¬¯â®­®¢áª ï ¤«¨­ ¢®«­ë ç áâ¨æë á ¬ áᮩ m ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª ª ~=mc. ¥©á⢨¥

S = d4xL ¨¬¥¥â à §¬¥à­®áâì ~ ¨, â ª¨¬ ®¡à §®¬, ¡¥§à §¬¥à­®! ®£¤ à §¬¥à­®áâì « £à ­¦¨ ­

[L] = [l;4]. ®®â¢¥âá⢥­­®, ¨§ (2.15) ¯®«ãç ¥¬ à §¬¥à­®áâì ᪠«ïà­®£® ¯®«ï ['] = [l;1]. ®¤®¡­ë©

­ «¨§R

à §¬¥à­®á⥩ ¯à¨£®¤¨âáï ­ ¬ ­¥ ®¤­ ¦¤ë.

ãáâì ¯®«¥ ' § ¯®«­ï¥â ­¥ª®â®àãî ®¡« áâì (®¡ê¥¬) R ¢ ¯à®áâà ­á⢥ { ¢à¥- ¬¥­¨ ¨­ª®¢áª®£®. ª ç¥á⢥ ­ ç «ì­®© ¨ ª®­¥ç­®© £¨¯¥à¯®¢¥àå­®á⥩ ¬®¦­® ¢§ïâì ¢à¥¬¥­­ë¥ á१ë t = t1 ¨ t = t2. áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ì­ë¥ ¬ «ë¥ ¢ ਠ樨 ª®®à¤¨­ â ¨ ¯®«¥©:

x ! x0 = x + x

(2.16)

'(x) ! '0(x) '(x) + '(x)

(2.17)

ਠí⮬ ¯®« £ ¥¬, çâ® ¢ ਠ樨 x ¨ '(x) ®¡à é îâáï ¢ ­ã«ì ­

£à ­¨æ¥ à á-

~

 

 

 

 

 

ᬠâਢ ¥¬®© ®¡« á⨠R:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

'(x) = 0

x

 

= 0

x 2 R

(2.18)

áᬮâਬ ¤®áâ â®ç­® ®¡é¨© á«ãç ©, ª®£¤ « £à ­¦¨ ­ L ® § ¢¨á¨â ®â ª®- ®à¤¨­ âë x , çâ® ¬®¦¥â ¡ëâì ¢ á¨âã 樨, ª®£¤ ¨¬¥¥âáï ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ á ¢­¥è­¨¬¨ ¨áâ®ç­¨ª ¬¨. ®«­ ï ¢ ਠæ¨ï ¯®«ï ¬®¦¥â ¡ëâì § ¯¨á ­ ¢ ¢¨¤¥:

 

 

 

'0(x0) = '(x) + '(x)

 

 

 

 

 

 

 

(2.19)

£¤¥

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

' = '0(x0) ; '(x0) + '(x0) ; '(x) = '(x) + x (@ ')

(2.20)

®£¤ ¢ ਠæ¨ï ¤¥©áâ¢¨ï ¥áâì:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S =

Z

d4x0

L

('0; @

 

'0; x0 )

; Z

d4x

L

('; @

 

'; x

 

)

(2.21)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¤¥áì d4x0 = J(x=x0)d4x, £¤¥ J(x=x0) { 类¡¨ ­ ¯¥à¥å®¤

®â x ª x0. § (2.16) ¢¨¤­®,

çâ®

 

 

 

 

@x0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= + @ x

 

 

 

 

 

 

 

(2.22)

 

 

 

 

 

@x

 

 

 

 

 

 

 

¨ ¤«ï 类¡¨ ­ ¬®¦­® ­ ¯¨á âì ¯à®á⮥ ¢ëà ¦¥­¨¥ á â®ç­®áâìî ¤® ç«¥­®¢ ¯¥à¢®£®

¯®à浪 ¯® x :

= 1 + @ ( x )

 

@x0

 

J(x=x0) = Det @x

(2.23)

20

.

 

®£¤

 

 

 

S = Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

£¤¥:

 

 

 

d4x[ L + L@ x ]

 

 

 

(2.24)

 

 

 

= @L ' +

 

@L

 

 

@L

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

(@ ') +

x

 

(2.25)

 

 

@(@ ')

 

 

 

 

 

@'

 

 

@x

 

 

 

 

 

§ (2.16) ïá­®, çâ® (@ ') = @ ', â ª çâ® ¨§ (2.24) ¨ (2.25) ­¥¬¥¤«¥­­® á«¥¤ã¥â:

 

S =

ZR

d4x

@L ' +

@L

@ ( ') + @ (

L

x )

 

(2.26)

 

 

 

@'

 

@(@ ')

 

 

 

 

 

à¥âì¥ á« £ ¥¬®¥ ¢ 䨣ãà­ëå ᪮¡ª å ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¯®«­ãî ¤¨¢¥à£¥­æ¨î, â ª ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ¢ª« ¤ ¢ ¨­â¥£à « ¬®¦¥â ¡ëâì ¯à¥®¡à §®¢ ­ (¯® ⥮६¥ãáá ) ¢ ¯®¢¥àå­®áâ­ë© ¨­â¥£à « ¯® £à ­¨æ¥ ®¡« á⨠R. â®à®¥ á« £ ¥¬®¥ ¢ (2.26) â ª¦¥ ¬®¦­® ¯¥à¥¯¨á âì â ª¨¬ ®¡à §®¬, çâ®¡ë ¢ë¤¥«¨âì ¯®«­ãî ¤¨¢¥à£¥­æ¨î:

 

@(@@L')

@ ( ') = @

@(@@L')

' ; @

@(@@L')

'

(2.27)

१ã«ìâ ⥠¯¥à¥¯¨áë¢ ¥¬ ¢ ਠæ¨î ¤¥©á⢨ï (2.26) ¢ ¢¨¤¥:

 

 

 

S =

ZR

d4x

 

@L

;

@

 

 

@L

 

 

' +

 

 

 

 

 

 

@'

 

 

@(@ ')

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

d

 

@L

'

+

L

x

 

 

(2.28)

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

@ '

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ZR

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ᨫã ãá«®¢¨ï (2.18) ¢ ਠ樨 ' ¨ x ­

£à ­¨æ¥ ®¡« á⨠¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï R à ¢­ë

­ã«î, â ª çâ® ¯®¢¥àå­®áâ­ë© ¨­â¥£à « ¢ (2.28) ®¡à é ¥âáï ¢ ­ã«ì. ®£¤

ãá«®¢¨¥

áâ 樮­ à­®á⨠¤¥©á⢨ï S = 0 ¯à¨ ¯à®¨§¢®«ì­ëå ¢ ਠæ¨ïå ¯®«ï ¨ ª®®à¤¨­ â

¤ ¥â:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@L

 

 

@

 

 

 

@L

= 0

 

 

 

(2.29)

 

 

 

 

; @x

@(@ ')

 

 

 

 

 

 

 

@'

 

 

 

 

 

 

 

â® ¥áâì ®¡é¨© ¢¨¤ ãà ¢­¥­¨© £à ­¦

 

(ãà ¢­¥­¨© ¤¢¨¦¥­¨ï) ¤«ï ¯®«ï ' 1.

¯¨è¥¬ « £à ­¦¨ ­ ᪠«ïà­®£® ¯®«ï ¢ ¢¨¤¥ ¯à®á⥩襩 ª¢ ¤à â¨ç­®© ä®à¬ë

¯® ¯®«î ¨ ¥£® ¯¥à¢ë¬ ¯à®¨§¢®¤­ë¬:

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

L =

2g (@ ')(@ ') ; 2m2'2

(2.30)

®£¤ ¨¬¥¥¬

 

 

 

 

 

 

@L =

;

m2

'

@L

= g (@ ') = @ '

(2.31)

@'

 

 

@(@ ')

 

 

¨ ãà ¢­¥­¨¥ £à ­¦ ᢮¤¨âáï ª ãà ¢­¥­¨î «¥©­ { ®à¤®­ :

 

 

@ @ ' + m2' ' + m2' = 0

(2.32)

â® ãà ¢­¥­¨¥ «¨­¥©­® ¨ ®â¢¥ç ¥â ᢮¡®¤­®¬ã (­¥¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãî饬ã) ¯®«î. ᫨ ¡ë ¬ë ¯à¨¯¨á «¨ ª « £à ­¦¨ ­ã (2.30) ¨­¢ ਠ­âë ¯®«ï ' ¡®«¥¥ ¢ë᮪¨å ¯®à浪®¢ (á⥯¥­¥©), â® ã ­ á ¢®§­¨ª«¨ ¡ë ­¥«¨­¥©­ë¥ ãà ¢­¥­¨ï ¤¢¨¦¥­¨ï ¤«ï á ¬®¤¥©áâ¢ã- î饣® ᪠«ïà­®£® ¯®«ï.

1 ஢¥¤¥­­ë© ¢ë¢®¤ á¯à ¢¥¤«¨¢ ¤«ï «î¡®£® ¯®«ï, ­¥ ®¡ï§ ⥫쭮 ¤«ï ᪠«ïà­®£®. á«ãç ¥ ¢¥ªâ®à­ëå,⥭§®à­ëå ¨«¨ ᯨ­®à­ëå ¯®«¥© í⮬ã ãà ¢­¥­¨î 㤮¢«¥â¢®àïî⠢ᥠª®¬¯®­¥­âë ¯®«п, ª®в®ал¥ ­г¬¥аговбп б®®в¢¥вбв¢гой¨¬¨ ¨­¤¥ªб ¬¨.

.

21

¥®à¥¬ ¥â¥à.

¥à­¥¬áï ª ¢ëà ¦¥­¨î (2.28) ¨ ¯¥à¥¯¨è¥¬ ¯®¢¥àå­®áâ­ë© ¨­â¥£à « ¢ ¨­®¬ ¢¨¤¥:

 

ZR

 

@'

;

 

 

 

@(@ ')

 

 

S =

 

 

d4x

 

@L

 

@

@L

' +

 

+

~ d

@(@@L')

[ ' + (@ ') x ];

 

 

 

ZR ; @(@@L')

(@ ') ; L x

(2.33)

£¤¥ ¯à®áâ® ¤®¡ ¢«¥­® ¨ ¢ëç⥭® ®¤­® ¨ ⮦¥. ëà ¦¥­¨¥ ¢ ¯¥à¢ëå ª¢ ¤à â­ëå ᪮¡ª å ¢ ¯®¢¥àå­®áâ­®¬ ¨­â¥£à «¥ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¯®«­ãî ¢ ਠæ¨î ¯®«ï, ®¯à¥¤¥«¥­­ãî ¢ (2.20). â®à ï ª¢ ¤à â­ ï ᪮¡ª , ª ª ¬ë ã¡¥¤¨¬áï ­¨¦¥, ®¯à¥¤¥- «ï¥â ⥭§®à í­¥à£¨¨ { ¨¬¯ã«ìá :

 

 

 

=

@L

@ ' ; L

 

 

(2.34)

 

 

 

@(@ ')

 

 

¥¯¥àì S ¯¥à¥¯¨áë¢ ¥âáï ¢ ¢¨¤¥:

; @x

@(@ ')

 

 

 

 

ZR

 

 

@'

 

 

 

S =

 

d4x

@L

 

 

@

 

@L

' +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ZR

 

@L

' ;

x

 

 

 

 

+

 

~ d

 

@(@ ')

 

(2.35)

¬¥â¨¬, çâ® ¯¥à¢ë© ¨­â¥£à « §¤¥áì à ¢¥­ ­ã«î (¯à¨ ¯à®¨§¢®«ì­ëå ¢ ਠæ¨ïå ') ¢ ᨫ㠢믮«­¥­¨ï ãà ¢­¥­¨© ¤¢¨¦¥­¨ï (2.29). áᬮâਬ ⥯¥àì ¢â®à®© ç«¥­ ¢ (2.35). ãáâì ¤¥©á⢨¥ S ¨­¢ ਠ­â­® ®â­®á¨â¥«ì­® ­¥ª®â®à®© ­¥¯à¥à뢭®© £à㯯ë

¯à¥®¡à

§®¢

­¨© x ¨ ' (£àã¯¯ë ¨). ®£¤

¬®¦­® § ¯¨á âì ¨­ä¨­¨â¥§¨¬ «ì­ë¥

¯à¥®¡à

§®¢

­¨ï:

 

 

 

 

x = X !

' = !

(2.36)

£¤¥ ! { ¡¥áª®­¥ç­® ¬ «ë¥ ¯ à ¬¥âàë £à㯯®¢®£® ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï (\ã£«ë ¯®¢®- à®â "), X { ­¥ª®â®à ï ¬ âà¨æ , { ­¥ª®â®àë¥ ç¨á« . ¬¥â¨¬, çâ® ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥, ¨­¤¥ªáë ¯à¨ íâ¨å ¢¥«¨ç¨­ å ¬®£ãâ ¡ëâì ¤¢®©­ë¬¨, âன­ë¬¨ ¨ â.¯., ¢ ç áâ­®á⨠¬®¦­® à áᬮâà¥âì á«ãç ©, ª®£¤ ¨¬¥¥âáï ­¥ª®â®àë© ¬ã«ì⨯«¥â ¯®- «¥© 'i, â ª çâ®

'i = ij !j

(2.37)

£¤¥ ⥯¥àì ¨ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¬ âà¨æã ¢ ­¥ª®â®à®¬ ¡áâà ªâ­®¬ (\¨§®â®¯¨ç¥- ᪮¬") ¯à®áâà ­á⢥.

ॡãï ⥯¥àì ¨­¢ ਠ­â­®á⨠¤¥©á⢨ï S = 0 ¯® ®â­®è¥­¨î ª ¯à¥®¡à §®¢ ­¨î

(2.36), ¨§ (2.35), á ãç¥â®¬ (2.29), ¯®«ãç

¥¬:

 

 

 

ZR

 

@L

; X

! = 0

 

~ d

 

@(@ ')

 

(2.38)

çâ®, ¢¢¨¤ã ¯à®¨§¢®«ì­®á⨠! , ¯à¨¢®¤¨â ª:

 

 

 

 

 

ZR

 

J = 0

 

 

 

 

 

d

 

 

(2.39)

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22 .

£¤¥:

@(@@L')

 

 

J =

; X

(2.40)

® ⥮६¥ ãáá ¨§ (2.39) ¯®«ãç ¥¬ ãà ¢­¥­¨¥ ­¥¯à¥à뢭®áâ¨:

 

@

J = 0

(2.41)

 

 

 

 

 

â ª çâ® ¢¥«¨ç¨­ J ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© á®åà ­ïî騩áï ⮪. ®ç­¥¥, á®åà ­ïî-

饩áï ¢¥«¨ç¨­®© ï¥âáï ®¡®¡é¥­­ë© § àï¤:

 

Q = Z d J

(2.42)

£¤¥ ¨­â¥£à « ¡¥à¥âáï ¯® ¯à®¨§¢®«ì­®© ¯à®áâà ­á⢥­­® { ¯®¤®¡­®© £¨¯¥à¯®¢¥àå­®- á⨠. ᫨ ¢§ïâì ¢ ¢¨¤¥ £¨¯¥à¯«®áª®á⨠t = const, â® ¯®«ã稬 ¯à®áâ® ¨­â¥£à « ¯® âà¥å¬¥à­®¬ã ®¡ê¥¬ã V :

Q = ZV d3xJ0

(2.43)

¡ëç­ë¬ ®¡à §®¬ [25], ¨­â¥£à¨àãï (2.41) ¯® ®¡ê¥¬ã V , ¨¬¥¥¬:

 

ZV d3x@0J0 + ZV @iJi = 0

(2.44)

â®à®© ¨­â¥£à « §¤¥áì ¯à¥®¡à §ã¥âáï ¯® âà¥å¬¥à­®© ⥮६¥ ãáá

¢ ¯®¢¥àå­®áâ-

­ë©, ª®â®àë© ®¯à¥¤¥«ï¥â ¯®â®ª § àï¤ ç¥à¥§ íâã ¯®¢¥àå­®áâì [25]. «ï § ¬ª­ã⮩

á¨á⥬ë ( ᥫ¥­­®©) íâ®â ¯®â®ª à ¢¥­ ­ã«î ¨ ¯®«ãç ¥¬:

 

 

d

 

d3xJ0 =

dQ = 0

(2.45)

 

dt ZV

 

 

dt

 

â® ¨ ¥áâì ®á­®¢­®¥ ã⢥ত¥­¨¥ â¥®à¥¬ë ¥â¥à | ¨­¢ ਠ­â­®áâì ¤¥©áâ¢¨ï ®â- ­®á¨â¥«ì­® ­¥ª®â®à®© ­¥¯à¥à뢭®© ®¯¥à 樨 (£à㯯ë) ᨬ¬¥âਨ ¯à¨¢®¤¨â ª á®- ®â¢¥âáâ¢ãî饬㠧 ª®­ã á®åà ­¥­¨ï.

áᬮâਬ ¯à®á⮩ ¯à¨¬¥à. ãáâì ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï ᨬ¬¥âਨ (2.36) ᢮¤ïâáï

ª¯à®áâë¬ âà ­á«ïæ¨ï¬ ¢ ¯à®áâà ­á⢥ { ¢à¥¬¥­¨:

x = "

' = 0

(2.46)

â ª çâ®

 

 

X =

= 0

(2.47)

®£¤ ¨§ (2.40) ­¥¬¥¤«¥­­® ¯®«ãç ¥¬:

 

 

J = ;

(2.48)

¨ ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 § ª®­ á®åà ­¥­¨ï ¨¬¥¥â ¢¨¤:

 

dt Z

 

 

 

 

d

d3x 0

= 0

(2.49)

 

 

 

 

 

 

 

çâ® ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© § ª®­ á®åà ­¥­¨ï í­¥à£¨¨ { ¨¬¯ã«ìá

¨, ªáâ â¨, ¯®¤â¢¥à-

¦¤ ¥â ¢¢¥¤¥­­®¥ ¢ëè¥ ®¯à¥¤¥«¥­¨¥ ⥭§®à

í­¥à£¨¨ { ¨¬¯ã«ìá . ਠí⮬, ¢¥«¨-

稭

P = Z d3x 0

 

 

(2.50)

Смотрите также файлы