Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001).pdf

При проведении вычислений самое простое – это сказать, что из петлевых слагаемых ∏*LOOP(q2) мы должны вычесть полином

первого порядка по q2 с коэффициентами, подобранными так, чтобы разность удовлетворяла условиям (10.3.17) и (10.3.18). Как будет видно далее, эта вычитательная процедура попутно сокращает бесконечности, возникающие от интегралов в импульсном пространстве, определяющих ∏*LOOP. Однако, как должно быть ясно, перенормировка

масс и полей непосредственно не имеет ничего общего с существованием бесконечностей и необходима даже в теории, в которой все интегралы в импульсном пространстве сходятся.

Важным следствием условий (10.3.17) и (10.3.18) является утверждение, что не нужно включать радиационные поправки во внешние линии на массовой оболочке, поскольку

Аналогичные замечания применимы к частицам произвольного спина. Например, лагранжиан «голого» дираковского поля имеет вид

(Индекс 2 у Z по традиции используется для обозначения константы перенормировки фермионного поля.) Тогда лагранжиан можно переписать в виде:

входящей фермионной линией с 4-импульсом k, и одной выходящей линией с тем же 4-импульсом, которые нельзя сделать несвязными, раз-резав любую внутреннюю фермионную линию, причем пропа-гаторное множители −i(2p)4 è [ik/ + m - ie]−1 для внешних ли-

ний опущены. (Здесь использована лоренцовская инвариантность, согласно которой å* есть обычная функция скалярной матрицы k/ º kμ g μ .) Тогда полный фермионный пропагатор имеет вид

S¢(k) = [ik/ + m - ie]−1 + [ik/ + m - ie]−1 å* (k/ )[ik/ + m - ie]−1

Условие, чтобы полный пропагатор имел полюс при k2 = −m2 ñ òåì

же вычетом, что и свободный пропагатор, имеет вид:

пределе k/ → im показывает, что на массовой поверхности можно

пренебречь радиационными поправками к внешним фермионным

линиям. Соответствующие результаты для фотонного пропагатора будут получены в разделе 10.5.

10.4.Перенормированный заряд

èтождества Уорда

Ñпомощью соотношений коммутации и законов сохранения для гейзенберговских операторов можно установить связь между зарядами (или аналогичными величинами) в плотности лагранжиана и свойствами физических состояний. Напомним, что инвариант-

ность плотности лагранжиана относительно глобальных калибро-

вочных преобразований Ψl → exp(iqlα)Ψl (с произвольной постоянной фазой α) влечет за собой существование тока

удовлетворяющего условию сохранения

Отсюда вытекает, что пространственный интеграл от временной компоненты Jμ не зависит от времени:

(Очень важное возможное исключение связано с тем, что интеграл (10.4.4) может не существовать, если в системе имеются дальнодействующие силы, обязанные безмассовым скалярам. Мы вернемся к этому вопросу при рассмотрении нарушенных симметрий в т. II.) Кроме того, поскольку Q является интегралом по пространству, эта величина явно трансляционно-инвариантна:

à òàê êàê Jμ — 4-вектор, Q инвариантен по отношению к однород-

ным преобразованиям Лоренца:

Отсюда следует, что оператор Q, действуя на истинный вакуум Ψ0,

дает другое лоренц-инвариантное состояние нулевой энергии и импульса, которое (в предположении, что вакуум невырожден) должно быть пропорционально самому Ψ0. Но константа пропорцио-

нальности должна обращаться в нуль, так как из лоренц-инвари- антности следует, что (Ψ0, JμΨ0) = 0. Отсюда получаем:

Кроме того, оператор Q, действуя на любое одночастичное состояние Ψp,σ,n, должен переводить его в другое состояние с теми же

энергией, импульсом и теми же трансформационными свойствами относительно преобразований Лоренца, и следовательно (предполагая отсутствие вырождения одночастичных состояний), в состояние, пропорциональное тому же одночастичному состоянию:

Лоренц-инвариантность Q гарантирует, что собственное значение q(n) не зависит от р и s, а зависит только от сорта частиц. Это собственное значение известно как электрический заряд (или ка- кое-то другое квантовое число, для которого Jμ может быть током)

одночастичного состояния. Чтобы связать его с параметрами ql в лагранжиане, заметим, что из канонических коммутационных соотношений следует

То же верно и для любой локальной функции F(y) заданного числа полей, их производных и сопряженных им величин: