Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001).pdf

Скачать файл (47,62Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 1930

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

10.4. Перенормированный заряд и тождества Уорда			599

	Q, F(y)	= −qFF(y) ,	(10.4.11)
	Q, F(y)	= −qFF(y) ,	(10.4.11)

ãäå qF − сумма ql для всех полей и их производных в F(y) минус

сумма ql для всех сопряженных полей и их производных. Беря матричный элемент этого соотношения между одночастичным состоянием и вакуумом и используя формулы (10.4.7) и (10.4.8), получаем

cY0 , F(y)Yp,σ,n h (qF - q(n) ) = 0 .	(10.4.12)
Следовательно, должно быть
q( n) = qF ,	(10.4.13)
если только
cY0 , F(y)Yp,σ,n h ¹ 0 .	(10.4.14)

Как мы видели в предыдущем разделе, при условии (10.4.14) функции Грина, включающие F, в импульсном пространстве имеют полюсы, отвечающие одночастичному состоянию Yp,σ,n. Äëÿ îäíî-

частичного состояния, соответствующего одному из полей в лагранжиане, мы могли бы взять F = Yl, и в этом случае qF = ql,

однако наши результаты применимы и к произвольным одночастич- ным состояниям, независимо от того, входят ли соответствующие им поля в лагранжиан или нет.

Это почти полностью убеждает нас в том, что несмотря на все мыслимые диаграммы высшего порядка, дающие вклад в амплитуды испускания и поглощения фотонов заряженными частицами, физический электрический заряд строго равен параметру ql в функции Лагранжа (или сумме таких параметров типа qF). Уточнение, которое необходимо сделать, заключается в том, что требование инвариантности лагранжиана относительно преобразований Yl ® exp(iqla)Yl никак не фиксирует общий масштаб величин ql.

Физические электрические заряды определяют отклик полей материи на заданное перенормированное электромагнитное поле Aμ.

Иными словами, масштаб величин ql фиксируется требованием, чтобы перенормированное электромагнитное поле входило в лагранжиан материи LM в линейных комбинациях [¶μ − iqlAμ]Yl, òàê ÷òî òîê Jμ имеет вид

600	Глава 10. Непертурбативные методы

J	μ =	δLM	.	(10.4.15)

		δAμ

Однако Aμ è ql — не те же самые величины, что «голое электромагнитное поле» ABμ и «голые заряды» qBl, входящие в лагранжиан,

записанный в простейшей форме *

L = − 21 (∂μ ABν − ∂νABμ ) (∂μ ABν − ∂νABμ ) + LM (Ψl , [∂μ − iqBl ABμ ]Ψl ) .

(10.4.16) Перенормированное электромагнитное поле (определенное так, чтобы его точный пропагатор имел полюс при р2 = 0 с единичным вычетом) принято записывать в терминах поля ABμ â âèäå

Aμ = Z−1/2Aμ		,	(10.4.17)
3	B

поэтому для того, чтобы заряд ql характеризовал отклик заряженных частиц на данное перенормированное электромагнитное поле, нужно определить перенормированные заряды соотношением

ql =

qBl .

(10.4.18)

Мы видим, что физический электрический заряд q любой частицы просто пропорционален некоторому параметру qB, связанному с теми параметрами, которые входят в лагранжиан, причем коэффициент пропорциональности Z3–1/2 одинаков для всех частиц. Это позволяет понять, каким образом частица вроде протона, окруженная облаком виртуальных мезонов и других сильновзаимодействующих частиц, может иметь тот же электрический заряд, что и позитрон, все взаимодействия которого много слабее. Необходимо всего лишь предположить, что по каким-то причинам заряды qBl в лагранжиане равны и противоположны по знаку для электрона и совокупности тех частиц (двух u-кварков и одного d-кварка), из которых составлен протон. Эффект поправок высшего порядка проявится при этом только в появлении общего множителя Z3–1/2.

* Следует иметь в виду, что автор не выписывает слагаемые, фиксирующие калибровку электромагнитного поля. — Прим. ред.

10.4. Перенормированный заряд и тождества Уорда	601

Для того, чтобы перенормировка заряда возникала только от радиационных поправок к фотонному пропагатору, должны происходить сокращения большого числа других радиационных поправок к пропагаторам и электромагнитным вершинам заряженных частиц. Можно чуть глубже проникнуть в природу этих сокращений, если воспользоваться знаменитыми соотношениями между пропагаторами заряженных частиц и вершинами, известными как тождества Уорда.

Рассмотрим, например, функцию Грина электрического тока Jμ(x) совместно с гейзенберговским дираковским полем Ψn(y), имеющим заряд q, и ковариантно сопряженным ему полем `Ψm(z). Определим электромагнитную вершинную функцию Γμ заряженной час-

тицы формулой

z d4xd4yd4ze-ip×xe-ik×ye+il×z dΨ0 , TnJm (x)Ψn (y)Ψm (z)sΨ0 i

′	m	′			(10.4.19)
			(l)δ	4	(p + k − l) ,
≡ −iqSnn¢ (k)Γn¢m¢ (k, l)Sm¢m

ãäå

′			(k − l) ≡ z d				-ik×y		+il×z
′	(k)δ	4		4	4	z dΨ0 , TnΨn (y)Ψm (z)sΨ0 i e	-ik×y		+il×z
−iSnm	(k)δ				yd	z dΨ0 , TnΨn (y)Ψm (z)sΨ0 i e		e

. (10.4.20)

Согласно теореме раздела 6.4, формула (10.4.20) определяет сумму всех фейнмановских диаграмм с одной входящей и одной выходящей фермионной линиями,т. е. точный дираковский пропагатор. Кроме того, формула (10.4.19) определяет сумму всех таких диаграмм, но с дополнительной внешней фотонной линией, так что Γμ равна сумме

«вершинных» диаграмм с одной входящей и одной выходящей дираковскими линиями и одной фотонной линией, но с отброшенными точными пропагаторами дираковских внешних линий и свободным пропагатором внешней фотонной линии. Чтобы окончательно выяснить нормировку S′ è Γμ, заметим, что в пределе отсутствия взаимо-

действий эти функции принимают следующие значения:

′	(k) → [iγ lk	λ	+ m − iε]	−1	,	Γ	μ	(k, l) → γ	μ	.
S

Однопетлевые диаграммы, дающие поправки к указанным предельным значениям, показаны на рис. 10.5.

602	Глава 10. Непертурбативные методы

Рис. 10.5. Диаграммы первых поправок к электронному пропагатору и вершинной функции в квантовой электродинамике. Прямые линии отвечают электронам, волнистые — фотонам

Можно вывести соотношение между Γμ è S′, используя тожде-

ñòâî

∂xμ

∂

Jμ

(x)Ψ

(y)Ψ

(z)

= T ∂

Jμ

(x)Ψ

(y)Ψ

(z)

+ δ(x0 − y0 )Tn

J0 (x)Ψn (y)

m (z)s

(10.4.21)

+ δ(x0 − z0 )TnΨn (y) J0 (x), Ψm (z) s ,

где дельта-функции возникают от дифференцирования ступенча- тых функций. В силу закона сохранения (10.4.2) первое слагаемое обращается в нуль. Второе и третье слагаемые можно вычислить с помощью коммутационных соотношений (10.4.9), которые в данном случае имеют вид