708 |
Глава 12. Общая теория перенормировок |
Рис. 12.4. Однопетлевая диаграмма скаляр-скалярного рассеяния в теории с четвертичным взаимодействием с производными
рого содержат бесконечные вклады, сокращающие ультрафиолетовые расходимости петлевой диаграммы *.
Петлевая диаграмма приводит также к конечным слагаемым в амплитуде рассеяния, пропорциональным выражениям типа s4 ln s + t4 ln t + u4 ln u, s2t2 ln u + t2u2 ln s + u2s2 ln t и т. д. с вычисляемыми коэффициентами, пропорциональными g2. Указанные конечные слагаемые представляют поправки к амплитуде рассеяния в низшем порядке, необходимые для обеспечения унитарности S-матрицы, однако пока что самый простой способ их расчета — пертурбативная квантовая теория поля.
Хотя неперенормируемые теории позволяют получить полезные разложения по степеням энергии, они неизбежно теряют всякую предсказательную силу при энергиях порядка характерной для всех констант общей шкалы масс М. Если буквально воспринимать такие разложения, то полученные для элементов S-матрицы результаты будут противоречить при E . M ограниче- ниям, накладываемым условием унитарности. Похоже, что в отношении происходящего при таких энергиях существуют только две возможности. Одна заключается в том, что растущий вклад эффектов неперенормируемых взаимодействий как-то насыщается, так что никаких противоречий с унитарностью не возникает 15. Другая связана с появлением на масштабах порядка М какой-то новой физики. В этом случае неперенормируемые теории, описывающие
* Если использовать размерную регуляризацию, то это единственные ультрафиолетовые расходимости, возникающие в однопетлевых диаграммах. В других методах регуляризации возникают также четвертичные и квадратичные расходимости, которые сокращаются контрчленами в четырехскалярных взаимодействиях с четырьмя или шестью производными.
12. 3. Нужна ли перенормируемость? |
709 |
природу при энергиях Е n М, являются не истинно фундаментальными, а просто эффективными теориями поля.
Вероятно, самым первым примером эффективной теории поля была построенная в 1930-х годах Эйлером и др.16 теория низкоэнергетических фотон-фотонных взаимодействий (см. раздел 1.3). По существу они вычислили вклад в фотон-фотонное рассеяние фейнмановских диаграмм типа показанной на рис. 12.5, и обнаружили, что при энергиях много меньших me рассеяние света на света оказывается таким же, как если бы оно было вычислено с помощью эффективного лагранжиана
Lýôô = |
2a2 |
|
(E2 |
- B2)2 + 7(E × B)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
45me4 |
|
|
eE |
|
eB |
|
|
|
|
|
|
|
+ более высокие порядки по |
|
|
|
è |
|
. |
|
m2 |
m2 |
|
|
|
|
|
|
e |
|
e |
Эйлер и др. использовали этот эффективный лагранжиан только в древесном приближении, и вычислили ведущие слагаемые в матричных элементах фотонного взаимодействия. Лишь намного позднее такие лагранжианы, несмотря на их неперенормируемость, стали использовать вне рамок древесного приближения 12,17.
Рис. 12.5. Диаграмма фотон-фотонного рассеяния. Ее вклад при низких энергиях можно вычислить, исходя из эффективного лагранжиана Эйлера и др. 16. Прямые линии отвечают электронам, волнистые — фотонам
710 |
Глава 12. Общая теория перенормировок |
На современном жаргоне мы говорим, что при получении такого лагранжиана «по электронам было произведено интегрирование», поскольку в однопетлевом приближении
exp |
F X |
4 |
|
I |
= |
iY |
Lýôô(E, B) d |
x |
K |
|
H Z |
|
|
|
O |
F X |
4 |
|
I |
|
(x)P exp |
|
. |
iY |
LÊÝÄ (ψe , A) d |
x |
K |
P |
H Z |
|
|
|
Q |
|
|
|
|
|
Более общая процедура заключается в том, чтобы выписать самый общий неперенормируемый эффективный лагранжиан, с его помощью рассчитать различные амплитуды в виде разложений в ряд по энергиям и импульсам, а затем выбрать константы в эффективном лагранжиане, сравнив полученные результаты с теми, которые выводятся с помощью лежащей в основе теории.
Мы еще вернемся к эффективным теориям поля, особенно при рассмотрении нарушенных симметрий в т. II. Как будет показано, эффективные теории поля полезны, даже если их нельзя вывести из лежащей в основе теории, либо потому, что эта теория неизвестна, либо потому, что взаимодействия в ней слишком сильны, чтобы можно было использовать теорию возмущений. Действительно, даже если мы ничего не знаем о свойствах заряженных частиц, рассеяние фотонов при достаточно низких энергиях должно будет описываться эффективным лагранжианом, содержащим слагаемые (Е2 - Â2)2 è (Å×Â)2, поскольку это единственные
четвертичные калибровочно и лоренц-инвариантные слагаемые, не содержащие производных от Е и В. Слагаемые с такими производными должны быть подавлены при низких энергиях фотонов Е дополнительными множителями Е/М, где М — некоторая типич- ная масса заряженных частиц, по которым было произведено интегрирование. Можно продвинуться еще дальше: будет показано, что эффективные теории поля полезны даже в том случае, когда описываемые ими легкие частицы вообще не присутствуют в исходной теории, а состоят из тяжелых частиц, по которым произведено интегрирование. Лежащая в основе теория может вообще не быть теорией поля — трудности с включением гравитации привели многих теоретиков к убеждению, что такая теория есть на самом деле теория струн. Но откуда бы ни возникала эффективная теория поля, она неизбежно должна быть неперенормируемой.
12. 4. Плавающее обрезание |
711 |
12.4. Плавающее обрезание *
Прежде чем завершить эту главу, полезно сделать несколько замечаний о связи общепринятой теории перенормировок с подходом, впервые развитым Вильсоном 18. В методе Вильсона вводится «плавающее» конечное ультрафиолетовое обрезание (либо резкое, либо сглаженное) при импульсах с компонентами порядка Λ, а затем вместо устремления Λ → ∞ требуется, чтобы голые константы теории ** (входящие в лагранжиан) зависели от Λ таким образом, чтобы все наблюдаемые величины не зависели от Λ.
Удобно работать с безразмерными параметрами. Если голая константа связи или массовый параметр gi(Λ) имеют размерность [масса] i , можно определить соответствующий безразмерный па-
раметр Gi формулой
Gi (Λ) ≡ Λ− i gi (Λ) . |
(12.4.1) |
На основании обычного размерного анализа получаем, что значе- ние Gi при каком-то значении Λ′ параметра обрезания можно за-
писать как функцию значения Gi при другом значении параметра Λ и отношения Λ′/Λ:
Gi (Λ′) = Fi bG(Λ), Λ′ / Λ)g . |
(12.4.2) |
В функции F не могут появиться никакие другие параметры, кроме Λ′ è Λ, поскольку в ней не может быть ультрафиоле-
товых или инфракрасных расходимостей. Действительно, разница между константами при значениях Λ è Λ′ возникает от диа-
грамм, у которых импульсы внутренних линий имеют значения между Λ è Λ′. Дифференцируя (12.4.2) по Λ′ и полагая затем Λ′ равным Λ, приходим к дифференциальному уравнению для Gi:
*Этот раздел лежит несколько в стороне от основной линии изложения
èможет быть опущен при первом чтении.
** Имеются в виду параметры теории — как собственно константы связи, так и массовые параметры. Ниже часто они все, для краткости, называются константами связи (couplings). — Прим. ред.