Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001).pdf

700 Глава 12. Общая теория перенормировок

перенормировок. Это теории, в которых все взаимодействия удовлетворяют условию перенормируемости

Di º 4 - di - å nif (sf + 1) ³ 0 ,

f

ãäå di è nif − числа производных и полей типа f во взаимодейст-

âèÿõ òèïà i, à sf есть (с некоторыми уточнениями) спин полей типа f. Чтобы в таких теориях была осуществима перенормировка, обычно еще необходимо, чтобы все разрешенные принципами симметрии перенормируемые взаимодействия действительно содержались в лагранжиане.

Важно, что существует лишь ограниченное число взаимодействий такого типа. Величина Di становится отрицательной, ес-

ли у нас слишком много полей или производных, или полей со слишком большими значениями спина. Если нет специальных сокращений, вообще не существует перенормируемых взаимодействий, включающих поля спина sf ³ 1, поскольку единственное возможное слагаемое в лагранжиане с Di ³ 0, включающее такое

поле вместе с двумя или более другими полями, должно содержать одно поле с sf = 1 и два скаляра без всяких производных, что противоречит лоренц-инвариантности. В т. II мы увидим, что произвольные безмассовые калибровочные поля спина 1 в соответствующей калибровке эффективно имеют sf= 0 как у фотона. кроме того, в т. II будет показано, что даже массивные калибровочные поля могут эффективно иметь sf = 0 в зависимости от того, каким образом они приобрели массу. Если не считать этих особых случаев, в табл. 12.2 приведен список всех перенормируемых слагаемых в лагранжиане, разрешенных лоренц-инвариант- ностью и калибровочной инвариантностью и включающих скаляры (s = 0), фотоны (s = 0) и фермионы спина 1/2 (s = 1/2).

Мы видим, что требование перенормируемости накладывает жесткие ограничения на возможные физические теории. Подобные ограничения являются ценным ключом к пониманию структуры этих теорий. Например, лоренцовская и калибровочная инвариантности сами по себе разрешают введение «паулиевского» слагаемого, пропорционального`y[gμ,gν]yFμν в лагранжиан кванто-

вой электродинамики, что сделало бы магнитный момент электрона настраиваемым параметром, но мы исключаем подобные слагаемые, поскольку они неперенормируемы.

Табл. 12.2. Допустимые перенормируемые слагаемые в лагранжиане, содержащие скалярные поля ϕ, дираковские поля ψ и поля фотонов Aμ.

Величины nif è di — число полей типа f и число производных во взаимодействии типа i, i — размерность соответствующего коэффициента

Успешные предсказания квантовой электродинамики вроде описанного в разделе 11.3 вычисления магнитного момента электрона можно рассматривать как подтверждения принципа перенормируемости. Это же относится и к стандартной модели слабых, электромагнитных и сильных взаимодействий, обсуждаемой в т. II. Есть множество слагаемых, которые можно было бы добавить в лагранжиан этой теории, например, четырехфермионные взаимодействия между кварками и лептонами, и которые полностью исказили бы все предсказания стандартной модели, но такие слагаемые исключаются только на том основании, что они неперенормируемы.

Должны ли мы верить утверждению, что лагранжиан может содержать только перенормируемые взаимодействия? Как мы ви-

дели в предыдущем разделе, если включить в лагранжиан все бесконечное количество взаимодействий, разрешенных симметриями, то для сокращения каждой ультрафиолетовой расходимости найдется соответсвующий контрчлен. В этом смысле, как и утверждалось ранее, неперенормируемые теории так же перенормируемы, как и перенормируемые теории, если только в лагранжиан вклю- чены все возможные слагаемые.

В последние годы усиливается ощущение, что перенормируемость не является фундаментальным физическим требованием, и что на самом деле любая реалистичная квантовая теория поля должна содержать как перенормируемые, так и неперенормируемые слагаемые. Такое изменение точки зрения можно отчасти проследить в продолжающихся неудачных попытках построить перенормируемую теорию гравитации. В общем классе метрических теорий тяготения, подчиняющихся эйнштейновскому принципу эквивалентности, вообще нет перенормируемых взаимодействий: общековариантные взаимодействия должны строиться из тензора кривизны и его общековариантных производных, и поэтому даже в «калибровке», в которой пропагатор гравитона ведет себя как k−2, эти взаимодействия содержат слишком много про-

изводных метрического тензора для того, чтобы быть перенормируемыми. В частности, неперенормируемость общей теории относительности следует из того известного факта, что константа гравитационного взаимодействия 8πGN = (2,43 × 1018 ÃýÂ)−2 имеет отрицательную размер-

ность. Даже если со всем остальным все в порядке, сокращение расходимостей из-за виртуальных гравитонов будет требовать наличия в лагранжиане всех разрешенных симметриями взаимодействий, включающих не только гравитоны, но и любые частицы.

Но если перенормируемость не является фундаментальным физическим принципом, то как же объяснить успех перенормируемых теорий вроде квантовой электродинамики и стандартной модели? Ответ можно получить с помощью простого размерного анализа. Мы уже отмечали, что константа связи взаимодействия типа i имеет размерность

где показатель i дается формулой (12.1.9). К неперенормируемым относятся те взаимодействия, у которых константы связи имеют отрицательную массовую размерность. Представляется разум-