Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001).pdf

Коэффициент при Mβα в правой части равен полному заряду в ко-

нечном состоянии минус полный заряд в начальном состоянии, так что условие обращения в нуль эквивалентно условия сохранения заряда. Итак, без всяких дополнительных предположений о калибровочной инвариантности, мы получаем, что для частиц со спином единица и массой нуль из лоренц-инвариантности вытекает сохранение любой константы связи типа электрического заряда, определяющей взаимодействие этих частиц при низких энергиях.

Между прочим, амплитуда испускания мягкого гравитона с 4-им- пульсом q и тензорными индексами m, n в процессе a ® b дается

формулой 3, аналогичной (13.1.3):

ãäå fn − константа связи мягкого гравитона с частицами типа n. Из лоренц-инвариантности вытекает, что свертка амплитуды с qμ îá-

ращается в нуль. Но

так что сумма å fnpnν сохраняется. Однако единственная линейная

комбинация 4-импульсов, которая может сохраняться, не приводя к запретам на все нетривиальные процессы рассеяния, это полный 4- импульс, так что для сохранения (13.1.6) все fn должны быть равны. (Общее значение fn можно считать равным 8pGN , ãäå GN — ньюто-

новская постоянная тяготения.) Таким образом, из лоренц-инвари- антности вытекает, что низкоэнергетические безмассовые частицы спина 2 одинаково взаимодействуют со всеми формами энергии и импульса. Это первый шаг на долгом пути к доказательству, что принцип эквивалентности Эйнштейна является необходимым следствием лоренц-инвариантности в применении к безмассовым частицам спина 2. Аналогично, амплитуда испускания мягкой безмассовой частицы со спином j ³ 3 в процессе a ® b имеет вид

Требование лоренц-инвариантности приводит к тому, что сумма å gnpnν pρn . . . должна сохраняться. Но ни одна такая величина не мо-

жет сохраняться без запрета на все нетривиальные процессы рассеяния, так что все gn должны обращаться в нуль. Безмассовые частицы со спином j ³ 3 могут существовать, но их константы связи

должны обращаться в нуль в пределе низких энергий, в частности, такие частицы не могут быть переносчиками сил, убывающих обратно пропорционально квадрату расстояния.

Рассмотрим теперь испускание двух мягких фотонов. Вклад в матричный элемент от диаграммы, в которой два фотона испускаются с разных внешних линий процесса a ® b, определяется умножением матричного элемента a ® b на произведение множителей

вида (13.1.1) или (13.1.2). Может быть, несколько удивительно, что тот же результат верен, если два фотона испускаются со одной и той же линии. Например, если фотон 1 испускается с внешней линии частицы с зарядом +е и 4-импульсом р после фотона 2, получа- ем множитель

N p × q1 - ihe Q N p × (q2 + q1) - ihe Q

если же фотон 2 испускается после фотона 1, этот множитель принимает вид

N p × q2 - ihe Q N p × (q1 + q2 ) - ihe Q

(См. рис. 13.2. Фактор h по-прежнему равен +1 или −1 в зависимости

от того, является линия заряженной частицы выходящей или входящей.) Сложение двух множителей приводит к выражению

N p × q1 - ihe Q N p × q2 - ihe Q

Рис. 13.2. Диаграммы испускания двух мягких фотонов одной и той же входящей заряженной частицей. Прямые линии — жесткие частицы, волнистые линии — мягкие фотоны

равному произведению множителей, возникающих при испускании одного фотона.

Âобщем случае при испускании произвольного числа фотонов

ñодной и той же внешней линии, получаем сумму вида*

* Это тождество можно доказать методом математической индукции. Уже показано, что оно верно для двух фотонов. Пусть оно верно для N - 1

фотонов. Для N фотонов следует написать сумму по перестановкам как сумму по выбору первого излучаемого фотона и сумму по перестановкам остающихся фотонов:

p × q1 - ihe -1 p × (q1 + q2 ) - ihe -1 . . .

что и требовалось доказать.