Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001).pdf

13.3. Реальные мягкие фотоны. Сокращение расходимостей

Разрешение описанной в предыдущем разделе проблемы инфракрасной расходимости заключается в наблюдении, что реально невозможно измерить вероятность Gβα реакции a ® b с участием

определенного числа фотонов и заряженных частиц, поскольку фотоны очень малой энергии всегда могут ускользнуть от регистрации. Реально можно измерить вероятность Gβα(E,ET) такой реакции, в

которой регистрируются фотоны с энергией больше какой-то малой величины Е, а нерегистрируемые мягкие фотоны, число которых может быть произвольным, уносят общую энергию, не превышающую некоторую малую величину ET. (Конечно, E £ ET. В экспе-

рименте без детекторов мягких фотонов при определении предельной полной энергии ET, уносимой этими фотонами, естественно основываться на измерениях энергий «жестких» частиц в состояниях a è b. В таком случае мы просто полагаем Е = ЕT.) Обратимся к

вычислению такой вероятности.

Матричный элемент процесса a ® b с испусканием N реаль-

ных мягких фотонов получается сворачиванием каждого из N индексов поляризации m1, m2, ... в амплитуде (13.1.8) с соответствующей

коэффициентной функцией

e*μ (q, h) , (2p)3/2 2| q|

где q — импульс фотона, h = ±1 — его спиральность, а eμ — ñîîò-

ветствующий «вектор» поляризации фотона *. Тогда матричный элемент испускания фотонов (матричный элемент S-матрицы без дельтафункции) можно записать в виде

* Мы используем обозначение εμ вместо eμ для вектора поляризации

фотона, чтобы избежать путаницы с обозначением еn для электрических зарядов.

(Верхний индекс l напоминает о том, что эти амплитуды должны вычисляться при заданном инфракрасном обрезании l импульсов виртуальных фотонов. В конце концов мы перейдем к пределу l ® 0.

Присутствие мягких виртуальных фотонов не противоречит результату (13.3.1) из-за обсуждавшейся в разделе 13.1 факторизации.) Дифференциальная вероятность испускания N мягких фотонов в элемент объема импульсного пространства Õrd3qr задается квад-

ратом этого матричного элемента, просуммированным по спиральностям и умноженным на Õrd3qr. Напомним, что согласно формуле

(8.5.7) сумма по спиральностям при q2 = 0 принимает вид:

ãäå ñ º −q/2|q|2, à c0 º 1/2|q|. Условие сохранения заряда ånhnen = 0 позволяет отбросить в (13.3.2) слагаемые, содержащие qμ èëè qν, è

получить в результате дифференциальную вероятность *

Чтобы вычислить дифференциальную вероятность испускания N мягких фотонов с определенными энергиями wr º |qr|, следует про-

интегрировать (13.3.3) по направлениям испульсов фотонов qr. Эти интегралы уже встречались нам при вычислении интегралов (13.2.8):

Интегрируя (13.3.3) по направлениям фотонов, получаем дифференциальную вероятность процесса с испусканием фотонов с энергией w1, ..., wN:

* В случае N = 1 выражение |q|dGβα(q)/Gβα соответствует классическому

распределению энергии, излучаемой скачком меняющейся 4-векторной плотностью тока, имеющей вид: Jμ(x) = ån(t)d3(x - vnt)pnμen/En, причем при t < 0 сумма берется только по частицам в начальном состоянии, а при t > 0 - по частицам в конечном состоянии.

ãäå A(a ® b) — та же, что и в предыдущем разделе, константа:

Из выражения (13.3.5) следует, что неограниченный снизу интеграл по энергиям испущенных фотонов приведет к новым инфракрасным расходимостям. Однако из условия унитарности вытекает, что если было введено инфракрасное обрезание по импульсам виртуальных фотонов (на что указывает верхний индекс l), следует

проделать такое же инфракрасное обрезание импульсов реальных фотонов. Для вычисления вероятности Gλβα(E,ET) реакции a ® b, â

которой любой нерегистрируемый фотон уносит энергию не больше Е, а любое число нерегистрируемых фотонов уносит энергию не более ЕÒ (величины Е и ЕÒ выбраны достаточно малыми, чтобы не противоречить использованным при выводе формулы (13.3.1) приближениям), следует проинтегрировать (13.3.5) по энергиям всех фотонов, при условии, что E ³ wr ³ l è årwr £ ET, затем разделить на

N!, поскольку этот интеграл содержит конфигурации, отличающиеся только перестановкой N мягких фотонов, и наконец просуммировать по N. В результате получаем

Этот интеграл мог бы быть представлен как произведение N интегралов по отдельным wr, если бы не ограничение årwr £ ET. Åãî

можно учесть. если включить в подынтегральное выражение в каче- стве множителя ступенчатую функцию

Тогда формула (13.3.6) принимает вид

Интеграл в экспоненте можно взять в пределе λ n ET, записав его как сумму интеграла от (eiωu − 1)/ω, в котором можно положить λ = 0, и интеграла от 1/ω, который тривиален. Делая масштабное преобразование переменных u и ω, получаем при λ n ET:

Åñëè Å è ÅÒ одного порядка и А n 1, множитель F (E/ET,A) в (13.3.9) близок к единице. Например,

F (1; A) g1 − 121 π2 A2 + . . .

Òàê êàê A(α → β) > 0, множитель (E/λ)A(α → β) в (13.3.9) стремится к бесконечности в пределе λ → 0. Однако из формулы (13.3.10) видно, что в этом пределе вероятность Γλβα обращается в нуль:

Подставляя это выражение в (13.3.9), получаем, что в пределе λ n ET инфракрасное обрезание λ выпадает из ответа: