Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001).pdf

Знак «минус» в правой части (14.1.11) указывает на то, что vN являются знаменитыми дираковскими решениями с «отрицательными энергиями». Как видно из (14.1.8), такие решения необходимы для полноты системы волновых функций. Конечно, при умеренных внешних полях в теории нет состояний с отрицательными энергиями, так что все EN положительны. Однако все еще есть существенная разница между состояниями с неисчезающими uN èëè vN: из определений (14.1.4) и (14.1.5) следует, что состояния могут иметь uN ¹ 0 èëè vN ¹ 0 только, если они имеют, соответственно,заряд -å èëè +å.

Именно в этом смысле решения уравнения Дирака с отрицательными энергиями имеют отношение к существованию античастиц. Однако это соображение никак не связано с деталями уравнения Дирака и даже со значением спина электрона.

Из дираковских волновых уравнений (14.1.10) и (14.1.11) легко получить *, что волновые функции с разными энергиями ортогональны. Именно,

(EM - EN* )duN† uM i = Ñ × duN† ig 0γuM i ,

При аналогичных граничных условиях для vN находим тем же путем:

* Следующим ниже, вообще говоря, нестрогим рассуждениям можно придать строгий математический смысл, если исходить из того, что дифференциальный оператор ig 0 gÑ + m + ieg λ Aλ (x) (гамильтониан Дирака

во внешнем поле) является самосопряженным оператором в гильбертовом пространстве дираковских спиноров ψ(x) со скалярным произведением

(y1, y2 ) = z dxy1+ (x)y2 (x) . — Ïðèì. ðåä.

Полагая N = M, получаем из (14.1.12) и (14.1.13), что все энергии действительны. Опуская в (14.1.12)−(14.1.14) знак комплексного со-

пряжения над EM, находим, что функции u с разными энергиями ортогональны, функции v с разными энергиями ортогональны, и (до тех пор пока потенциал недостаточно велик. чтобы порождать состояния отрицательной энергии) все u ортогональны ко всем v. Подбирая подходящим образом дискретные квантовые числа, которые наряду с энергией характеризуют состояния, можно всегда сделать так, чтобы

Умножая (14.1.8) справа на uM(y) èëè vM(y), находим, что эти волновые функции должны удовлетворять условиям нормировки

ãäå dNM - произведение кронекеровских дельта-символов и дельта-

функций в импульсном пространстве, причем нормировка согласована с той, которая использовалась при определении åN, òàê ÷òî åNdNM = 1. Эти условия нормировки непосредственно не имеют отно-

шения к любой вероятностной трактовке дираковских волновых функций, а являются следствиями антикоммутационных соотношений (14.1.7) для полей.

Обратимся к конкретному случаю чисто электростатического внешнего поля с А = 0. В принятом нами стандартном представлении матрицы Дирака имеют вид:

В этих формулах σ — обычный 3-вектор, составленный из 2 ´ 2 матриц Паули, а 1 и 0 — единичная и нулевая матрицы 2 ´ 2. Ââå-

дем двухкомпонентные волновые функции fN è gN, полагая

Уравнение на собственные значения энергии (14.1.10) примет вид:

В нерелятивистском случае, когда eА 0r d Za n 1, энергия связи m - EN порядка Z2a2m, в то время как оператор градиента порядка Zam, òàê ÷òî gN приблизительно в Za раз меньше fN. (Чтобы найти волновые функции позитрона, заменяем везде EN íà -EN,

так что в этом случае fN меньше gN во столько же раз.) В конце раздела мы вернемся к нерелятивистскому случаю.

Физические состояния можно расклассифицировать на четные и нечетные по отношению к пространственной инверсии:

ãäå hN — знаковый множитель, равный ±1. Напомним, что если

определить внутреннюю четность электрона равной +1, то дираковское поле преобразуется по отношению к инверсии по закону

Py(x, t)P−1 = by(-x, t) ,

так что из уравнений (14.1.4) и (14.1.5) следует, что дираковские волновые функции удовлетворяют условию четности:

Обратим внимание, что четность состояния совпадает с четностью

fN(x), íî íå gN(x).

Если потенциал А 0 инвариантен относительно вращений, решения волновых уравнений можно охарактеризовать их полным