Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001).pdf

Общая формула (13.6.8) может быть легче всего получена как фу- рье-преобразование тождества

θ(τ1 − τ2)θ(τ2 − τ3). . . θ(τN−1 − τN) + перестановки = 1.

Подставляя (13.6.8) в (13.6.6), приходим к окончательному выражению для амплитуды (13.6.1):

G μσ1′,,σμ2 ,...,μN (q1, q2 , . . . , qN ; p) ® (Ze)N (2p)N dσ′σpμ1 pμ2 . . . pμN

(13.6.9)

´ d3 (p¢ + q1 + q2 +. . .+qN - p)d(p × q1)d(p × q2 ). . . d(p × qN ) .

Этот результат применим как к релятивистским, так и к медленно движущимся тяжелым частицам, и может быть использован при выводе приближенной формулы Вейцзеккера−Вильямса9 äëÿ ðàñ-

сеяния заряженных частиц. В частном случае нерелятивистской тяжелой заряженной частицы с |p| n p0 формула (13.6.9) дополнительно упрощается:

G μσ1′,,σμ2 ,...,μN (q1, q2 , . . . , qN ; p) ® (Ze)N (2p)N nμ1 nμ2 . . . nμN

(13.6.10)

´ d3 (p¢ + q1 + q2 +. . .+qN - p)d(q10 )d(q20 ). . . d(qN0 )dσ′σ ,

где n — единичный времениподобный вектор,

n0 = 1, n = 0.

Предположим теперь, что в начальном и конечном состояниях присутствует одна тяжелая нерелятивистская частица * зарядом Ze и нормированной волновой функцией в импульсном представлении χσ(p). Используя фурье−представление дельта-функции в (13.6.9),

находим, что матричный элемент G для такого состояния имеет вид

Поэтому, в силу факторизации правой части выражения (13.6.11), результат добавления тяжелой заряженной частицы в данном состоянии с точки зрения фейнмановских правил в импульсном пространстве эквивалентен добавлению любого числа вершин нового типа. В этих вершинах легкие дираковские частицы зарядом −å,

например, электроны, взаимодействуют с внешним полем, причем каждая такая вершина вносит в полную амплитуду множитель ** (теперь уже учтены как фотонный пропагатор, так и электрон−

фотонная вершина)

(13.6.13)

ãäå k è k′ − начальный и конечный 4-импульсы электрона. Полная

амплитуда рассеяния должна быть усреднена по координате тяжелой

* Имеется в виду — помимо легких частиц. — Прим. ред.

** Первый множитель здесь − обычный множитель i, сопровождающий

по фейнмановским правилам константы в лагранжиане взаимодействия тяжелой заряженной частицы.

частицы Х с весовой функцией åσ|yσ(X)|2. Множитель (13.6.13) экви-

валентен тому, который возник бы из-за нового слагаемого в лагранжиане взаимодействия:

Естественно, это сводится к обычному кулоновскому потенциалу:

Если тяжелых заряженных частиц несколько (как в случае молекулы), следует выразить А μ(x) как сумму слагаемых типа (13.6.16),

каждое со своим зарядом Ze и координатой X.

Полезно представлять, какие диаграммы суммируются при использовании приближения внешнего поля. Рассмотрим взаимодействие отдельного электрона (неважно, релятивистского или нет) с отдельной тяжелой заряженной частицей, например, протоном или дейтроном. Если пренебречь всеми другими взаимодействиями, то фейнмановские диаграммы рассеяния электрона за счет взаимодействия с внешним полем содержат произвольное число вставок вершин внешнее поле-электрон (13.6.14) в электронную линию (рис. 13.4).

Но, как следует из суммы по перестановками в формуле (13.6.2), такие диаграммы в приближении внешнего поля возникают из диаграмм лежащей в основе этого приближения теории, где фотонные линии, подсоединенные к электронной линии, подсоединяются к линии тяжелой частицы всеми возможными способами (рис. 13.5). «Непересекающиеся лестничные диаграммы» (обозначенные буквой L) на рис. 13.5 не являются доминирующими в этой сумме, если только электрон и тяжелая заряженная частица не являются нерелятивистскими. (Такие диаграммы на языке старой теории возмущений содержат вклады от промежуточных состояний, в которых присутствуют

те же частицы, что и в начальном и в конечноь состояниях, а это приводит к малым энергетическим знаменателям при условии, что электрон и тяжелая заряженная частица — нерелятивистские. В то же время, все другие диаграммы рис. 13.5 соответствуют промежуточным состояниям, в которых присутствуют либо лишние фотоны, либо электрон−позитронные пары и даже пары тяжелая частица и ее

античастица, вклад которых подавлен большими энергетическими знаменателями.) Непересекающиеся лестничные диаграммы можно отсуммировать, решив интегральное уравнение, известное как уравнение Бете−Солпитера 10, но нет никакого смысла в отборе именно

этого подмножества диаграмм, если только обе частицы не являются нерелятивистскими, а в этом случае уравнение Бете−Солпитера просто

сводится к обычному нерелятивистскому уравнению Шредингера и релятивистским поправкам, связанным со спин−орбитальным взаи-

модействием, которые можно рассматривать как малое возмущение. Следует сказать, что до сих пор теория релятивистских эффектов и радиационных поправок в связанных состояниях не является полностью удовлетворительной.

При выводе формул (13.6.16) для внешнего поля мы учитывали взаимодействие тяжелой заряженной частицы с электромагнитным полем только в главном порядке по импульсу фотона. Существуют поправки более высокого порядка по импульсу фотона, возникающие от учета магнитного момента тяжелой частицы, ее квадрупольного электрического момента и т. д. Кроме того, конечно, существуют и радиационные поправки, возникающие от диаграмм кроме показанных на рис. 13.4, например, таких, где фотоны испускаются и поглощаются на электронной линии, или со вставками электронных петель в фотонные линии. В следующей главе будет показано, что для связанных состояний диаграммы рис. 13.4 необходимо учесть во всех порядках теории возмущений, а все другие поправки более высокого порядка по импульсам фотонов или по е можно включать как малые возмущения к этим диаграммам.

Задачи

1. Рассмотрите процесс е+ + å− → π+ + π− в с. ц. м. при энергии 1 ГэВ и угле рассеяния 90°. Предположим, что при измерении

энергии конечных пионов мы обнаруживаем, что энергия, не