Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 1891

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

14.3. Лэмбовский сдвиг в легких атомах

785

Для вычисления этого вклада можно использовать главное слагаемое в нерелятивистском матричном элементе (14.1.41), так что в результате имеем

dEN F1

´ z d3p¢

= -

e2

L

F

m2 I

+

2

+

3 O

 

 

 

 

MlnG

 

J

 

 

P

 

24p

2

2

2

5

 

 

 

 

me

N

H me K

 

 

4Q

(14.3.12)

z d3p fN† (p¢)eÀ0 (p¢ - p)(p¢ - p)2 fN (p)

или в координатном представлении

e2 dEN F1 = 24p2me2

L

F

m2

MlnG

 

2

N

H me

I

 

2

 

3 O

 

 

 

 

 

 

J

+

 

+

 

P z d3xfN† (x)

eÑ2À0 (x)

fN (x) .

5

4

K

 

 

 

 

Q

 

 

 

 

 

 

(14.3.13)

В частности, для кулоновского потенциала (14.1.2) имеем: eÑ2À 0(x) = −Ze2d3(x), индекс N включает главное квантовое число n и кван-

товые числа углового момента j, m, l, а из формулы (11.2.41) имеем:

[fnjml(0)]σ = 2(Zame/n3)3/2dl,0dσ,m/Ö4p. Соответственно сдвиг энергии

(14.3.11) принимает вид:

 

 

2Z4a5m

e

L

F m2 I

 

2

 

3 O

 

 

 

 

 

 

dEjnl

= -

 

 

MlnG

 

J

+

 

+

 

P dl,0 .

(14.3.14)

3pn

3

 

2

 

 

 

F1

 

 

N

H me

K

 

5

 

4Q

 

(Отсутствие зависимости dE от z-компоненты m полного углового

момента гарантируется инвариантностью относительно вращений.) Слагаемое 2/5 в скобках в (14.3.12) и (14.3.13) возникает за счет поляризации вакуума и дает ту же величину сдвига, которая была вычислена в разделе 11.2 с помощью скорее эвристических соображений.

Прежде чем переходить к вычислению магнитного и низкоэнергетического вкладов в сдвиг энергии, стоит заметить, что с помощью уже найденного результата можно без всякой дальнейшей работы получить хорошую оценку лэмбовского сдвига по порядку величины. Можно ожидать, что низкоэнергетические слагаемые будут содержать член, пропорциональный ln(m/B), с таким коэффициентом, чтобы сократить зависимость от m â (14.3.12).

Константа В есть энергия, необходимая для обезразмеривания

786

Глава 14. Связанные состояния во внешних полях

 

 

аргумента логарифма. Поскольку инфракрасное обрезание в конце концов определяется энергией связи электрона в атоме, можно предположить, что В равна типичной энергии связи, т. е. В g (Zα)2me.

Таким образом, полный сдвиг энергии в состоянии N с главным квантовым числом n и орбитальным моментом l равен:

δEN = −

2Z4α5m

e

 

lncZ4α4 hδl,0 + O(1)

 

.

(14.3.15)

 

 

3πn3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для 2s состояния атома водорода одно только логарифмическое слагаемое дает

δE g − α5me ln(α4 ) = 5,5 × 10−6 ýÂ = 1300 ÌÃö × 2πh. 2s 12π

Как мы увидим, слагаемые О(1) уменьшают полный сдвиг энергии примерно на 25 %.

Рассмотрим теперь вклад слагаемого F2 в матричный элемент Γ1μ. Как мы видели в разделе 10.6, это слагаемое можно интерпре-

тировать как радиационную поправку к магнитному моменту электрона. Подставляя формулы (14.3.10), (14.3.8) и (14.3.6) в (14.3.5), находим, что это слагаемое приводит к сдвигу энергии:

 

δEN

 

F2 = −

 

 

e2

 

z d3p′z d3pd

 

N (p′)

 

γ

μ , γ ν

 

uN (p)i

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

32π2m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

(14.3.16)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

× eÀμ (p′ − p)(p′ − p)ν ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или в координатном представлении

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ie2

 

 

 

 

ν

 

 

 

 

 

 

 

δEN

 

 

=

 

z d3x duN (x)

 

γ μ , γ

 

uN (x)ieFμν (x) ,

(14.3.17)

ãäå

 

 

F2

64π2me

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Fμν (x) ≡ ∂μ Àν (x) − ∂νÀμ (x).

(14.3.18)

В случае чисто электростатического поля, когда А = 0, этот сдвиг принимает вид

14.3. Лэмбовский сдвиг в легких атомах

787

 

 

 

 

-ie2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dEN

 

F2 =

z d3xduN (x)

 

γ , g 0

 

uN (x)i × Ñ

 

eÀ0 (x)

 

. (14.3.19)

 

 

32p2me

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В нерелятивистском пределе Za n 1 можно использовать прибли-

женный результат (14.1.43), который в данном случае имеет вид:

 

 

[g 0 , γ ]u

 

 

 

i

[(Ñf†

× σ σf ) +

(f†

σ σ × Ñf )]

(

u

N

N

) g

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

N

N

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

me

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

(14.3.20)

 

 

 

 

 

=

 

[Ñ(f† f ) - i(Ñf†

´ σ)f

- if†

(σ ´ Ñf )] .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N N

N

 

N

N

N

 

 

 

 

 

 

me

 

 

 

 

 

 

Подставляя это представление в правую часть формулы (14.3.19) и интегрируя по частям, находим, что этот вклад в сдвиг энергии дается формулой

dEN

 

F2 =

e2

z d3x

 

-| fN (x)|2 Ñ2 (eÀ0 (x))

 

 

 

32p2me2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(14.3.21)

+ 2ifN† (x) σ × cÑ(eÀ0 (x)h ´ ÑfN (x) .

Собирая вместе выражения (14.3.12) и (14.3.21), получаем полный отвечающий высоким энергиям вклад в сдвиг энергии в произвольном электростатическом потенциале А 0:

δEN высокие энергии =

e2

L

F

m2 I

 

2O

 

 

 

 

 

MlnG

 

 

J

+

 

P z d3x fN† (x)[eÑ2À0 (x)]fN (x)

 

24p

2

2

 

2

5

 

 

 

me

N

H me K

 

 

Q

(14.3.22)

 

 

 

ie2

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

z

d3x fN† (x) σ × cÑ(eÀ0 (x) ´ ÑfN (x)h .

 

 

 

 

 

 

 

 

16p2me2

 

 

 

 

 

 

Б. Слагаемое, отвечающее низким энергиям

Низкоэнергетический вклад в сдвиг энергии получается из первых трех слагаемых в (14.2.24) после подстановки

 

 

1

®

 

 

1

-

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

(14.3.23)

k

2

- ie

k

2

- ie

k

2

+ m

2

- ie

 

 

 

 

 

 

 

 

788

Глава 14. Связанные состояния во внешних полях

 

 

в фотонном пропагаторе. Эта подстановка по существу служит для обрезания интеграла по компонентам 4-импульса фотона k на вели- чинах порядка m, но это невозможно увидеть, пока аккуратно не

учтена перенормировка массы, так что до этого момента мы воздержимся от любых нерелятивистских приближений. Кроме того, сейчас мы учитываем импульсы фотонов того же порядка или меньше, чем энергии связи атомных состояний, так что необходимо рассмотреть ответственные за эту связь электростатические силы во всех порядках.

Вместо того, чтобы работать с формулой (14.2.24) импульсного представления, удобно вернуться к формуле (14.2.18) конфигурационного представления. В этом представлении низкоэнергетический вклад в собственноэнергетическую функцию электрона дается формулой

[å*À (x, y)]низкие энергии

= ie2g ρSÀ (x, y)g rD(x - y; m)

 

 

 

+ dm

(m)d4 (x - y) -

(Z (m) - 1) g m [¶

m

+ ieÀ

m

] + m

d4

(x - y) ,

(14.3.24)

e

 

 

 

2

 

 

d

 

 

 

 

e i

 

 

 

ãäå D(x − y; m) — модифицированный фотонный пропагатор,

D(x - y; m) =

1

X

 

4

 

ik×(x- y)

L

 

1

 

 

-

 

1

 

O

 

 

Y

d

 

ke

 

M

 

 

 

 

 

 

 

 

P ,

(14.3.25)

(2p)4

 

 

 

 

- ie

k2

 

 

 

 

Z

 

 

 

 

Nk2

 

+ m2 - ie Q

 

а контрчлены Z2(m) − 1 è dm(m) вычислены с помощью1 этого моди-

фицированного пропагатора. Переходя от временной переменной к энергетической, находим, что низкоэнергетический вклад в функцию (14.2.13) есть

[å

*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

ie2

X

4

k g

r

SÀ (x, y; E - k

0

)g

 

À

(x, y; E)]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y d

 

 

 

r

 

 

 

 

низкие энергии

 

(2p)4

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

O

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

´ M

 

 

 

 

-

 

 

 

 

 

 

 

P eik×(x-y)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

- ie

 

k

2

+ m

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N k

 

 

 

 

 

- ie Q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(14.3.26)

 

 

- (Z (m) - 1)

γ × Ñ + ig 0E + ieg nÀ

 

 

+ me

 

d3

(x - y)

 

 

 

 

2

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

h

 

 

 

 

 

+ dme(m) d3 (x - y) .

Смотрите также файлы