Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001).pdf

такое сокращение можно было предвидеть, поскольку это слагаемое выживает в пределе Zα → 0, а определение me(μ) как перенор-

мированной массы электрона требует, чтобы в этом пределе не было никакого сдвига энергии.

С помощью тех же рассуждений можно предвидеть, что слагаемое порядка αμ2/me â δme(μ) (которое больше, чем порядка α(Zα)4me, и поэтому им нельзя просто пренебречь) сокращает имею-

щие тот же порядок второе и третье слагаемые в правой части (14.3.35) *. С другой стороны, произведение слагаемого αμ2/me â δme

со вторым слагаемым в матричном элементе (14.3.40) имеет порядок

* Убедиться в этом сокращении можно следующим образом. Мы исходим из того, что второе и третье слагаемые в правой части (14.3.35) достаточно малы, так что их можно оценить с помощью предельно нерелятивистского приближения buN(x) = uN(x) в уравнении Дирака, которому удов-

летворяет uN(x). С другой стороны, хотя и можно пренебречь кулоновской силой в позитронных волновых функциях vM(x), сумма по М в третьем слагаемом содержит существенный вклад от релятивистских позитронов, так что мы используем приближение vp,σ(x) g (2p)-3/2v(p,s)eip×x, ãäå v(p,s) -

введенный в разделе 5.5 позитронный спинор, нормированный условием`v(p,s¢)v(p,s) = dσ¢σ. Таким образом, суммы по М во втором и третьем

слагаемых в (14.3.35) даются следующими приближенными формулами:

В главном порядке по m/me для этих слагаемых имеем соответственно

(продолжение сноски на с. 795)

(Za)2am2/me n a(Za)4me, и поэтому им можно пренебречь. Единственный остающийся в порядке a(Za)4me вклад от перенормировки массы − это произведение старшего слагаемого в dme(m) со слагаемым порядка (Za)2 â òd3x`uNuN:

(Это отмеченное в разделе 1.3 влияние перенормировки массы на кинетическую энергию электрона.)

Оказывается, что последнее выражение в точности равно взятому с обратным знаком первому слагаемому в (14.3.35), если в нем пренебречь разницей между уровнями энергии. Чтобы убедиться в этом, заметим, что интеграл в этом слагаемом эффективно обрезается на значениях |k| f m n Zame, поэтому можно вычислить мат-

ричный элемент ΓMN(k) в пределе k ® 0. В низшем порядке по Za èç

соотношения (14.2.32) находим:

и, используя полноту решений fN нерелятивистского уравнения Шредингера, имеем:

M

так что в этом порядке

* (Соотношение (14.3.32) исключает возможность того, что релятивистская поправка к последнему выражению могла бы не быть подавленной множителем k2/me2, возникающим в самом выражении при |k|2 n me2.) Указанные два слагаемых сокращаются со слагаемым +3m2/4pme в члене -dme(m)òd3x`uN(x)uN(x). Наконец заметим, что релятивистские поправки к

указанным выше приближенным оценкам сумм по состояниям позитронов включали бы дополнительные множители порядка v2/c2 d (Za)2, что давало бы вклады порядка a(Za)2m2/me2 n a(Za)4me. Этим оправдывается ис-

пользованное здесь нерелятивистское приближение.

Даже несмотря на то, что типичные значения импульса электрона много больше типичных атомных разностей энергии, это неверно для типичных значений |k| в данном интеграле, поскольку он был бы инфракрасно расходящимся, если не удерживать разность EN − EM в знаменателях. В пределе μ . |EM − EN| f (Zα)2me èíòå-

грал можно вычислить, разбив область интегрирования по |k| на два сегмента: от нуля до λ è îò λ до бесконечности, где в остальном произвольное значение λ выбрано так, чтобы |EM − EN| n λ n μ.

Таким образом,

Мнимая часть этого выражения отражает возможность перехода атома из состояния N в состояние М с меньшей энергией. Это слагаемое дает вклад в вероятность распада, равную мнимой части сдвига энергии. Нас же интересует действительная часть сдвига энергии, так что в дальнейшем мы опустим мнимую часть. Тогда из формулы (14.3.44) следует

(14.3.45)

В. Полный сдвиг энергии

Необходимо установить связь между суммой в формуле (14.3.45) и одним из матричных элементов в слагаемом (14.3.22), отвечающем высоким энергиям. Для этого посмотрим, прежде всего, какое

значение имела бы сумма в (14.3.45), если бы мы могли отбросить логарифм. Заметим, что (EM − EN)vNM = [v,H]NM, òàê ÷òî

å(EM - EN )| vMN |2 = 21 åc[vi , H]NM vMNi + vNMi [H, vi ]MN h M M

= − 2 1 2 c[pi , [pi , H]]hNN . me

Единственное слагаемое в нерелятивистском гамильтониане Н, которое не коммутирует с оператором импульса, это потенциал −eÀ 0(x), òàê ÷òî

Из выражений (14.3.45) и (14.3.22) следует, что пропорциональное ln m слагаемое в выражении, отвечающем вкладу высоких энер-

гий, сокращается с таким же слагаемым в выражении для вклада низких энергий:

До этого момента речь шла о произвольном электростатиче- ском поле А 0(x). Рассмотрим теперь частный случай чисто кулоновского поля: