Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001).pdf

800 Глава 14. Связанные состояния во внешних полях

(Поскольку выражение (14.3.49) обращается в нуль, не имеет значе- ния, в каких единицах измеряется EN - EM в (14.3.54).) Кроме того, в

состоянии с полным угловым моментом j и орбитальным моментом l скалярноеH произведение σ×L равно знакомому выражению j(j+1) - l(l+1) - , так что для главного квантового числа n среднее значение

оператора 1/r3 равно

Подставляя все результаты в (14.3.47), находим, что при l ¹ 0

Осталось лишь воспользоваться полученными формулами, чтобы найти значения сдвигов энергии. Средние энергии возбуждения следует находить численно. Используя нерелятивистские волновые функции электрона в атоме водорода, можно получить 5:

DE1s = 19,769266917(6) Ry,

DE2s = 16,63934203(1) Ry,

DE2p = 0,970429318(3) Ry,

ãäå 1 Ry º mea2/2 = 13,6057 эВ. Тогда из (14.3.53) находим:

Классический лэмбовский сдвиг − это разность энергий 2s и 2p1/2

состояний атома водорода, которые были бы вырожденными в отсутствии радиационных поправок. Наши вычисления приводят к результату

Это численно близко (хотя аналитически не тождественно) старому результату Кролла и Лэмба6 и Френча и Вайскопфа7, который был получен с помощью старой теории возмущений. Ранее в этой главе мы грубо оценили сдвиг в 1300 МГц, рассмотрев только вклад высоких энергий в сдвиг энергии 2s состояния, причем инфракрасное обрезание было наугад выбрано порядка α2me = 2 Ry. Теперь мы

видим, что оценка была завышенной, и произошло это главным образом потому, что правильное значение эффективного инфракрасного обрезания E2s = 16,64 Ry значительно больше того, которое предполагалось. С другой стороны, как было рассказано в разделе 1.3, в 1947 году Ганс Бете 8 сумел дать достаточно хорошую оценку лэмбовского сдвига —1040 МГц, рассмотрев только вклад низких энергий в сдвиг энергии 2s состояния, и выбрав ультрафиолетовое обрезание равным me. (Бете сделал и первую оценку энергии возбуждения E2s g 17,8 Ry.)

Описанное здесь вычисление лэмбовского сдвига было откорректировано за счет включения радиационных поправок более

высокого порядка, учета размеров ядра и эффектов отдачи. В настоящее время самая большая неопределенность проистекает от неуверенности в знании правильного значения среднеквадратичного зарядового радиуса rp протона. Для значений rp = 0,862 ´ 10−13 ñì èëè rp = 0,805 ´ 10−13 см одни вычисления 9 äàþò ëèáî 1057,87 ÌÃö,

либо 1057,85 МГц, в то время как другие 10 дают 1057,883 МГц или 1057,865 МГц. С учетом неопределенности в радиусе протона, согласие с современным экспериментальным значением 11 1057,845(9) МГц является превосходным. Точность экспериментальных данных ограничена главным образом естественной шириной линии 2р-уровня атома водорода, составляющей f 100 МГц, так что дальнейшее увеличение точности является трудной задачей.

В последние несколько лет произошло важно продвижение вперед в измерениях сдвига энергии самого 1s состояния путем прямого сравнения частоты 1s-2s резонанса с учетверенными частотами 2s-4s è 2s-4d двухфотонных резонансов. Эти s и d состоя-

ния много уже 2р состояния, так что подобные разности частот можно измерить более точно, чем классический лэмбовский сдвиг. Некоторое время казалось, что здесь возникло противоречие между теорией и экспериментом. Расчеты 12,13 показывали, что при радиусе протона rp = 0,862(11) ´ 10−13 ñì èëè 0,805(11) ´ 10−13 ñì

учет размеров протона и другие поправки увеличивают теорети- ческое значение сдвига энергии 1s состояния от приведенной выше величины 8127,4 МГц до 8173,12(6) МГц или 8172,94(9) МГц, соответственно. Так как считалось, что значение протонного радиуса rp = 0,862(11) ´ 10−13 см предпочтительнее, этот результат

несколько расходился с измеренным 13 значением 8172,86(5) МГц. Однако последующие вычисления 14, в которых использовалось именно это значение радиуса и были учтены поправки порядка a2(Za)5, привели к значениям сдвигов энергии 1s, 2s и 4s состоя-

ний, которые согласуются с экспериментом. Повидимому, квантовая электродинамика вновь одержала победу.

Задачи

1.Рассмотрите заряженную скалярную частицу массой m ¹ 0, описываемую полем j(x), которое взаимодействует только с внешним независящим от времени электромагнитным полем Аμ(x).