Файл: Садовский М.В. Квантовая теория поля. Часть 2.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 447

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

 

9

 

 

 

¨á. 1-2

 

 

¢¥¤¥¬ ᮡá⢥­­ë¥ ¢¥ªâ®à

®¯¥à â®à

ª®®à¤¨­ âë ¢ ¤¨à ª®¢áª¨å ®¡®§­ ç¥-

­¨ïå:

 

 

 

 

 

 

 

 

q^jq >= qjq >

(1.7)

®£¤

¢®«­®¢ ï äã­ªæ¨ï ­ 襩 ç áâ¨æë ¬®¦¥â ¡ëâì § ¯¨á ­

ª ª:

 

 

 

(qt) =< qj

t >S

(1.8)

£¤¥ j

t >S { ¢¥ªâ®à á®áâ®ï­¨ï ç áâ¨æë ¢ è।¨­£¥à®¢áª®¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¨, á¢ï§ ­-

­ë© á ­¥§ ¢¨áï騬 ®â ¢à¥¬¥­¨ ¢¥ªâ®à®¬ á®áâ®ï­¨ï ¢ £¥©§¥­¡¥à£®¢áª®¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥-

­¨¨ j

>H ª ª:

j

t >S = e;iHt=~j >H

(1.9)

¯à¥¤¥«¨¬ § ¢¨áï騩 ®â ¢à¥¬¥­¨ ¢¥ªâ®à

 

 

 

 

 

jqt >= eiHt=~jq >

(1.10)

®£¤

¬®¦­® ¯¥à¥¯¨á âì (1.8) ª ª:

 

 

 

 

 

(qt) =< qtj

>H

(1.11)

ᥠíâ® ¯à®áâë¥ ¨ ¨§¢¥áâ­ë¥ ¢¥é¨ ¨§ ®á­®¢ ª¢ ­â®¢®© ¬¥å ­¨ª¨. ®«ì§ãïáì ãá«®- ¢¨¥¬ ¯®«­®âë á¨áâ¥¬ë ¢¥ªâ®à®¢ (1.7), (1.10) ¬®¦¥¬ ⥯¥àì ­ ¯¨á âì:

< qf tf j >H = Z

dqi < qf tf jqiti >< qitij >H

(1.12)

çâ®, á ãç¥â®¬ (1.11), ᢮¤¨âáï ª:

 

 

(qf tf ) = Z

dqi < qf tf jqiti > (qiti)

(1.13)

à ¢­¨¢ ï (1.13) á (1.1) ¢¨¤¨¬, çâ® ¯à®¯ £ â®à ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¢ ¢¨¤¥:

 

K(qf tf ; qiti ) =< qf tf jqiti >

(1.14)

çâ®, ä ªâ¨ç¥áª¨, ¢ ­¥áª®«ìª® ¨­®© ä®à¬¥, 㦥 ¢ë¯¨áë¢ «®áì ­ ¬¨ ¢ « ¢¥ 4 ç á⨠I. ®®â­®è¥­¨¥¬ (1.14) ¬ë ¡ã¤¥¬ ¤ «¥¥ è¨à®ª® ¯®«ì§®¢ âìáï.

§¤¥«¨¬ ¢à¥¬¥­­®© ¨­â¥à¢ « ¬¥¦¤ã ¬®¬¥­â ¬¨ ti ¨ tf ­ (n +1) à ¢­ëå ç á⥩ ¤«¨â¥«ì­®áâìî . ®£¤ à á¯à®áâà ­¥­¨¥ ç áâ¨æë ¨§ qiti ¢ qf tf ¬®¦­® ¯à¥¤áâ ¢¨âì

10

 

 

 

 

 

 

¨á. 1-3

 

 

 

 

ª ª íâ® ¯®ª § ­® ­

¨á.1-3, çâ® á ¬­®£®ªà â­ë¬ ¨á¯®«ì§®¢ ­¨¥¬ (1.4), ¯®§¢®«ï¥â

§ ¯¨á âì ¬¯«¨âã¤ã ¯¥à¥å®¤

(¯à®¯ £ â®à) ¢ ¢¨¤¥:

 

 

 

 

j

Z

 

Z

 

j

j

 

 

j

 

< qf tf qiti >=

 

:::

 

dq1dq2:::dqn < qf tf

qntn >< qntn

qn;1tn;1

> ::: < q1t1

 

qiti >

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1.15)

£¤¥ ¬­®£®ªà â­ë© ¨­â¥£à « ¡¥à¥âáï ¯® ¢á¥¬ ¢®§¬®¦­ë¬ âà ¥ªâ®à¨ï¬, ᮥ¤¨­ïî-

騬 ­ ç «ì­ãî â®çªã qi á ª®­¥ç­®© qf . ¯à¥¤¥«¥ n ! 1 ¨«¨ ! 0 ¢ëà ¦¥­¨¥ (1.15) ®¯à¥¤¥«ï¥â ¯à®¯ £ â®à ª ª 䥩­¬ ­®¢áª¨© ¨­â¥£à « ¯® âà ¥ªâ®à¨ï¬ (ª®­-

⨭㠫ì­ë© ¨«¨ ä㭪樮­ «ì­ë© ¨­â¥£à «). ¦¥ ­ í⮬ ã஢­¥ ¢¨¤­® ®á­®¢­®¥ ®â«¨ç¨¥ ª¢ ­â®¢®© ¬¥å ­¨ª¨ ®â ª« áá¨ç¥áª®©. « áá¨ç¥áª ï ç áâ¨æ à á¯à®áâà - ­ï¥âáï ¨§ ­ ç «ì­®© â®çª¨ ¢ ª®­¥ç­ãî, ¤¢¨£ ïáì ¯® ¥¤¨­á⢥­­®© âà ¥ªâ®à¨¨,

®¯à¥¤¥«ï¥¬®© ¯à¨­æ¨¯®¬ ­ ¨¬¥­ì襣® ¤¥©á⢨ï,

¢ ª¢ ­â®¢®© ¬¥å ­¨ª¥ \à ¡®-

â ¥â" ª®­â¨­ã㬠¢á¥å ¬ë᫨¬ëå âà ¥ªâ®à¨©, ᮥ¤¨­ïîé¨å í⨠â®çª¨!

 

¥âà㤭® à ááç¨â âì ¯à®¯ £ â®à

­ ¬ «®¬ ᥣ¬¥­â¥ âà ¥ªâ®à¨¨. §

(1.10)

¨¬¥¥¬:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

< qj+1tj+1jqjtj >=< qj+1je;iH =~jqj >=< qj+1j1 ;

i

H + O( 2)jqj >=

 

~

 

 

 

 

= (qj+1 ; qj) ;

i

< qj+1jHjqj >=

(1.16)

 

 

 

~

 

dp

 

i

 

 

 

i

 

= Z

 

exp

 

 

p(qj+1 ; qj) ; ~ < qj+1jHjqj >

 

2 ~

~

 

£¤¥ ¢®á¯®«ì§®¢ «¨áì ®ç¥¢¨¤­ë¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥¬ -ä㭪樨 ¢ ¢¨¤¥ àï¤ ãàì¥. ®¡é¥¬ á«ãç ¥, £ ¬¨«ìâ®­¨ ­ H ï¥âáï ­¥ª®â®à®© ä㭪樥© q ¨ p. áᬮâਬ ­ ¨¡®«¥¥ ç áâ® ¢áâà¥ç î騩áï ­ ¯à ªâ¨ª¥ á«ãç © ¤¢¨¦¥­¨ï ç áâ¨æë ¢ ¯®â¥­æ¨- «ì­®¬ ¯®«¥, ª®£¤ , ¢ ®ç¥¢¨¤­ëå ®¡®§­ 祭¨ïå, ¨¬¥¥¬:

 

 

 

 

 

p2

 

 

 

 

 

 

 

 

H =

 

 

+ V (q)

 

 

 

 

 

 

 

2m

 

 

 

 

®£¤ ¤«ï ç«¥­ ª¨­¥â¨ç¥áª®© í­¥à£¨¨ ¬®¦­® ­ ¯¨á âì:

 

 

p2

 

 

 

 

 

 

 

 

p2

< qj+1j

 

jqj >= Z

dp0 Z dp < qj+1jp0

>< p0j

 

jp >< pjqj >

2m

2m

â ª çâ® ¨á¯®«ì§ãï

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

< qj+1jp0

1

exp

ip0qj+1

 

 

 

 

 

>= p

 

 

~

 

 

 

 

2 ~

 

 

 

(1.17)

(1.18)

 

11

¨á. 1-4

 

 

 

 

 

1

 

 

exp ;

ipqj

 

 

 

 

 

 

 

 

 

< pjqj >= p

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 ~

 

 

 

 

¯®«ã稬:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p2

 

dpdp0

 

 

i

 

 

 

 

 

 

p2

 

 

 

< qj+1j

 

jqj >= Z

Z

 

exp

 

(p0qj+1 ; pqj)

 

(p ; p0) =

 

2m

2 ~

~

2m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dp

 

i

 

p2

 

 

 

 

 

 

 

= Z

 

exp

 

p(qj+1

; qj)

 

(1.19)

 

 

 

 

 

 

2 ~

~

2m

¡à ⨬ ¢­¨¬ ­¨¥, çâ® ¢ «¥¢®© ç á⨠í⮣® ¢ëà ¦¥­¨ï p ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ®¯¥à â®- ஬, ¢ ¯à ¢®© í⮠㦥 ç¨á«®! ­ «®£¨ç­ë¬ ®¡à §®¬ ­¥âà㤭® ¯®«ãç¨âì:

< qj+1jV (q)jqj >= V

qj+1 + qj

 

< qj+1jqj >= V

qj+1 + qj

(qj+1

; qj

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dp

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= Z

 

exp

 

p(qj+1 ; qj ) V

 

 

 

 

 

 

 

2 ~

~

£¤¥ qj =

1

(qj+1 + qj). ¡ê¥¤¨­ïï (1.19) ¨ (1.20), ¨¬¥¥¬:

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

< qj+1jHjqj >= Z

 

dp

exp

i

 

; qj ) H(p; q)

 

 

 

 

 

 

p(qj+1

 

 

 

 

2 ~

~

 

â ª çâ® (1.17) ¯¥à¥¯¨áë¢ ¥âáï ¢ ¢¨¤¥:

) =

(qj)(1.20)

(1.21)

< qj+1tj+1jqjtj >= Z

dpj

exp

i

[pj (qj+1 ; qj) ; H(pj; qj)]

(1.22)

2 ~

~

£¤¥ pj { ¨¬¯ã«ìá ¢ â®çª¥ ¬¥¦¤ã tj ¨ tj+1 (¬¥¦¤ã qj ¨ qj+1). ®®â¢¥âáâ¢ãî騥 ᥣ¬¥­âë âà ¥ªâ®à¨¨ ¢ ¨¬¯ã«ìá­®¬ ¯à®áâà ­á⢥ ¯®ª § ­ë ­ ¨á.1-4. ëà ¦¥­¨¥

(1.22) ¨ § ¤ ¥â ¯à®¯ £ â®à ­ ¬ «®¬ ᥣ¬¥­â¥ ®¤­®£® ¨§ ¯ã⥩ (®â१ª¥ âà ¥ªâ®à¨¨).®«­ë© ¯à®¯ £ â®à ¯®«ãç ¥âáï ¯®¤áâ ­®¢ª®© (1.22) ¢ (1.15), â ª çâ®:

< qf tf qiti >=

lim

Z

n

dqj

n

dpi

exp

 

i

n

[pl(ql+1

ql)

H(pl; ql)] (1.23)

Y

Y

 

 

 

X

j

n!1

 

2 ~

 

 

 

 

; ;

)

 

j=1

 

i=0

 

(~ l=0

 

£¤¥ q0 = qi ¨ qn+1 = qf . ªâ¨ç¥áª¨ §¤¥áì á⮨⠡¥áª®­¥ç­®ªà â­ë© ¨­â¥£à «.¡ëç­® (1.23) § ¯¨áë¢ îâ ¢ á«¥¤ãî饬 ᨬ¢®«¨ç¥áª®¬ ¢¨¤¥:

j

 

Z

2 ~

 

 

tf

 

;

 

 

 

 

~ Zti

 

 

 

< qf tf

qiti >=

 

Dq(t)Dp(t) exp

 

i

 

dt [pq

 

H(p; q)]

 

(1.24)

 

 

 

 

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

£¤¥ q(ti) = qi ¨ q(tf ) = qf . â

 

§ ¯¨áì, ä®à¬ «ì­® ¢¢®¤ïé ï ¬¥àã ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï

¯® ¢á¥¬ âà ¥ªâ®à¨ï¬ (q(t); p(t)) ¢ ä §®¢®¬ ¯à®áâà ­á⢥ ç áâ¨æë, ­¥ ¨¬¥¥â ­¨ª -

ª®£® ¨­®£® á¬ëá« , ªà®¬¥ ¢¢¥¤¥­¨ï ª®¬¯ ªâ­®© ä®à¬ë § ¯¨á¨ (1.23). ¨âã æ¨ï

§¤¥áì ¢¯®«­¥ ­ «®£¨ç­

®¯à¥¤¥«¥­¨î ®¡ëç­®£® ¨­â¥£à «

 

ç¥à¥§ ¯à¥¤¥« ਬ ­®-

¢ëå á㬬. ¡®§­ 祭¨¥ (1.24) ¢¢®¤¨â ¯®­ï⨥ ä㭪樮­ «ì­®£® (ª®­â¨­ã «ì­®£®)

¨­â¥£à « ¯® ¢á¥¬ âà ¥ªâ®à¨ï¬ (¯ãâï¬) ¢ ä §®¢®¬ ¯à®áâà ­á⢥. ਠí⮬ ¢å®¤ï-

騥 ¢ (1.24) ¯¥à¥¬¥­­ë¥ p(t) ¨ q(t) ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ᮡ®© c-ç¨á«®¢ë¥ ä㭪樨.

 

 

¯à¥¤¥«¥­¨¥ ¯à®¯ £ â®à

 

¢ ¢¨¤¥ ª®­â¨­ã «ì­®£® ¨­â¥£à «

¯® ¢á¥¬ âà ¥ªâ®-

à¨ï¬ ¢ ä §®¢®¬ ¯à®áâà ­á⢥ (1.24) ï¥âáï ᮢ¥à襭­® ®¡é¨¬ ¨, ¢ ç áâ­®áâ¨,

®áâ ¥âáï á¯à ¢¥¤«¨¢ë¬ ¤«ï ¯à®¨§¢®«ì­®£® £ ¬¨«ìâ®­¨ ­ H(p; q). á«ãç ¥ £ ¬¨«ì-

â®­¨ ­

¢¨¤ (1.17) ¬®¦­® ¯à®¢¥á⨠¤ «ì­¥©è¨¥ ã¯à®é¥­¨ï ¨ ¯¥à¥©â¨ ª ¯à¥¤áâ -

¢«¥­¨î ¯à®¯ £ â®à

 

¢ ¢¨¤¥ ª®­â¨­ã «ì­®£® ¨­â¥£à «

¯® ¢á¥¬ ¯ãâï¬ ¢ ®¡ëç­®¬

ª®®à¤¨­ â­®¬ ¯à®áâà ­á⢥. «ï í⮣® § ¯¨è¥¬

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

n

 

dpi

 

 

 

i

n

 

 

 

 

 

 

 

 

p2

 

 

 

 

 

 

 

< qf tf

 

qiti >=

lim

 

 

 

 

dqj

 

 

 

exp

 

 

 

 

pl(ql+1

 

 

ql)

 

l

 

 

 

V (ql)

 

 

j

 

Z

 

 

 

2 ~

(~ l=0

;

;

2m

;

 

)

 

 

 

n!1

j=1

 

 

 

i=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y

 

 

 

Y

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1.25)

­â¥£à «ë ¯® pj

§¤¥бм «¥£ª® ¢лз¨б«повбп б ¯®¬®ймо бв ­¤ ав­ле д®а¬г«, ª®в®-

àë¥ ¡ã¤ã⠯ਢ¥¤¥­ë çãâì ­¨¦¥. १ã«ìâ ⥠¯®«ãç ¥¬:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

n+1

 

n

 

 

 

 

 

i

 

n

m

 

 

ql+1 ; ql

 

 

2

 

 

 

 

< qf tf

qiti >=

 

lim

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

dqj exp

 

 

 

 

 

 

 

 

V (ql)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( ~

 

l=0 "

 

 

 

 

 

 

 

;

 

j

 

 

n!1

 

2 i~

 

 

 

 

j=1

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

#)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z Y

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

(1.26)

â ª çâ® ¢ ­¥¯à¥à뢭®¬ ¯à¥¤¥«¥ ¬®¦­® § ¯¨á âì:

 

 

 

 

Dq(t) exp

i

tf

m

 

 

 

 

 

 

 

 

< qf tf jqiti >= N Z

 

Zti dt h 2 q2 ; V (q)i =

 

 

~

 

 

= N Z Dq(t) exp

i

tf

dtL(q; q) = N Z Dq(t) exp

i

S

 

 

Zti

(1.27)

f

~

~

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

£¤t¥ L = T

 

V { ª« áá¨ç¥áª ï äã­ªæ¨ï £à ­¦

à áᬠâਢ ¥¬®© ç áâ¨æë,

S =

Rti dtL(q; q) { ª« áá¨ç¥áª®¥ ¤¥©á⢨¥, à ááç¨â ­­®¥ ¤«ï ¯à®¨§¢®«ì­®© âà ¥ªâ®à¨¨

q(t), ᮥ¤¨­ïî饩 ­ ç «ì­ãî â®çªã q(ti ) á ª®­¥ç­®© q(tf ). ®­â¨­ã «ì­ë© ¨­â¥£à «

(1.27) ¡¥à¥âáï ¯® ¢á¥¬ ¬ë᫨¬ë¬ âà ¥ªâ®à¨ï¬, ᮥ¤¨­ïî騬 ­ ç «ì­ãî â®çªã á ª®­¥ç­®©. ¢¥¤¥­­ë© §¤¥áì ¬­®¦¨â¥«ì N ä®à¬ «ì­® à á室¨âáï ¢ ¯à¥¤¥«¥ n ! 1, ­® íâ® ­¥áãé¥á⢥­­®, ¯®áª®«ìªã, ª ª ¬ë 㢨¤¨¬ ¤ «¥¥, ®­ ¢á¥£¤ ᮪à é ¥âáï ¯à¨ à áᬮâ७¨¨ ᮮ⢥âáâ¢ãî騬 ®¡à §®¬ ­®à¬¨à®¢ ­­ëå ¬¯«¨â㤠¯¥à¥å®¤ .

¬¥ç ⥫ì­ë© १ã«ìâ â (1.27) ¯®§¢®«ï¥â, ¢ ç áâ­®áâ¨, ª ç¥á⢥­­® ¯®­ïâì ä¨- §¨ç¥áª®¥ ¯à®¨á宦¤¥­¨¥ ª« áá¨ç¥áª®£® ¯à¨­æ¨¯ ­ ¨¬¥­ì襣® ¤¥©á⢨ï. á ¬®¬ ¤¥«¥, ª« áá¨ç¥áª¨© ¯à¥¤¥« ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ~ ! 0. ®£¤ ¢ 䥩­¬ ­®¢áª®¬ ¨­â¥£à «¥ (1.27) ¢®§­¨ª ¥â ª®­â¨­ã㬠¢ª« ¤®¢ ¡ëáâà® ®á樫«¨àãîé¨å ¬­®¦¨â¥«¥© exp(iS=~), ª®â®àë¥ ¢ á।­¥¬ \£ áïâ" ¤à㣠¤à㣠. \ 릨¢ ¥â" ¯à¨ í⮬ ⮫쪮 ¢ª« ¤ ­ ¨¡®- «¥¥ ¬¥¤«¥­­® ¬¥­ïî饣®áï ¬­®¦¨â¥«ï, ¢ ª®â®à®¬ á⮨â Smin , çâ® ¨ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¢ª« ¤ã ¥¤¨­á⢥­­®© âà ¥ªâ®à¨¨, ®¯¨áë¢ ¥¬®© ¯à¨­æ¨¯®¬ ­ ¨¬¥­ì襣® ¤¥©áâ¢¨ï ª« áá¨ç¥áª®© ¬¥å ­¨ª¨ ¨ ãà ¢­¥­¨ï¬¨ ìîâ®­ .

âáâ㯫¥­¨¥: ¯®«¥§­ë¥ ¨­â¥£à «ë.

ਢ¥¤¥¬ ­¥ª®â®àë¥ ä®à¬ã«ë ¤«ï ®¡ëç­ëå ¨­â¥£à «®¢, ç áâ® ¢áâà¥ç îé¨åáï ¯à¨ ¯à ªâ¨ç¥- áª¨å ¢ëç¨á«¥­¨ïå, á¢ï§ ­­ëå á ä㭪樮­ «ì­ë¬ ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨¥¬. ç­¥¬ á® ¢á¥¬ ¨§¢¥áâ­®£®

Смотрите также файлы