Файл: Садовский М.В. Квантовая теория поля. Часть 2.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 437

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

18

 

 

¯¥à¥¯¨á âì (1.66) ¢ ¢¨¤¥:

 

 

 

 

 

i

 

 

(xf tf ) = '(xf tf ) ;

 

Z dt Z dxK0(xf tf ;xt)V (x; t) (xt)

(1.67)

 

~

¯®áª®«ìªã ¯«®áª ï ¢®«­ ¢ ¯à®æ¥áᥠ᢮¡®¤­®£® à á¯à®áâà ­¥­¨ï ®áâ ¥âáï ¯«®áª®© ¢®«­®©.

ਠà¥è¥­¨¨ ¯à ªâ¨ç¥áª¨å § ¤ ç ç á⮠㤮¡­¥¥ ¯®«ì§®¢ âìáï ¨¬¯ã«ìá­ë¬ ¯à¥¤-

áâ ¢«¥­¨¥¬. ãáâì K(p1t1; p0t0) { ¬¯«¨â㤠¢¥à®ïâ­®á⨠⮣®, çâ® ç áâ¨æ , ®¡« -

¤ ¢è ï ¨¬¯ã«ìᮬ p0 ¢ ¬®¬¥­â t0, ¡ã¤¥â § ॣ¨áâà¨à®¢ ­ ¢ ¡®«¥¥ ¯®§¤­¨© ¬®¬¥­â

t1 á ¨¬¯ã«ìᮬ p1. â ¬¯«¨â㤠¤ ¥âáï ¢ëà ¦¥­¨¥¬:

 

K(p1t1; p0t0) = Z dx0 Z dx1 exp ;~i p1x1 K(x1t1; x0t0) exp ~i p0 x0

(1.68)

£¤¥ ᢮¡®¤­ë© ¯à®¯ £ â®à K(x1t1 ;x0t0 ) ¤«ï ç áâ¨æë, ¤¢¨¦ã饩áï ¢ âà¥å¬¥à­®¬ ¯à®áâà ­á⢥ ¨¬¥¥â (¢ ᮮ⢥âá⢨¨ á § ¬¥ç ­¨¥¬ ¯®á«¥ (1.51)) ¢¨¤:

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

3=2

 

 

im(x1 ; x0)2

 

 

 

K0 (x1t1

; x0t0) = (t1

 

t0)

 

 

 

 

 

 

exp

 

 

 

(1.69)

;

i~(t1 ; t0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2~(t1 ; t0 )

 

 

®£¤ ¨¬¥¥¬:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

3=2

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

K(p1t1;p0t0) = (t1 ; t0)

 

 

 

Z dx0 Z

dx1 exp

 

(p0 x0 ; p1x1 )

 

i~(t1 ; t0)

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

exp

im(x0 ; x1)2

 

(1.70)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2~(t1 ; t0)

 

¢¥¤¥¬ ­®¢ë¥ ¯¥à¥¬¥­­ë¥ ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï:

 

 

 

x = x0 ; x1 X = x0 + x1 p = p0 ; p1

P = p0 + p1

 

 

(1.71)

â ª çâ® 2(p0x0

;

p1x1) = Px+pX. ª®¡¨ ­ í⮣® ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï ¯¥à¥¬¥­­ëå à ¢¥­

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1=2)

= 1=8. ®®â¢¥âá⢥­­®, (1.70) ¯¥à¥¯¨áë¢ ¥âáï ª ª:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3=2

1

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

i

 

i 2

K(p1t1; p0t0 ) = (t1 ; t0)

i

 

 

 

8

Z

dX exp

2~

pX Z dx exp

2~

Px e

(1.72)x

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

3

(p0 ; p1), â ª

£¤¥ = 2~(t1;t0) . ¥à¢ë© ¨­â¥£à « §¤¥áì à ¢¥­ 8(2 ~) (p) = 8(2 ~)

çâ®:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

K(p1t1; p0t0) = (2 ~)3 (t1 ; t0) (p0 ; p1)

 

3=2 Z dx exp

i

px + i x2

(1.73)

i

2~

¨ ¨á¯®«ì§ãï (1.35) ¯®«ãç ¥¬

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

K(p1t1; p0t0) = (2 ~)3 (t1

;

t0) (p0

;

p1) exp

;

iP2(t1

; t0)

 

 

(1.74)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8m~

 

 

£¤¥ -äã­ªæ¨ï ¢ëà ¦ ¥â § ª®­ á®åà ­¥­¨ï ¨¬¯ã«ìá . ç¨âë¢ ï ⥯¥àì, çâ® P2 =

4p2, ¯®«ãç ¥¬ ®ª®­ç ⥫쭮:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

K (p1t1; p0t0) = (2 ~)3 (t1

;

t0 ) (p0

;

p1) exp

;

ip2

(t1 ; t0)

 

(1.75)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2m~

 

 

 

 

19

ª®­¥æ, ¢ëç¨á«¨¬ ¥é¥ ¨ äãàì¥-®¡à § ¯à®¯ £ â®à ¯® ¢à¥¬¥­­ë¬ ¯¥à¥¬¥­­ë¬:

K(p1E1;p0E0) = Z dt0 Z

dt1 exp

i

E1t1 K(p1t1;p0t0) exp ;

i

E0t0 =

~

~

 

 

 

 

 

 

ip2

 

i

3

; p1)Z dt0 Z

dt1 ( ) exp ;

1

exp

 

(E1t1 ; E0t0) (1.76)

= (2 ~) (p0

2m~

~

£¤¥ ¢¢¥«¨ = t1 ; t0. áᬠâਢ ï ¨ t0 ª ª ­¥§ ¢¨á¨¬ë¥ ¯¥à¥¬¥­­ë¥ ¨­â¥£à¨à®-

¢ ­¨ï, ¯®«ã稬:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

i

; E0)t0

 

K(p1E1;p0E0) = (2 ~)3 (p0 ; p1) Z;1 dt0 exp

 

(E1

 

~

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

i

 

p2

 

 

 

Z;1 d ( ) exp

 

(E1 ;

1

)

(1.77)

 

 

~

2m

¥à¢ë© ¨­â¥£à « §¤¥áì ¤ ¥â (2 ~) (E1

;

E0),

¢â®à®©, ¨§-§

­ «¨ç¨ï ( ), á«¥¤ã¥â

¯®­¨¬ âì ª ª 1:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

~

 

 

 

 

i~

 

 

 

 

lim

 

d ei(E1;p1

=2m+i ) =

 

=

 

 

 

 

 

(1.79)

 

 

 

2

 

 

 

!+0 Z0

 

 

 

 

 

 

E1

; 2pm1

+ i

 

®í⮬㠮ª®­ç ⥫쭮 ¨¬¥¥¬:

K(p1E1; p0E0) = (2 ~)4 (p0 ; p1) (E0 ; E1)

ip12

(1.80)

 

~

 

E1 ; 2m + i

çâ® ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© äãàì¥-®¡à § § ¯ §¤ë¢ î饩 ä㭪樨 ਭ ᢮¡®¤­®© ç - áâ¨æë, ¯à¨ç¥¬ -ä㭪樨 ¢ëà ¦ îâ § ª®­ë á®åà ­¥­¨ï ¨¬¯ã«ìá ¨ í­¥à£¨¨. ¬¥- ⨬, çâ® ¯®«îá í⮣® ¢ëà ¦¥­¨ï, ä ªâ¨ç¥áª¨, ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª¨­¥â¨ç¥áª®© í­¥à£¨¥© ç áâ¨æë, ç⮠ï¥âáï ¯à®ï¢«¥­¨¥¬ ®¡é¥£® ᢮©á⢠ä㭪権 ਭ [13]: ¨å ¯®«îá ®¯à¥¤¥«ïîâ í­¥à£¥â¨ç¥áª¨© ᯥªâà ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ç áâ¨æ (ª¢ §¨ç áâ¨æ).

᫨ ¢¢¥á⨠¥é¥ ¨ äãàì¥-®¡à § ¯®â¥­æ¨ « , § ¯¨á ¢ V (x; t) ¢ ¢¨¤¥:

V (x; t) = Z

d!

Z

d3q

 

 

 

ei(qx;!t)V (q!)

(1.81)

2

(2 )3

â® àï¤ â¥®à¨¨ ¢®§¬ã饭¨© (1.63) ¯®à®¦¤ ¥â áâ ­¤ àâ­ãî ¤¨ £à ¬¬­ãî ¢ ¨¬¯ã«ìá- ­®¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¨ â¥å­¨ªã ¤«ï ä㭪樨 ਭ ç áâ¨æë ¢® ¢­¥è­¥¬ ¯®«¥ [13].

1 ãàì¥-®¡à § (t) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨§ à ¢¥­á⢠:

(t) =

lim

1 d!

e;i!t

i

(1.78)

 

 

 

 

 

 

 

!+0 Z;1

2

 

! + i

 

¢ á¯à ¢¥¤«¨¢®á⨠ª®â®à®£® ­¥âà㤭® ã¡¥¤¨âìáï, ¯à®¢®¤ï ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨¥ ¢¤®«ì ¢¥é¥á⢥­­®© ®á¨ ¨ § ¬ëª ï ª®­âãà ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï ¢ ¢¥àå­¥© ¨«¨ ­¨¦­¥© ¯®«ã¯«®áª®á⨠! ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â §­ ª t.

20

 

㭪樮­ «ì­®¥ ¤¨ää¥à¥­æ¨à®¢ ­¨¥.

¯¨áì ä㭪樨 ਭ (¯à®¯ £ â®à ) ç áâ¨æë ¢ ¢¨¤¥ 䥩­¬ ­®¢áª®£® ¨­â¥£à « ¯® âà ¥ªâ®à¨ï¬

 

 

i

tf

m

 

 

 

 

 

 

 

< qf tf jqiti >= N Z

Dq(t) exp

 

Zti

dt h 2 q2 ; V (q)i =

 

~

 

 

= N Z Dq(t) exp

i

tf

dtL(q; q)

 

 

Zti

(1.82)

 

~

¢¢®¤¨â ¢ ­ è¥ à áᬮâ७¨¥ ¯®­ï⨥ ä㭪樮­ «ì­®£® ¨­â¥£à « : ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨¥ §¤¥áì ¢¥¤¥âáï ¯® ¢á¥¬ äã­ªæ¨ï¬ (âà ¥ªâ®à¨ï¬) q(t), á¢ï§ë¢ î騬 ­ ç «ì­ãî ¨ ª®­¥ç­ãî â®çª¨. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯à®æ¥¤ãà ¢ëç¨á«¥­¨ï (1.82) ᮯ®áâ ¢«ï¥â ¢á¥¬ã ¬­®¦¥áâ¢ã ä㭪権 q(t) ­¥ª®â®à®¥ ª®­ªà¥â­®¥ (ª®¬¯«¥ªá­®¥) ç¨á«® { ¬¯«¨âã¤ã ª¢ ­â®¢®¬¥å ­¨ç¥áª®£® ¯¥à¥å®¤ , áâ®ïéãî ¢ «¥¢®© ç áâ¨. ª¨¬ ®¡à §®¬, (1.82) ï¥âáï ª®­ªà¥â­®© ॠ«¨§ 権 ¬ ⥬ â¨ç¥áª®£® ¯®­ïâ¨ï ä㭪樮­ « { ®â®¡à - ¦¥­¨ï ¬­®¦¥á⢠ä㭪権 ¢ ¬­®¦¥á⢮ ç¨á¥«:

㭪樮­ «: äã­ªæ¨ï ) ç¨á«®

®â«¨ç¨¥ ®â í⮣® ®¡ëç­ ï äã­ªæ¨ï § ¤ ¥â ®â®¡à ¦¥­¨ï ®¤­®£® ¬­®¦¥á⢠ç¨á¥« ¢ ¤à㣮¥ ¬­®¦¥á⢮ ç¨á¥«:

ã­ªæ¨ï: ç¨á«® ) ç¨á«®

ç áâ­®áâ¨, ä㭪樮­ « ­¥ ¥áâì ¯à®áâ® äã­ªæ¨ï ®â ä㭪樨 (íâ® ®¯ïâì ¯à®áâ® äã­ªæ¨ï!).

¡ëç­® ¤«ï ä㭪樮­ « F ®â ä㭪樨 f(x) ¨á¯®«ì§ã¥âáï ®¡®§­ 祭¨¥ F [f (x)].

¨¯¨ç­ë© ¯à¨¬¥à ä㭪樮­ « { ®¯à¥¤¥«¥­­ë© ¨­â¥£à «: F [f(x)] = Rab dxf (x).¯à¥¤¥«¨¬ ⥯¥àì ¯®­ï⨥ ä㭪樮­ «ì­®£® ¤¨ää¥à¥­æ¨à®¢ ­¨ï. ® ­ «®£¨¨

á ®¡ëç­ë¬ ¤¨ää¥à¥­æ¨à®¢ ­¨¥¬, ä㭪樮­ «ì­ ï (¨«¨ ª ª ¥¥ ¥é¥ ­ §ë¢ îâ {

¢ ਠ樮­­ ï) ¯à®¨§¢®¤­ ï ä㭪樮­ « F[f(x)] ¯® ä㭪樨 f(y) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª ª:

 

 

 

F[f(x)]

= lim F [f (x) + " (x ; y)]

; F [f(x)]:

 

(1.83)

 

 

 

f(y)

"!0

 

 

 

"

 

 

 

 

 

¯à¨¬¥à, ¤«ï F [f(x)] ¢ ¢¨¤¥ ®¯à¥¤¥«¥­­®£® ¨­â¥£à « :

 

 

 

 

F [f(x)]

= lim

1

Z

dx[f

(x) + " (x

;

y)]

; Z

dxf(x) =

Z

dx (x

;

y) = 1 (1.84)

f(y)

"!0

"

 

 

 

 

 

 

 

ª ç¥á⢥ ¥é¥ ®¤­®£® ¯à¨¬¥à à áᬮâਬ ä㭪樮­ «:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Fx[f] = Z

dyf(y)G(x; y)

 

 

 

 

(1.85)

£¤¥ ¯¥à¥¬¥­­ ï x, ®â ª®â®à®© § ¢¨á¨â «¥¢ ï ç áâì, à áᬠâਢ ¥âáï ª ª ¯ à ¬¥âà.®£¤ ¨¬¥¥¬:

Fx[f ]

= lim

1

Z

dy

G(x; y)[f (y) + " (y

;

z)]

g ; Z

dyG(x; y)f(y) =

f (z)

"!0

"

f

 

 

 

 

 

 

 

 

= Z

dyG(x; y) (y ; z) = G(x; z) (1.86)

 

21

¨á. 1-5

ਢ¥¤¥­­ëå ä®à¬ã« ¤®áâ â®ç­® ¤«ï ¯®­¨¬ ­¨ï ¢á¥å ¢ëà ¦¥­¨©, á¢ï§ ­­ëå á ä㭪樮­ «ì­ë¬ ¤¨ää¥à¥­æ¨à®¢ ­¨¥¬, ª®â®àë¥ ¡ã¤ã⠯ਢ®¤¨âìáï ­¨¦¥.

¥ª®â®àë¥ á¢®©á⢠ä㭪樮­ «ì­ëå ¨­- â¥£à «®¢.

â ª, ¬¯«¨â㤠¯¥à¥å®¤ ª¢ ­â®¢®© ç áâ¨æë ¨§ ­ ç «ì­®© â®çª¨ qiti

¢ ª®­¥ç­ãî

qf tf à ¢­ :

 

 

 

 

 

 

 

 

q(tf )=qf

 

i

tf

m

 

 

 

 

 

 

 

< qf tf jqiti >= N Zq(ti)=qi Dq(t) exp

 

Zti

dt h 2 q_2 ; V (q)i =

 

~

 

q(tf )=qf

Dq(t) exp

i

tf

dtL(q; q)

 

= N Zq(ti)=qi

Zti

(1.87)

~

©¬¥¬áï ¢ë¢®¤®¬ ­¥ª®â®àëå ä®à¬ «ì­ëå ᮮ⭮襭¨©, ª®â®àë¥ ®ª ¦ãâáï ®ç¥­ì ¯®«¥§­ë¬¨ ¯à¨ ®¡®¡é¥­¨¨ ­ á«ãç © ª¢ ­â®¢®© ⥮ਨ ¯®«ï. ®¡ ¢¨¬ ª ä㭪樨£à ­¦ ­ 襩 ª¢ ­â®¢®© ç áâ¨æë ¤®¯®«­¨â¥«ì­ë© ç«¥­:

L ! L + ~J(t)q(t)

(1.88)

£¤¥ J(t) { ­¥ª®â®à ï ¯à®¨§¢®«ì­ ï äã­ªæ¨ï ¢à¥¬¥­¨, ª®â®àãî ¡ã¤¥¬ ­ §ë¢ âì \¨á- â®ç­¨ª®¬". 㤥¬ áç¨â âì, çâ® J(t) ®â«¨ç­ ®â ­ã«ï ­ ­¥ª®â®à®¬ ¨­â¥à¢ «¥ ¢à¥¬¥­ ¬¥¦¤ã ¬®¬¥­â ¬¨ t ¨ t0 (t < t0), ¢ë¤¥«¥­­®¬ ­ ¨á.1-5. áᬮâਬ ¥é¥ ¬®¬¥­â ¢à¥- ¬¥­¨ T , ¯à¥¤è¥áâ¢ãî騩 t, â ª¦¥ ¬®¬¥­â T 0, ¡®«¥¥ ¯®§¤­¨©, 祬 t0. ®£¤ ¬¯«¨- â㤠¯¥à¥å®¤ á¨á⥬ë, ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãî饩 á ¨áâ®ç­¨ª®¬, ¬¥¦¤ã ¯à®¨§¢®«ì­ë¬¨ á®áâ®ï­¨ï¬¨ (â®çª ¬¨) ¢ í⨠¬®¬¥­âë ¢à¥¬¥­¨ ¥áâì:

< Q0T 0jQT >J = N Z Dq(t) exp (

i

T0

dtL(q; q) + ~Jq)

 

ZT

(1.89)

~

¤à㣮© áâ®à®­ë, ¯®«ì§ãïáì (1.4) ¬®¦¥¬ ­ ¯¨á âì:

 

 

 

 

< Q0T 0jQT >J = Z dq0 Z dq < Q0T 0jq0t0 >< q0t0jqt >J < qtjQT >

(1.90)

£¤¥, ¢¢¨¤ã ­ 襣® ¯à¥¤¯®«®¦¥­¨ï ® ¢¨¤¥ J(t), ®â ¨áâ®ç­¨ª

§ ¢¨á¨â ⮫쪮 \¯à®-

¬¥¦ãâ®ç­ë©" ¯à®¯ £ â®à. ᯮ«ì§ãï (1.10) ¨¬¥¥¬:

 

 

 

 

< Q0T 0jq0t0 >=< Q0j exp ;

i

HT 0 exp

i

Ht0 jq0

>=

 

~

~

 

Смотрите также файлы