ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.06.2024
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1 dye; (x2 +y2) = |
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ª ¯®«ïàë¬ ª®®à¤¨ â ¬ ¢ ¯«®áª®á⨠(x; y), ᢮¤¨âáï ª: |
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(1.28)
(1.29)
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Z0 |
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Z0 |
1 d(r2)e; r2 = |
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Z0 |
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(1.30) |
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1 drre; r2 |
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®á«¥¤¥¥ à ¢¥á⢮ ®ç¥¢¨¤®, çâ® ¨ ¤®ª §ë¢ ¥â (1.28). |
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Z;1 dxe;ax |
+bx+c Z;1 eq(x) |
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(1.31) |
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£¤¥ ¯®« £ ¥¬ a > 0. ®£¤ ¨¬¥¥¬ q0(x) = ;2ax + b; q00(x) = ;2a; q000(x) = 0:::, ¨ ¬ë «¥£ª® 室¨¬ |
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x | § 票¥ x, ¯à¨ ª®â®à®¬ q(x) ¬¨¨¬ «ì : |
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x = |
b |
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+ c |
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q(x) = q(x) ; a(x ; x)2
®£¤ : |
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1 dxeq(x) = eq(x) 1 dxe;a(x;x)2 = eq(x) |
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Z;1 dxe;ax |
+bx+c Z;1 eq(x) = exp 4a + c qa |
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â ä®à¬ã« ¨ ¨á¯®«ì§®¢ « áì ¯à¨ ¯®«ã票¨ (1.26), (1.25). |
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á«ãç © n ¯¥à¥¬¥ëå ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï [8]: |
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Z |
1 dx1::: |
Z |
1 dxn exp i [(x1 ; a)2 + (x2 ; x1)2 + ::: + (b ; xn)2] = |
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;1 |
;1 |
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in n |
1=2 |
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(b ; a)2i |
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(n + 1) n |
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n + 1 |
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çâ® ¯à¨£®¤¨âáï ¬ ¢ ¤ «ì¥©è¥¬. |
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(1.33)
(1.34)
(1.35)
(1.36)
¢ëà ¦¥¨¨ (1.27), ä ªâ¨ç¥áª¨, ᮤ¥à¦¨âáï ¢áï ª¢ ⮢ ï ¬¥å ¨ª ç áâ¨æë, ®® è¨à®ª® ¨á¯®«ì§ã¥âáï ¯à¨ à¥è¥¨¨ ¯à ªâ¨ç¥áª¨å § ¤ ç [37]. ®á¬®âਬ, ª ª ¨§ ¥£® ¬®¦® ¯®«ãç¨âì ®¡ë箥 ãà ¢¥¨¥ ।¨£¥à . ¯¨è¥¬ ®á®¢®¥ á®®â- ®è¥¨¥ (1.1) ¢ ¢¨¤¥, á¢ï§ë¢ î饬 ¢®«®¢ãî äãªæ¨î ¢ ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨ t2 á ¥¥ § 票¥¬ ¢ ¬®¬¥â t1:
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1 |
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(x2; t2) = Z;1 dx1K(x2t2; x1t1) |
(x1t1) |
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(1.37) |
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ãáâì ¬®¬¥âë t2 |
¨ t1 ®ç¥ì ¡«¨§ª¨, â ª çâ® t2 = t1 + ", £¤¥ " ! 0. ®£¤ |
¯à®¯ £ - |
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â®à ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¢ª« ¤®¬ ⮫쪮 ®¤®£® ¬ «®£® ᥣ¬¥â âà ¥ªâ®à¨¨ ¨, ¯®«ì§ãïáì |
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(1.26), ¬ë ¬®¦¥¬ § ¯¨á âì (1.37) ¢ ¢¨¤¥: |
|
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(x; t + ") = A |
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exp |
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(1.38) |
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m |
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2 i~" |
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£à « ¤ îâ ⮫쪮 § 票ï y ¡«¨§ª¨¥ ª x. ¤¥« ¥¬ § ¬¥ã ¯¥à¥¬¥®© y = x + ¨ |
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¯¥à¥¯¨è¥¬ (1.38) ¢ ¢¨¤¥: |
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(x; t + ") = A Z;1 exp 2~" exp ; ~ V |
|
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(1.39) |
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x + 2 |
; t (x + ; t)d |
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ãç¥â®¬ ⮣®, çâ® ®á®¢®© ¢ª« ¤ âãâ ¤ îâ ¬ «ë¥ § 票ï , à §«®¦¨¬ ®¡¥ ç á⨠|
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(1.39) ¢ àï¤: |
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1 |
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(x; t) + " |
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@t |
= A Z;1 exp 2~" 1 ; |
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(x; t) + @x |
+ 2 2 |
@x2 d |
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2 |
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A Z;1 eim |
=2 |
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" d = 0 |
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(1.42) |
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Z;1 |
=2~" |
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2 |
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i~" |
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im 2 |
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(1.44) |
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â® à ¢¥á⢮ 㤮¢«¥â¢®àï¥âáï (¯à¨ " |
! 0), ¥á«¨ 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãà ¢¥¨î à¥- |
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¤¨£¥à |
¤«ï ®¤®¬¥à®£® ¤¢¨¦¥¨ï: |
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¥®à¨ï ¢®§¬ã饨©.
ãáâì ¯®â¥æ¨ « V (x) ï¥âáï ¬ «ë¬ ¢®§¬ã饨¥¬. ®ç¥¥ £®¢®àï, ¯ãáâì ¬ « (¯®
áà ¢¥¨î á ~) ¨â¥£à « ¯® ¢à¥¬¥¨ ®â V (x; t). ®£¤ |
¬®¦® ¯¨á âì à §«®¦¥¨¥: |
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|
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tf |
dtV (x; t) |
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tf |
dtV (x; t) ; 2!~2 |
tf |
dtV (x; t) |
2 |
+ ::: (1.46) |
exp ;~ Zti |
1 ; ~ Zti |
Zti |
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i |
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i |
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1 |
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ᯮ«ì§ãï â ª®¥ à §«®¦¥¨¥ ¢ (1.27), ¯®«ã稬 à §«®¦¥¨¥ ¯à®¯ £ â®à |
K(xf tf ;xiti) |
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¢ àï¤ â¥®à¨¨ ¢®§¬ã饨©: |
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K = K0 + K1 + K2 + ::: |
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(1.47) |
«¥ ã«¥¢®£® ¯®à浪 ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¯à®¯ £ â®à ᢮¡®¤®© ç áâ¨æë:
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Dx exp |
i |
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K0 = N Z |
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Z |
dt |
2mx2 |
(1.48) |
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⮡ë á®áç¨â âì ¥£® ¢ ¬ ¢¨¤¥, ¢¥à¥¬áï ª ®¯à¥¤¥«¥¨î ¨â¥£à « |
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¯® âà ¥ªâ®- |
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à¨ï¬ (1.23) ¨ § ¯¨è¥¬ (1.48) ¢ ¢¨¤¥ ¯à¥¤¥« ¤«ï ¬®£®ªà ⮣® ¨â¥£à « : |
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n |
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n |
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(xl+1 |
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xl )2 |
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(1.49) |
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(1.36) ¨ ¯®«ãç ¥¬: |
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n=2 |
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im |
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m |
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|
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m |
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1=2 |
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(1.51) |
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2~(tf ; ti) |
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£¤¥ ¬ë ¥é¥ ¤®¡ ¢¨«¨ ¬®¦¨â¥«ì (tf ; ti), ®¡¥á¯¥ç¨¢ î騩 ¢ë¯®«¥¨¥ ¯à¨æ¨¯ ¯à¨ç¨®áâ¨. ¡®¡é¥¨¥ í⮣® ¢ëà ¦¥¨ï á«ãç © ¤¢¨¦¥¨ï ᢮¡®¤®© ç áâ¨æë ¢ âà¥å¬¥à®¬ ¯à®áâà á⢥ ¢¯®«¥ ®ç¥¢¨¤®: ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ¯à®¯ £ â®à ᢮¤¨âáï ª ¯à®¨§¢¥¤¥¨î ¯à®¯ £ â®à®¢ ᢮¡®¤®£® à á¯à®áâà ¥¨ï (1.51) ¯® ¢á¥¬ â६ ª®- ®à¤¨ âë¬ ®áï¬ x; y; z.
« ¢¥ 4 ç á⨠I ¬ë 㦥 ¢¨¤¥«¨, çâ® ¯à®¯ £ â®à ç áâ¨æë 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãà ¢- ¥¨î, ।áâ ¢«ïî饬ã ᮡ®© ãà ¢¥¨¥ ।¨£¥à á { ¨áâ®ç¨ª®¬ ¢ ¯à ¢®©
ç áâ¨: |
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; H(xf ) K(xf tf ;xiti) = i~ (tf ; ti ) (xf ; xi) |
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# K0 (xf tf ; xiti) = i~ (tf ; ti) (xf ; xi) |
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(1.53) |
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@tf |
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í⮬, ªáâ â¨, ¬®¦® ã¡¥¤¨âìáï ¥¯®á।á⢥®© ¯®¤áâ ®¢ª®© (1.51) ¢ ¢ ¤ ®¥ ãà ¢¥¨¥.
᫨ ¢ (1.51) ¨ (1.53) ᤥ« âì § ¬¥ã t ! ;it ¨ 2~m ! D, â® ãà ¢¥¨¥ (1.53) ¯¥à¥©¤¥â ¢:
@ |
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@2 |
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; D |
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K0(xf tf ; xiti) = (tf ; ti) (xf ; xi) |
(1.54) |
@tf |
@xf2 |
â ª çâ® K0(xf tf ; xiti) ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© äãªæ¨î ਠãà ¢¥¨ï ¤¨ää㧨¨ [32] |
á ª®íää¨- |
樥⮬ ¤¨ää㧨¨ D. ਠí⮬ ¢á¥ ¬¨¬®á⨠¨§ (1.51) ¨á祧 îâ ¨ íâ® ¢ëà ¦¥¨¥ |
®¯¨áë¢ ¥â |
¤¨ää㧨î ç áâ¨æ ¨§ â®ç¥ç®£® ¨áâ®ç¨ª . ªâ¨ç¥áª¨, ª®â¨ã «ìë¥ ¨â¥£à «ë ¯® âà ¥ªâ®- à¨ï¬ ¢®§¨ª«¨ ¢¯¥à¢ë¥ ¢ ⥮ਨ ¤¨ää㧨®ëå ¯à®æ¥áᮢ, £¤¥ ®¨ §ë¢ îâáï ¨â¥£à « ¬¨¨¥à . á祧®¢¥¨¥ ®á樫«ï権 ¢ (1.51) (§ ¬¥ ¨å ¡ëáâà® § âãå î騥 íªá¯®¥âë ⥮ਨ ¤¨ää㧨¨) ç१¢ëç ©® 㤮¡® á â®çª¨ §à¥¨ï ç¨á«¥ëå à áç¥â®¢, ¢ ç áâ®á⨠áãé¥á⢥® ®¡«¥£ç îâáï ¢ëç¨á«¥¨ï ª®â¨ã«ìëå ¨â¥£à «®¢ ¬¥â®¤®¬ ®â¥- à«®. ®®¡é¥, ä®à¬ «ì- ë© ¯¥à¥å®¤ ª ¬¨¬®¬ã ¢à¥¬¥¨ ç áâ® ¨á¯®«ì§ã¥âáï ¯à¨ à¥è¥¨¨ à §«¨çëå § ¤ ç ª¢ ⮢®© ¬¥å ¨ª¨ ¨ ª¢ ⮢®© ⥮ਨ ¯®«ï. ¨¦¥ ¬ë ¥é¥ ¥ à § á í⨬ á⮫ª¥¬áï.
¥à¥å®¤ ª ¬¨¬®¬ã ¢à¥¬¥¨ ¨¬¥¥â ¥é¥ ®¤¨ ᯥªâ, ¤ ¦¥ ¡®«¥¥ £«ã¡®ª¨© á â®çª¨ §à¥¨ï
䨧¨ª¨. ¢®¢¥á ï áâ â¨áâ¨ç¥áª ï¬¥å ¨ª |
楫¨ª®¬ ®á®¢ |
¨á¯®«ì§®¢ ¨¨ª ®¨ç¥áª®£® |
||
à á¯à¥¤¥«¥¨ï ¨¡¡á , ª®£¤ ¬ âà¨æ ¯«®â®á⨠á¨áâ¥¬ë ¨¬¥¥â ¢¨¤ [35]: |
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(1.55) |
|
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16 |
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£¤¥ H { £ ¬¨«ì⮨ á¨á⥬ë, Z { áâ â¨áâ¨ç¥áª ï á㬬 , |
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1 |
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(1.56) |
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® (1.56) ( §ë¢ ¥¬®¥ ¨®£¤ ãà ¢¥¨¥¬ «®å ) ¯®«ãç ¥âáï ¨§ ®¡ë箣® ãà ¢¥¨ï ।¨£¥à :
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(1.57) |
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¢ \¬¨¬®¬ ¢à¥¬¥¨". ëç¨á«¥¨¥ à ¢®- |
¢¥á®© ¬ âà¨æë ¯«®â®á⨠á¨áâ¥¬ë ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãîé¨å ç áâ¨æ ¬®¦® ¢¥á⨠à¥è ï ãà ¢¥¨¥ (1.56) ¨ ¨á¯®«ì§ãï ¯à¨ í⮬ ä®à¬ «¨§¬ ¯à®¯ £ â®à®¢ (äãªæ¨© ਠ) ¢ ¬¨¬®¬ (\¬ æ㡠஢- ᪮¬") ¢à¥¬¥¨ [13]. ਠí⮬ ¬®¦® ¯®«ì§®¢ âìáï ¨ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥¬ íâ¨å ¯à®¯ £ â®à®¢ ¢ ¢¨¤¥
䥩¬ ®¢áª¨å ¨â¥£à «®¢ ¯® âà ¥ªâ®à¨ï¬ (¨â¥£à |
«®¢ ¨¥à ), ®á®¢¥ 祣® ¬®¦® à §¢¨âì |
ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ®¡é¨© ¯®¤å®¤ ª à¥è¥¨î § ¤ ç áâ |
â¨áâ¨ç¥áª®© 䨧¨ª¨ [38]. |
¥à¥©¤¥¬ ⥯¥àì ª ¢ëç¨á«¥¨î K1 { ¯®¯à ¢ª¨ ¯¥à¢®£® ¯®à浪 |
¯® ¯®â¥æ¨ «ã |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
V (x). § (1.26) ¨ (1.46) ¨¬¥¥¬: |
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n+1 |
n |
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n |
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K1 = ; |
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2 |
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dx1:::dxnV (xi; ti) exp 8 |
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=0(xj+1 ; xj)29 |
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nlim!1 |
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2 i~ |
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i=1 |
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2~ j |
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XZ |
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(1.58) |
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§ ¢¨á¨â ®â xi, à §®¡ì¥¬ á㬬㠯®¤ íªá¯®¥â®© |
¤¢¥: ®¤ã ®â j = 0 ¤® j = i ; 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
¨ ¢â®àãî ®â j = i ¤® j = n. 뤥«¨¬ â ª¦¥ ¨â¥£à « ¯® xi. १ã«ìâ ⥠(1.58) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
¯¥à¥¯¨è¥âáï ª ª: |
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n |
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8 |
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m |
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n;i+1 |
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im |
n |
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39 |
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K1 = lim |
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dxi |
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2 |
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dxi+1:::dxn exp |
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(xj+1 |
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xj)2 |
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2 i~ |
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Z |
22~ j=i |
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n!1 |
~ i=1 |
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XZ |
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4 |
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X |
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5= |
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m |
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i |
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im |
|
i |
; |
1 |
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; |
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2 |
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V (xi; ti)8 |
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Z |
dx1:::dxi;1 exp 2 |
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|
=0(xj+1 |
; xj )239 |
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2 i~ |
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2~ j |
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< |
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4 |
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X |
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= |
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5;(1.59) |
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«¥ë ¢ 䨣ãàëå ᪮¡ª å à ¢ë K0(xf tf ;xt) ¨ K0(xt;xiti) ᮮ⢥âá⢥®, â ª |
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çâ® ¯®á«¥ § ¬¥ë |
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dxi |
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R |
dx |
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dt |
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¢ëà ¦¥¨¥ (1.59) ᢮¤¨âáï ª: |
|
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1R |
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= ; |
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Zti |
dt Z;1 dxK0(xf tf ; xt)V (x; t)K0(xt; xiti ) |
|
|
|
(1.60) |
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|
|
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~ |
|
|
|
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ãç¥â®¬ ⮣®, çâ® K0(xf tf ;xt) = 0 ¤«ï t > tf , |
K0 (xt;xiti) |
= |
0 ¤«ï t < ti, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
¢ëà ¦¥¨¥ (1.60) ¬®¦® § ¯¨á âì ª ª: |
|
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|
i |
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1 |
|
|
|
1 |
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|
K1 = ; |
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|
Z;1 dt Z;1 dxK0 |
(xf tf ; xt)V (x; t)K0(xt; xiti) |
|
|
|
(1.61) |
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|
|
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~ |
|
|
|
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|
ª ¯à®¯ £ â®àã (äãªæ¨¨ |
ਠ) 襩 ç áâ¨æë.
®¢¥à襮 «®£¨ç®, ¯ã⥬ ¡®«¥¥ £à®¬®§¤ª¨å ¢ëç¨á«¥¨©, ¬®¦® ©â¨ ¨ ¯®¯à ¢ªã ¢â®à®£® ¯®à浪 :
|
i 2 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
K2(xf tf ; xiti) = ; |
|
|
Z;1 dt1 Z;1 dt2 Z;1 dx1 Z;1 dx2K0 |
(xf tf ; x2t2)V (x2t2) |
|||
~ |
|
17 |
K0(x2t2; x1t1)V (x1t1)K0 (x1t1;xiti) (1.62)
âàãªâãà ç«¥®¢ ¢ëáè¨å ¯®à浪®¢ áâ ®¢¨âáï ⥯¥àì ®ç¥¢¨¤®©. १ã«ìâ ⥠¯®«ãç ¥¬ àï¤ â¥®à¨¨ ¢®§¬ã饨© ¤«ï ¯à®¯ £ â®à ¢ ¢¨¤¥:
|
|
|
|
i |
|
|
K(xf tf ;xiti) = K0(xf tf ;xiti) ; |
|
Z dt1dx1K0 |
(xf tf ; xt)V (x1; t1)K0(x1t1; xiti) ; |
|||
~ |
||||||
1 |
Z |
|
|
|
|
|
; |
|
dt1dt2dx1dx2K0(xf tf ;x2t2 )V (x2t2)K0(x2t2; x1t1)V (x1t1)K0(x1t1; xiti) + ::: |
||||
~2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
(1.63) |
зв® ¯а®бв® б®¢¯ ¤ ¥в б «®£¨зл¬ а §«®¦¥¨¥¬, ¢л¯¨б л¬ ¢ли¥ ¢ « ¢¥ 4 з бв¨ I. ¬¥в¨¬, зв® ¢ ¢ла ¦¥¨¨ (1.62) ®вбгвбв¢г¥в ¬®¦¨в¥«м 1=2!, ¨¬¥ой¨©бп ¢
à §«®¦¥¨¨ (1.46). ¥«® §¤¥áì ¢ ⮬, çâ® ¤¢ |
¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï á V ¢ à §ë¥ ¬®¬¥âë |
|||||
¢à¥¬¥¨ ¥à §«¨ç¨¬ë ¨ ¬®¦® ¯¨á âì: |
|
|
|
|||
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
Z;1 dt0 Z;1 dt00V (t0)V (t00) = |
|
||
1 |
1 |
2! |
|
|||
= Z;1 dt0 |
Z;1 dt00[ (t0 ; t00)V (t0)V (t00) + (t00 ; t0)V (t0)V (t00) = |
|
||||
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
= Z;1 dt1 Z;1 dt2V (t1)V (t2) (t1 ; t2) |
(1.64) |
® í⮩ ¦¥ ¯à¨ç¨¥ ¢ ¯®¯à ¢ª¥ ¯à®¨§¢®«ì®£® ¯®à浪 Kn ®вбгвбв¢г¥в ¬®¦¨- в¥«м 1=n!. б®, зв® ¢ а §«®¦¥¨¨ (1.63) ᮤ¥а¦¨вбп ¯а®бв¥©и п ¤¨ £а ¬¬ п в¥е¨ª : ª ¦¤л© з«¥ ап¤ ¬®¦® «¥£ª® ¨§®¡а §¨вм ¤¨ £а ¬¬®©, ¥б«¨ б®¯®бв - ¢¨вм б¯«®иго «¨¨о ¯а®¯ £ в®аг з бв¨жл, ¢®«¨бвл¬¨ «¨¨п¬¨ ¨§®¡а §¨вм ¤¥©бв¢¨¥ ¯®в¥ж¨ « ¢ б®®в¢¥вбв¢гой¨е в®зª е ¯а®бва бв¢ ¢ б®®в¢¥вбв¢гой¨¥ ¬®¬¥вл ¢а¥¬¥¨ (¯® ª®в®ал¬ ¢¥¤¥вбп ¨в¥£а¨а®¢ ¨¥).
®¤áâ ®¢ª à §«®¦¥¨ï (1.63) ¢ (1.1) ¤ ¥â:
|
|
|
(xf tf ) = Z dxiK(xf tf ; xiti) (xiti) = |
|
|
i |
= Z dxiK0(xf tf ; xiti) (xiti) ; |
|
|
; |
|
Z dt Z dx Z dxiK0 |
(xf tf ; xt)V (x; t)K0(xt; xiti ) (xiti) + ::: |
(1.65) |
~ |
ª« ¤ ¥¢ë¯¨á ëå §¤¥áì ç«¥®¢ ¢ëáè¨å ¯®à浪®¢ ᢮¤¨âáï, ®ç¥¢¨¤®, ª § ¬¥¥ ¯®á«¥¤¥£® ¯à®¯ £ â®à K0 ¯®«ë¬ ¯à®¯ £ â®à®¬ K. ®®â¢¥âá⢥®, ¯®«ãç ¥¬ â®ç®¥ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ¤«ï ¢®«®¢®© äãªæ¨¨:
(xf tf ) = Z |
i |
dxiK0(xf tf ; xiti) (xiti) ; ~ Z dt Z dxK0(xf tf ;xt)V (x; t) (xt) (1.66) |
ª®â®à®¥, ª®¥ç®, ¢¯®«¥ íª¢¨¢ «¥â® ãà ¢¥¨î ।¨£¥à ¢ à áᬠâਢ ¥¬®© § ¤ ç¥. ।¯®« £ ï, çâ® ¯à¨ ti ! ;1 ¢®«®¢ ï äãªæ¨ï ï¥âáï à¥è¥¨¥¬ ᢮- ¡®¤®£® ãà ¢¥¨ï ।¨£¥à (¯«®áª®© ¢®«®©!) ¨ ®¡®§ ç ï ¥£® ª ª '(xt), ¬®¦®