Файл: Садовский М.В. Квантовая теория поля. Часть 2.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 433

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

¨­â¥£à « ã áá®­

{ ãáá :

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

Z;1 dxe; x

 

= q

 

â®â १ã«ìâ â ¯®«ãç ¥âáï áà §ã, ¥á«¨ § ¬¥â¨âì, çâ® ¥£® ¬®¦­® ¯¥à¥¯¨á âì ª ª:

 

1 dx

1 dye; (x2 +y2) =

 

 

Z;1

Z;1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

çâ®, ¯®á«¥ ¯¥à¥å®¤

ª ¯®«ïà­ë¬ ª®®à¤¨­ â ¬ ¢ ¯«®áª®á⨠(x; y), ᢮¤¨âáï ª:

13

(1.28)

(1.29)

2

Z0

 

 

 

 

Z0

1 d(r2)e; r2 =

 

 

Z0

 

 

 

=

 

(1.30)

d

1 drre; r2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

®á«¥¤­¥¥ à ¢¥­á⢮ ®ç¥¢¨¤­®, çâ® ¨ ¤®ª §ë¢ ¥â (1.28).

 

 

 

áᬮâਬ ⥯¥àì ¨­â¥£à « ®â ª¢ ¤à â¨ç­®© ä®à¬ë:

 

 

 

1

2

 

 

 

 

1

 

 

 

Z;1 dxe;ax

+bx+c Z;1 eq(x)

 

(1.31)

£¤¥ ¯®« £ ¥¬ a > 0. ®£¤ ¨¬¥¥¬ q0(x) = ;2ax + b; q00(x) = ;2a; q000(x) = 0:::, ¨ ¬ë «¥£ª® ­ 室¨¬

x | §­ 祭¨¥ x, ¯à¨ ª®â®à®¬ q(x) ¬¨­¨¬ «ì­ :

 

 

 

 

 

 

 

x =

b

 

 

q(x) =

b2

+ c

 

(1.32)

 

2a

 

4a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¥¯¥àì «¥£ª® ¯à¥¤áâ ¢¨âì q(x) ¢ ¢¨¤¥ (¢ë¤¥«ïï ¯®«­ë© ª¢ ¤à â):

q(x) = q(x) ; a(x ; x)2

®£¤ :

 

 

1 dxeq(x) = eq(x) 1 dxe;a(x;x)2 = eq(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;1

 

 

Z

;1

 

 

 

 

q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

â ª çâ® ®ª®­ç ⥫쭮 ¨¬Z¥¥¬:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

b2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z;1 dxe;ax

+bx+c Z;1 eq(x) = exp 4a + c qa

â ä®à¬ã« ¨ ¨á¯®«ì§®¢ « áì ¯à¨ ¯®«ã祭¨¨ (1.26), (1.25).

 

 

 

 

 

 

 

ਢ¥¤¥¬ ¥é¥ ®¡®¡é¥­¨¥ (1.35) ­

á«ãç © n ¯¥à¥¬¥­­ëå ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï [8]:

Z

1 dx1:::

Z

1 dxn exp i [(x1 ; a)2 + (x2 ; x1)2 + ::: + (b ; xn)2] =

;1

;1

 

 

 

in n

1=2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= h

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

exp h

 

(b ; a)2i

 

 

 

 

 

 

(n + 1) n

 

n + 1

çâ® ¯à¨£®¤¨âáï ­ ¬ ¢ ¤ «ì­¥©è¥¬.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1.33)

(1.34)

(1.35)

(1.36)

¢ëà ¦¥­¨¨ (1.27), ä ªâ¨ç¥áª¨, ᮤ¥à¦¨âáï ¢áï ª¢ ­â®¢ ï ¬¥å ­¨ª ç áâ¨æë, ®­® è¨à®ª® ¨á¯®«ì§ã¥âáï ¯à¨ à¥è¥­¨¨ ¯à ªâ¨ç¥áª¨å § ¤ ç [37]. ®á¬®âਬ, ª ª ¨§ ­¥£® ¬®¦­® ¯®«ãç¨âì ®¡ëç­®¥ ãà ¢­¥­¨¥ ।¨­£¥à . ¯¨è¥¬ ®á­®¢­®¥ á®®â- ­®è¥­¨¥ (1.1) ¢ ¢¨¤¥, á¢ï§ë¢ î饬 ¢®«­®¢ãî äã­ªæ¨î ¢ ¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨ t2 á ¥¥ §­ 祭¨¥¬ ¢ ¬®¬¥­â t1:

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x2; t2) = Z;1 dx1K(x2t2; x1t1)

(x1t1)

 

 

(1.37)

ãáâì ¬®¬¥­âë t2

¨ t1 ®ç¥­ì ¡«¨§ª¨, â ª çâ® t2 = t1 + ", £¤¥ " ! 0. ®£¤

¯à®¯ £ -

â®à ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¢ª« ¤®¬ ⮫쪮 ®¤­®£® ¬ «®£® ᥣ¬¥­â âà ¥ªâ®à¨¨ ¨, ¯®«ì§ãïáì

(1.26), ¬ë ¬®¦¥¬ § ¯¨á âì (1.37) ¢ ¢¨¤¥:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x; t + ") = A

1 exp

 

i

m(x ; y)2

 

exp

 

i

"V

 

x + y ; t

 

(y; t)dy

(1.38)

 

 

 

;~

 

 

 

Z;1

~ 2"

 

 

2

 

 

14

 

 

 

 

 

 

 

£¤¥ A =

;

m

 

 

1=2

. §-§ ­ «¨ç¨ï ¯¥à¢®© íªá¯®­¥­âë, áãé¥á⢥­­ë© ¢ª« ¤ ¢ ¨­â¥-

2 i~"

 

£à « ¤ îâ ⮫쪮 §­ 祭¨ï y ¡«¨§ª¨¥ ª x. ¤¥« ¥¬ § ¬¥­ã ¯¥à¥¬¥­­®© y = x + ¨

¯¥à¥¯¨è¥¬ (1.38) ¢ ¢¨¤¥:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

im 2

 

 

 

 

 

 

 

i"

 

 

 

 

 

(x; t + ") = A Z;1 exp 2~" exp ; ~ V

 

 

(1.39)

x + 2

; t (x + ; t)d

ãç¥â®¬ ⮣®, çâ® ®á­®¢­®© ¢ª« ¤ âãâ ¤ îâ ¬ «ë¥ §­ 祭¨ï , à §«®¦¨¬ ®¡¥ ç áâ¨

(1.39) ¢ àï¤:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

 

 

1

 

im 2

 

 

 

 

i"

 

 

 

 

@

1

@2

(x; t) + "

 

@t

= A Z;1 exp 2~" 1 ;

 

~ V (x; t)

(x; t) + @x

+ 2 2

@x2 d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1.40)

ç⥬ ⥯¥àì, çâ®

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

2

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A Z;1 eim

 

=2

 

"d = 1

 

 

 

 

(1.41)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A Z;1 eim

=2

 

 

" d = 0

 

 

 

 

(1.42)

 

 

 

 

 

 

 

 

Z;1

=2~"

 

2

 

 

 

 

i~"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

im 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

e

 

 

 

 

 

d =

m

 

 

 

 

(1.43)

®£¤ (1.40) ᢮¤¨âáï ª:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

 

;

i"

 

; ;

~" @2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x; t) + "

@t =

~ V

 

 

 

(1.44)

 

 

 

 

 

 

 

2im @x2

 

â® à ¢¥­á⢮ 㤮¢«¥â¢®àï¥âáï (¯à¨ "

! 0), ¥á«¨ 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãà ¢­¥­¨î à¥-

¤¨­£¥à

¤«ï ®¤­®¬¥à­®£® ¤¢¨¦¥­¨ï:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i~

@

= ;

 

~2 @2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@x2 + V (x; t)

 

 

 

(1.45)

 

 

 

 

 

 

 

@t

2m

 

 

 

¥®à¨ï ¢®§¬ã饭¨©.

ãáâì ¯®â¥­æ¨ « V (x) ï¥âáï ¬ «ë¬ ¢®§¬ã饭¨¥¬. ®ç­¥¥ £®¢®àï, ¯ãáâì ¬ « (¯®

áà ¢­¥­¨î á ~) ¨­â¥£à « ¯® ¢à¥¬¥­¨ ®â V (x; t). ®£¤

¬®¦­® ­ ¯¨á âì à §«®¦¥­¨¥:

 

 

tf

dtV (x; t)

 

 

 

tf

dtV (x; t) ; 2!~2

tf

dtV (x; t)

2

+ ::: (1.46)

exp ;~ Zti

1 ; ~ Zti

Zti

 

 

i

 

 

 

 

i

 

1

 

 

 

 

ᯮ«ì§ãï â ª®¥ à §«®¦¥­¨¥ ¢ (1.27), ¯®«ã稬 à §«®¦¥­¨¥ ¯à®¯ £ â®à

K(xf tf ;xiti)

¢ àï¤ â¥®à¨¨ ¢®§¬ã饭¨©:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

K = K0 + K1 + K2 + :::

 

 

 

(1.47)

«¥­ ­ã«¥¢®£® ¯®à浪 ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¯à®¯ £ â®à ᢮¡®¤­®© ç áâ¨æë:

 

Dx exp

i

 

1

 

 

K0 = N Z

 

Z

dt

2mx2

(1.48)

~

 

15

⮡ë á®áç¨â âì ¥£® ¢ ®¬ ¢¨¤¥, ¢¥à­¥¬áï ª ®¯à¥¤¥«¥­¨î ¨­â¥£à «

 

¯® âà ¥ªâ®-

à¨ï¬ (1.23) ¨ § ¯¨è¥¬ (1.48) ¢ ¢¨¤¥ ¯à¥¤¥« ¤«ï ¬­®£®ªà â­®£® ¨­â¥£à « :

 

 

 

 

m

 

 

 

n+1

 

1

n

 

 

im

n

 

 

 

 

 

K0 = lim

 

 

 

 

 

2

 

 

dxj exp

 

 

(xl+1

 

xl )2

 

(1.49)

 

2 i~

 

 

 

 

 

"2~

 

 

;

#

n!1

 

 

 

j=1

 

 

l=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z;1 Y

 

 

 

X

 

 

 

 

 

¡®§­ ç ï áâ®ï騩 §¤¥áì ¬­®£®ªà â­ë© ¨­â¥£à « ª ª I, ¢ëç¨á«ï¥¬ ¥£® á ¯®¬®éìî

(1.36) ¨ ¯®«ãç ¥¬:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

i2 ~

n=2

 

 

im

 

 

 

 

 

 

 

I =

 

 

 

 

 

 

exp

 

(xf ; xi)2

 

(1.50)

(n + 1)1=2

 

m

 

2~(n + 1)

 

®« £ ï (n+1) = tf ;ti , ¯®«ãç ¥¬ ¨§ (1.49) ¯à®¯ £ â®à ᢮¡®¤­®© ç áâ¨æë ¢ ¢¨¤¥:

 

 

 

 

m

 

1=2

 

 

im(xf ; xi)2

 

 

K0 (xf tf ; xiti) = (tf

 

ti)

 

 

exp

 

 

(1.51)

;

i~(tf ; ti)

 

 

 

 

 

 

 

2~(tf ; ti)

 

£¤¥ ¬ë ¥é¥ ¤®¡ ¢¨«¨ ¬­®¦¨â¥«ì (tf ; ti), ®¡¥á¯¥ç¨¢ î騩 ¢ë¯®«­¥­¨¥ ¯à¨­æ¨¯ ¯à¨ç¨­­®áâ¨. ¡®¡é¥­¨¥ í⮣® ¢ëà ¦¥­¨ï ­ á«ãç © ¤¢¨¦¥­¨ï ᢮¡®¤­®© ç áâ¨æë ¢ âà¥å¬¥à­®¬ ¯à®áâà ­á⢥ ¢¯®«­¥ ®ç¥¢¨¤­®: ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ¯à®¯ £ â®à ᢮¤¨âáï ª ¯à®¨§¢¥¤¥­¨î ¯à®¯ £ â®à®¢ ᢮¡®¤­®£® à á¯à®áâà ­¥­¨ï (1.51) ¯® ¢á¥¬ â६ ª®- ®à¤¨­ â­ë¬ ®áï¬ x; y; z.

« ¢¥ 4 ç á⨠I ¬ë 㦥 ¢¨¤¥«¨, çâ® ¯à®¯ £ â®à ç áâ¨æë 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãà ¢- ­¥­¨î, ।áâ ¢«ïî饬ã ᮡ®© ãà ¢­¥­¨¥ ।¨­£¥à á { ¨áâ®ç­¨ª®¬ ¢ ¯à ¢®©

ç áâ¨:

i~

@

; H(xf ) K(xf tf ;xiti) = i~ (tf ; ti ) (xf ; xi)

 

 

(1.52)

 

 

 

 

 

 

@tf

 

 

 

 

 

 

~2 2

 

 

«ï á«ãç ï ®¤­®¬¥à­®£® ᢮¡®¤­®£® ¤¢¨¦¥­¨ï H(xf ) = ;

 

 

@

. ®®â¢¥âá⢥­­®,

2m

@xf2

᢮¡®¤­ë© ¯à®¯ £ â®à 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãà ¢­¥­¨î:

 

 

 

 

 

 

"i~

 

@

 

~2 @2

# K0 (xf tf ; xiti) = i~ (tf ; ti) (xf ; xi)

 

 

 

;

 

 

 

(1.53)

 

@tf

2m

@x2f

í⮬, ªáâ â¨, ¬®¦­® ã¡¥¤¨âìáï ­¥¯®á।á⢥­­®© ¯®¤áâ ­®¢ª®© (1.51) ¢ ¢ ¤ ­­®¥ ãà ¢­¥­¨¥.

᫨ ¢ (1.51) ¨ (1.53) ᤥ« âì § ¬¥­ã t ! ;it ¨ 2~m ! D, â® ãà ¢­¥­¨¥ (1.53) ¯¥à¥©¤¥â ¢:

@

 

@2

 

 

 

 

; D

 

K0(xf tf ; xiti) = (tf ; ti) (xf ; xi)

(1.54)

@tf

@xf2

â ª çâ® K0(xf tf ; xiti) ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© äã­ªæ¨î ਭ ãà ¢­¥­¨ï ¤¨ää㧨¨ [32]

á ª®íää¨-

樥­â®¬ ¤¨ää㧨¨ D. ਠí⮬ ¢á¥ ¬­¨¬®á⨠¨§ (1.51) ¨á祧 îâ ¨ íâ® ¢ëà ¦¥­¨¥

®¯¨áë¢ ¥â

¤¨ää㧨î ç áâ¨æ ¨§ â®ç¥ç­®£® ¨áâ®ç­¨ª . ªâ¨ç¥áª¨, ª®­â¨­ã «ì­ë¥ ¨­â¥£à «ë ¯® âà ¥ªâ®- à¨ï¬ ¢®§­¨ª«¨ ¢¯¥à¢ë¥ ¢ ⥮ਨ ¤¨ää㧨®­­ëå ¯à®æ¥áᮢ, £¤¥ ®­¨ ­ §ë¢ îâáï ¨­â¥£à « ¬¨¨­¥à . á祧­®¢¥­¨¥ ®á樫«ï権 ¢ (1.51) (§ ¬¥­ ¨å ­ ¡ëáâà® § âãå î騥 íªá¯®­¥­âë ⥮ਨ ¤¨ää㧨¨) ç१¢ëç ©­® 㤮¡­® á â®çª¨ §à¥­¨ï ç¨á«¥­­ëå à áç¥â®¢, ¢ ç áâ­®á⨠áãé¥á⢥­­® ®¡«¥£ç îâáï ¢ëç¨á«¥­¨ï ª®­â¨­ã«ì­ëå ¨­â¥£à «®¢ ¬¥â®¤®¬ ®­â¥- à«®. ®®¡é¥, ä®à¬ «ì- ­ë© ¯¥à¥å®¤ ª ¬­¨¬®¬ã ¢à¥¬¥­¨ ç áâ® ¨á¯®«ì§ã¥âáï ¯à¨ à¥è¥­¨¨ à §«¨ç­ëå § ¤ ç ª¢ ­â®¢®© ¬¥å ­¨ª¨ ¨ ª¢ ­â®¢®© ⥮ਨ ¯®«ï. ¨¦¥ ¬ë ¥é¥ ­¥ à § á í⨬ á⮫ª­¥¬áï.

¥à¥å®¤ ª ¬­¨¬®¬ã ¢à¥¬¥­¨ ¨¬¥¥â ¥é¥ ®¤¨­ ᯥªâ, ¤ ¦¥ ¡®«¥¥ £«ã¡®ª¨© á â®çª¨ §à¥­¨ï

䨧¨ª¨. ¢­®¢¥á­ ï áâ â¨áâ¨ç¥áª ï¬¥å ­¨ª

楫¨ª®¬ ®á­®¢ ­ ­

¨á¯®«ì§®¢ ­¨¨ª ­®­¨ç¥áª®£®

à á¯à¥¤¥«¥­¨ï ¨¡¡á , ª®£¤ ¬ âà¨æ ¯«®â­®á⨠á¨áâ¥¬ë ¨¬¥¥â ¢¨¤ [35]:

=

 

1

e; H

(1.55)

 

 

 

 

Z

 

16

 

 

£¤¥ H { £ ¬¨«ìâ®­¨ ­ á¨á⥬ë, Z { áâ â¨áâ¨ç¥áª ï á㬬 ,

=

1

{ ®¡à â­ ï ⥬¯¥à âãà . ¥£ª®

 

T

 

¢¨¤¥âì, çâ®

 

 

 

 

 

@

 

 

 

 

 

 

= ;H

 

 

(1.56)

 

 

@

 

 

® (1.56) (­ §ë¢ ¥¬®¥ ¨­®£¤ ãà ¢­¥­¨¥¬ «®å ) ¯®«ãç ¥âáï ¨§ ®¡ëç­®£® ãà ¢­¥­¨ï ।¨­£¥à :

 

 

i~@

= H

(1.57)

 

 

@t

 

 

¯®á«¥ ä®à¬ «ì­®© § ¬¥­ë

! , t

! ;i~ . ®í⮬㠬®¦­® ᪠§ âì, çâ® ¢áï à ¢­®¢¥á­ ï áâ -

â¨áâ¨ç¥áª ï ¬¥å ­¨ª íâ® â

¦¥ ª¢ ­â®¢ ï ¬¥å ­¨ª

¢ \¬­¨¬®¬ ¢à¥¬¥­¨". ëç¨á«¥­¨¥ à ¢­®-

¢¥á­®© ¬ âà¨æë ¯«®â­®á⨠á¨áâ¥¬ë ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãîé¨å ç áâ¨æ ¬®¦­® ¢¥á⨠à¥è ï ãà ¢­¥­¨¥ (1.56) ¨ ¨á¯®«ì§ãï ¯à¨ í⮬ ä®à¬ «¨§¬ ¯à®¯ £ â®à®¢ (ä㭪権 ਭ ) ¢ ¬­¨¬®¬ (\¬ æ㡠஢- ᪮¬") ¢à¥¬¥­¨ [13]. ਠí⮬ ¬®¦­® ¯®«ì§®¢ âìáï ¨ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥¬ íâ¨å ¯à®¯ £ â®à®¢ ¢ ¢¨¤¥

䥩­¬ ­®¢áª¨å ¨­â¥£à «®¢ ¯® âà ¥ªâ®à¨ï¬ (¨­â¥£à

«®¢ ¨­¥à ), ­ ®á­®¢¥ 祣® ¬®¦­® à §¢¨âì

ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ®¡é¨© ¯®¤å®¤ ª à¥è¥­¨î § ¤ ç áâ

â¨áâ¨ç¥áª®© 䨧¨ª¨ [38].

¥à¥©¤¥¬ ⥯¥àì ª ¢ëç¨á«¥­¨î K1 { ¯®¯à ¢ª¨ ¯¥à¢®£® ¯®à浪

¯® ¯®â¥­æ¨ «ã

V (x). § (1.26) ¨ (1.46) ¨¬¥¥¬:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

m

 

 

 

 

n+1

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

im

 

n

 

 

 

 

 

 

 

K1 = ;

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

dx1:::dxnV (xi; ti) exp 8

 

=0(xj+1 ; xj)29

 

 

nlim!1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

2 i~

 

 

i=1

 

 

2~ j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

XZ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<

 

 

X

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1.58)

£¤¥ ¬ë § ¬¥­¨«¨ ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨¥ ¯® t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

á㬬¨à®¢ ­¨¥¬ ¯® ti. ®áª®«ìªã V §¤¥áì

§ ¢¨á¨â ®â xi, à §®¡ì¥¬ á㬬㠯®¤ íªá¯®­¥­â®© ­

¤¢¥: ®¤­ã ®â j = 0 ¤® j = i ; 1

¨ ¢â®àãî ®â j = i ¤® j = n. 뤥«¨¬ â ª¦¥ ¨­â¥£à « ¯® xi. १ã«ìâ ⥠(1.58)

¯¥à¥¯¨è¥âáï ª ª:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;i

n

 

 

 

 

 

8

 

m

 

 

n;i+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

im

n

 

 

 

 

 

39

 

K1 = lim

 

 

 

 

dxi

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

dxi+1:::dxn exp

 

 

 

 

 

(xj+1

 

xj)2

 

 

 

 

 

 

2 i~

 

 

 

 

 

Z

22~ j=i

;

 

n!1

~ i=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

XZ

 

 

 

<

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

X

 

 

 

 

 

5=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

m

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

im

 

i

;

1

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V (xi; ti)8

 

 

 

 

 

Z

dx1:::dxi;1 exp 2

 

 

=0(xj+1

; xj )239

 

 

 

 

 

 

 

 

2 i~

 

 

2~ j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

X

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5;(1.59)

«¥­ë ¢ 䨣ãà­ëå ᪮¡ª å à ¢­ë K0(xf tf ;xt) ¨ K0(xt;xiti) ᮮ⢥âá⢥­­®, â ª

çâ® ¯®á«¥ § ¬¥­ë

 

 

 

 

dxi

­

R

dx

 

dt

 

¢ëà ¦¥­¨¥ (1.59) ᢮¤¨âáï ª:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pi R i

 

 

tf

 

1R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

K1

 

= ;

 

 

 

Zti

dt Z;1 dxK0(xf tf ; xt)V (x; t)K0(xt; xiti )

 

 

 

(1.60)

 

 

 

 

~

 

 

 

 

ãç¥â®¬ ⮣®, çâ® K0(xf tf ;xt) = 0 ¤«ï t > tf ,

K0 (xt;xiti)

=

0 ¤«ï t < ti,

¢ëà ¦¥­¨¥ (1.60) ¬®¦­® § ¯¨á âì ª ª:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

K1 = ;

 

 

Z;1 dt Z;1 dxK0

(xf tf ; xt)V (x; t)K0(xt; xiti)

 

 

 

(1.61)

 

 

 

~

 

 

 

çâ® ¨ ¤ ¥â ®ª®­ç ⥫ì­ë© ¢¨¤ ¯®¯à ¢ª¨ ¯¥à¢®£® ¯®à浪

 

ª ¯à®¯ £ â®àã (ä㭪樨

ਭ ) ­ 襩 ç áâ¨æë.

®¢¥à襭­® ­ «®£¨ç­®, ¯ã⥬ ¡®«¥¥ £à®¬®§¤ª¨å ¢ëç¨á«¥­¨©, ¬®¦­® ­ ©â¨ ¨ ¯®¯à ¢ªã ¢â®à®£® ¯®à浪 :

 

i 2

1

1

1

1

 

K2(xf tf ; xiti) = ;

 

 

Z;1 dt1 Z;1 dt2 Z;1 dx1 Z;1 dx2K0

(xf tf ; x2t2)V (x2t2)

~

 

17

K0(x2t2; x1t1)V (x1t1)K0 (x1t1;xiti) (1.62)

âàãªâãà ç«¥­®¢ ¢ëáè¨å ¯®à浪®¢ áâ ­®¢¨âáï ⥯¥àì ®ç¥¢¨¤­®©. १ã«ìâ ⥠¯®«ãç ¥¬ àï¤ â¥®à¨¨ ¢®§¬ã饭¨© ¤«ï ¯à®¯ £ â®à ¢ ¢¨¤¥:

 

 

 

 

i

 

K(xf tf ;xiti) = K0(xf tf ;xiti) ;

 

Z dt1dx1K0

(xf tf ; xt)V (x1; t1)K0(x1t1; xiti) ;

~

1

Z

 

 

 

 

;

 

dt1dt2dx1dx2K0(xf tf ;x2t2 )V (x2t2)K0(x2t2; x1t1)V (x1t1)K0(x1t1; xiti) + :::

~2

 

 

 

 

 

 

(1.63)

зв® ¯а®бв® б®¢¯ ¤ ¥в б ­ «®£¨з­л¬ а §«®¦¥­¨¥¬, ¢л¯¨б ­­л¬ ¢ли¥ ¢ « ¢¥ 4 з бв¨ I. ¬¥в¨¬, зв® ¢ ¢ла ¦¥­¨¨ (1.62) ®вбгвбв¢г¥в ¬­®¦¨в¥«м 1=2!, ¨¬¥ой¨©бп ¢

à §«®¦¥­¨¨ (1.46). ¥«® §¤¥áì ¢ ⮬, çâ® ¤¢

¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï á V ¢ à §­ë¥ ¬®¬¥­âë

¢à¥¬¥­¨ ­¥à §«¨ç¨¬ë ¨ ¬®¦­® ­ ¯¨á âì:

 

 

 

 

1

 

1

1

 

 

 

 

Z;1 dt0 Z;1 dt00V (t0)V (t00) =

 

1

1

2!

 

= Z;1 dt0

Z;1 dt00[ (t0 ; t00)V (t0)V (t00) + (t00 ; t0)V (t0)V (t00) =

 

 

1

 

 

1

 

 

 

= Z;1 dt1 Z;1 dt2V (t1)V (t2) (t1 ; t2)

(1.64)

® í⮩ ¦¥ ¯à¨ç¨­¥ ¢ ¯®¯à ¢ª¥ ¯à®¨§¢®«ì­®£® ¯®à浪 Kn ®вбгвбв¢г¥в ¬­®¦¨- в¥«м 1=n!. б­®, зв® ¢ а §«®¦¥­¨¨ (1.63) ᮤ¥а¦¨вбп ¯а®бв¥©и п ¤¨ £а ¬¬­ п в¥е­¨ª : ª ¦¤л© з«¥­ ап¤ ¬®¦­® «¥£ª® ¨§®¡а §¨вм ¤¨ £а ¬¬®©, ¥б«¨ б®¯®бв - ¢¨вм б¯«®и­го «¨­¨о ¯а®¯ £ в®аг з бв¨жл, ¢®«­¨бвл¬¨ «¨­¨п¬¨ ¨§®¡а §¨вм ¤¥©бв¢¨¥ ¯®в¥­ж¨ « ¢ б®®в¢¥вбв¢гой¨е в®зª е ¯а®бва ­бв¢ ¢ б®®в¢¥вбв¢гой¨¥ ¬®¬¥­вл ¢а¥¬¥­¨ (¯® ª®в®ал¬ ¢¥¤¥вбп ¨­в¥£а¨а®¢ ­¨¥).

®¤áâ ­®¢ª à §«®¦¥­¨ï (1.63) ¢ (1.1) ¤ ¥â:

 

 

 

(xf tf ) = Z dxiK(xf tf ; xiti) (xiti) =

 

 

i

= Z dxiK0(xf tf ; xiti) (xiti) ;

 

;

 

Z dt Z dx Z dxiK0

(xf tf ; xt)V (x; t)K0(xt; xiti ) (xiti) + :::

(1.65)

~

ª« ¤ ­¥¢ë¯¨á ­­ëå §¤¥áì ç«¥­®¢ ¢ëáè¨å ¯®à浪®¢ ᢮¤¨âáï, ®ç¥¢¨¤­®, ª § ¬¥­¥ ¯®á«¥¤­¥£® ¯à®¯ £ â®à K0 ¯®«­ë¬ ¯à®¯ £ â®à®¬ K. ®®â¢¥âá⢥­­®, ¯®«ãç ¥¬ â®ç­®¥ ¨­â¥£à «ì­®¥ ãà ¢­¥­¨¥ ¤«ï ¢®«­®¢®© ä㭪樨:

(xf tf ) = Z

i

dxiK0(xf tf ; xiti) (xiti) ; ~ Z dt Z dxK0(xf tf ;xt)V (x; t) (xt) (1.66)

ª®â®à®¥, ª®­¥ç­®, ¢¯®«­¥ íª¢¨¢ «¥­â­® ãà ¢­¥­¨î ।¨­£¥à ¢ à áᬠâਢ ¥¬®© § ¤ ç¥. ।¯®« £ ï, çâ® ¯à¨ ti ! ;1 ¢®«­®¢ ï äã­ªæ¨ï ï¥âáï à¥è¥­¨¥¬ ᢮- ¡®¤­®£® ãà ¢­¥­¨ï ।¨­£¥à (¯«®áª®© ¢®«­®©!) ¨ ®¡®§­ ç ï ¥£® ª ª '(xt), ¬®¦­®

Смотрите также файлы