Файл: Компьютерное моделирование контрольная работа.doc

Предположим, что предлагается некоторая рационализация, позво­ляющая вдвое сократить время ремонта либо первого, либо второго устройства. По ряду причин рационализацию можно применить только к одному из устройств. Спрашивается, какое устройство следует выб­рать, первое или второе? Это конкретный пример практической ситу­ации, когда пользуясь теорией массового обслуживания, надо обосно­вать принятие решения.

Допустим, что выбирается первое устройство. В результате рациона­лизации интенсивность потока окончаний ремонтов этого устройства увеличивается вдвое, так что теперь μ₁= 4, а остальные интенсивности остаются прежними: λ₁=1, λ₂= 2, μ₂= 3. Уравнения Колмогорова принимают теперь следующий вид:

Решая эту систему, находим: p₁ = 0.48; р₂= 0.12; р₃= 0.32; р₄ = 0.08. С учетом полученных вероятностей определим доход, который теперь будет давать рассматриваемая система:

(5 + 10) х 0.48 + 5 х 0.12 + 10 х 0.32 = 11 усл. ед.

Если же мы выберем второе устройство, то в результате рациона­лизации удвоится интенсивность μ₂ . В этом случае: λ₁ = l, λ₂ = 2, μ₁ = 2, μ₂ = 6. Уравнения Колмогорова примут вид:

Решая эту систему уравнений, находим: р₁ = 0.5; р₂ = 0.25; р₃ = 0.17; p₄ = =0.08. Подсчитываем доход:

(5+ 10) х 0.5 + 5 х 0.25+ 10 х 0.17= 10.45 усл. ед.

Таким образом, мы видим, что выгоднее применить, рационализа­цию к первому устройству.

Теперь рассмотрим систему массового обслуживания с отказами. Самый простой пример СМО с отказами — это автоматическая теле­фонная станция. Если вызываемый абонент занят, то даются короткие гудки и ожидать бесполезно. В зависимости от степени необходимости в обслуживании заявки либо покидают систему, либо обращаются по­вторно. Одноканальная система массового обслуживания — это самая простая СМО, на которой можно рассмотреть основные закономерно­сти ее работы.

На вход системы поступает поток заявок с интенсивностью λ. Заяв­ка, поступившая в момент, когда система свободна, сразу же берется на обслуживание. Следующая заявка, прибывшая в момент, когда ка­нал обслуживания занят, получает отказ. Время обслуживания заявки имеет случайную продолжительность, но имеется какое-то среднее зна­чение, в результате чего на выходе образуется поток обслуживания с интенсивностью μ. Наглядно поток обслуживания можно представить таким образом, что если бы канал обслуживания был непрерывно загру­жен, то из него выходил бы поток обслуженных заявок (рис. 14).

Если среднее время обслуживания одной заявки (в примере с теле­фонной станцией это средняя продолжительность одного разговора) составляет 0.5 мин, то интенсивность потока обслуживания μ = 1/0.5 = 2. Одноканальная СМО может находиться только в одном из двух состо­яний: S_o — свободна, S₁, — занята. Граф состояний, показывающий воз­можные переходы из одного состояния в другое, изображен на рис. 15.

Возможность нахождения СМО в свободном состоянии S₀ опреде­ляется какой-то, пока нам неизвестной вероятностью р₀. Соответственно р₁ — это вероятность того, что система находится в занятом состоянии S₁. Так как система может находиться только в одном из двух состоя­ний, то в каком-то из них она всегда находится, поэтому сумма веро­ятностей равна единице:

Чтобы система могла пребывать в этих двух состояниях, воздействия, выводящие ее из состояния S₀, должны уравновешиваться воздействиями, возвращающими систему обратно в это состояние. Величина каж­дого воздействия определяется произведением интенсивности потока на соответствующую вероятность, т.е. Из этого выражения определяем:

Учитывая, что сумма вероятностей всегда равна единице, получим:

Основные параметры СМО с отказами: относительная пропускная способность и абсолютная пропускная способность, а также вероят­ность получения отказа. Относительная пропускная способность q опре­деляется вероятностью того, что в момент заявки канал свободен и она будет обслужена, т.е. для одноканальной системы q = р₀. В пределе, когда процесс уже установился значение относительной пропускной способности СМО будет равно

Абсолютная пропускная способность А определяется произведением относительной пропускной способности на интенсивность потока тре­бований: А = q λ. В пределе она становится равной

Вероятность того, что заявка будет обслужена, определяется р₀, а вероятность отказа — р₁,. Таким образом, вероятность того, что ка­нал будет занят:

Другой пример. Сборочный участок производит в один час 90 блоков, т.е. интенсивность потока λ = 1.5 блоков в 1 мин. На этом участке работа­ет контролер, который выборочно проверяет изготовленные блоки ап­паратуры, средняя продолжительность контрольных операций s = 1.25 мин. Если в момент прибытия очередного блока контролер занят, то этот блок сразу же перелается на дальнейшие операции без промежуточного контроля. Производство непрерывное и продолжается до обнаружения дефекта в одном из блоков, в этом случае технологический процесс останавливается и выясняются причины неисправности.

Необходимо определить, какая часть выпускаемой продукции в та­ких условиях подвергается контролю и какая часть пропускается на дальнейшие операции без контроля (т.е. какая часть получает отказ от прохождения контрольных операций).

Определим параметр μ потока обслуживания μ = 1/1.25 = 0.8. Отно­сительная пропускная способность q = 0.8 : (1.5 + 0.8) = 0.348. Таким образом, контрольным операциям будет подвергаться менее 35% про­дукции участка. Абсолютная пропускная способность А = 1.5 * 0.348 = 0.52. Вероятность отказа в обслуживании, т.е. пропуска на дальней­шую обработку без контроля, равна (1 - 0.35) = 0.65.

Интересно, что если увеличить производительность труда контро­лера и таким образом снизить продолжительность контрольных опе­раций, то пропускная способность системы, конечно, повысится, однако далеко не до такой степени, как может показаться на первый взгляд. Допустим, что с оснащением контроля новым, более произ­водительным оборудованием s снизилось в 2 раза и соответственно в 2 раза увеличилась интенсивность потока обслуживания, т.е. μ = 1.6. Тогда при той же интенсивности потока заявок получим:

q = 1.6/(1.5 + 1.6) = 0.516, т.е. контролироваться будет около 52% всех изделий, а не 70%, как можно было бы ожидать.

Рассмотрим теперь многоканальные системы массового обслуживания.

Для повышения пропускной способности СМО надо увеличить число каналов обслуживания, т.е. число линий связи в телефонной системе, количество контролеров на производстве и т.д. Для потребителя это будет удобно, но общая эффективность системы при этом может сни­зиться, так как каждый новый канал требует дополнительных затрат на установку и обслуживание.

Граф двухканальной системы массового обслуживания с отказами будет иметь вид, показанный на рис. 16.

Рис. 16. Граф двухканальной системы массового обслуживания

Состояние S₁ — это состояние, когда в СМО имеется одна заявка и один канал занят, а второй свободен. Из состояния S₀ в состояние S₁ систему переводит поток заявок с интенсивностью λ. Как только при­ходит первая заявка, один канал становится занятым, тот же поток переводит СМО из первого состояния во второе, когда заняты оба канала и следующим заявкам будет даваться отказ.

Если в системе занят один канал, то этот канал производит μ об­служивании в единицу времени. Теперь пусть система находится в со­стоянии S₂, т.е. в ней работают два канала. В состояние S₁ система будет переходить, если обслуживание закончил либо первый, либо второй канал. Таким образом, суммарная интенсивность потока обслужива­ния будет равна 2.

Для состояния S₀ баланс воздействий будет, λ р₀= μ p₁ откуда получим:

Баланс воздействий будет равен:

С учетом того, что λ р₀= μ p₁ получим: или иначе

.

Так как сумма всех вероятностей по-прежнему должна равняться единице, получаем:

Откуда следует:

Произведя по полученным формулам соответствующие расчеты из предыдущего примера, получим q = 62%. Таким образом, производи­тельность двух контролеров больше, чем одного, работающего в 2 раза быстрее.

Граф трехканальной системы массового обслуживания с отказами имеет вид, как на рис. 17.

Рис. 17. Граф трехканальной СМО с отказами

Повторяя рассуждения, аналогичные предыдущим, можно получить:

Проделав расчеты с данными для предыдущего примера, в случае трехканальной системы получим q = 81%. Для многоканальных СМО вводится еще один параметр — среднее число занятых каналов

Для системы контроля с тремя контролерами получим k_ср = 1.52. Таким образом, работы не хватает для загрузки даже двух контроле­ров, но все три не обеспечивают 100%-ную проверку всей выпускае­мой продукции. Причина такого положения заключается в случайном характере поступления изделий на контроль.

Можно проверить, что получится, если увеличить число контроле­ров. Хотя, наверное, уже очевидно, что подобный подход явно нельзя назвать эффективным.

На рис. 18 изображен граф n-канальной системы массового обслу­живания с отказами.

Рис. 18. Потоки в многоканальной системе массового обслуживания

Такой же процедурой, которая применялась для 2- и 3-канальных СМО, можно получить:

Вероятность отказа равна р_п, а относительная пропускная способность: q =1- Р_n.

В производственной системе с четырьмя контролерами и при тех же интенсивностях потоков, которые указаны в этом примере, получим q = 92%, а среднее число занятых каналов k — 1.75.

Теперь должно быть ясно, что 100% - ной проверки всей продукции таким путем не добиться. Следовательно, необходимо изменить систе­му обслуживания и перейти к СМО с ожиданием.

Системы массового обслуживания СМО с ожиданием

Рассмотрим СМО с одним каналом, на вход которого требования поступают с интенсивностью λ. Заявка, поступившая в момент, когда канал занят, не покидает систему, а становится в очередь и ожидает. Граф состояний такой системы показан на рис. 19.

Рис. 19. Граф системы массового обслуживания с ожиданием

Состояние S₀ соответствует свободному каналу; S₁ означает, что канал занят, но очереди нет; S₂ - канал занят и одна заявка стоит в очереди; S₃ - в очереди две заявки и т.д. В состоянии S_k например, канал занят и (k - 1) заявок ожидают обслуживания. По стрелкам слева направо систему из одного состояния в другое переводит поток заявок с интенсивностью λ, а по стрелкам справа налево переводит поток обслуживании, имеющий интенсивность μ. Всякий раз при переходе из одного состояния в другое очередь изменяется на единицу.

Для получения вероятности начального состояния можно использо­вать уравнение λ р₀ = μ p₁, откуда p₁ = (λ/μ) р₀. Величину λ/μ называют интенсивностью нагрузки СМО. в дальнейшем будем обозначать ее ρ. Для устойчивой работы СМО с ожиданием необходимо, чтобы средняя интенсивность потока обслуживания была больше интенсивности пото­ка заявок, т.е μ > λ и, следовательно, ρ < 1. Если же λ > μ, то система не справится с обслуживанием и очередь будет расти до бесконечности.

Используя введенные обозначения, вероятность состояния S₁ мож­но записать в виде: р₁ = ρ р₀. Чтобы получить вероятности р₂ и р₃ можно использовать полученные ранее выражения: p = ρ² р₀ , р₃ = ρ³ p₀. Анало­гично можно получить выражение для произвольного члена: р_k = ρ^k р₀.

Для определения р₀ напишем выражение для суммы вероятностей:

Величина 1 + ρ + ρ² + ... + ρ^k представляет собой сумму членов геометрической прогрессии, она равна 1/(1 - ρ). Поэтому р₀ = 1- ρ, откуда получаем р_к = ρ^k (1 - ρ).

Используя это выражение, можно определить характеристики сис­темы массового обслуживания с ожиданием, существенные для ее функционирования: среднюю длину очереди, среднее число заявок в системе, среднее время пребывания в системе и вероятность образо­вания очереди.

С вероятностью р₂ в очереди стоит одна заявка, с вероятностью р₃ — две заявки и с вероятностью р_k в очереди находится (k — 1) заявок.

Следовательно,

Сумма геометрической прогрессии 1 + 2ρ + 3ρ ² + ... равна 1/(1 - ρ)², поэтому

Среднее число заявок, находящихся в системе обслуживания, со­стоит из среднего числа находящихся в очереди и среднего числа нахо­дящихся на обслуживании, включая интервалы, когда очереди не было. Эта величина ей принимает значение 0, если канал свободен. Вероят­ность такого состояния равна р₀ = 1 - ρ. Если канал занят, значит заявки обслуживаются, и ω принимает значение 1. Вероятность этого равна 1 - р₀= ρ . Следовательно,

С

Вероятность образования очереди равна вероятности того, что в системе будет более одного требования, т.е.

Рассмотрим такую же систему контроля продукции, которая была в СМО с отказами, но теперь установим такой порядок, при котором контролер проверяет всю продукцию. Если контролер будет занят, блоки ожидают, пока он освободится. Интенсивность нагрузки в первом случае будет:

При указанных условиях данный режим контроля невозможен, поскольку будет непрерывно возрастать. Во втором случае, т.е после мо­дернизации контрольного оборудования:

В системе будут проверяться все 100% изделий, поэтому прежние параметры (относительная и абсолютная пропускная способность) теперь теряют смысл. Интерес представляет средняя длина очереди, т.е. среднее число изделий, ожидающих, пока контролер освободится и возьмет их на проверку. Для ее определения используем формулу для L_ср = 0.8789/(1 - 0.9375) = 14.06. Среднее число изделий, находящихся в системе, рассчитывается по формуле для ω_ср = =0.9375/0.0625 = 15. Среднее округленное время ожидания в системе контроля определяет­ся по формуле для Т_ож:

Время ожидания находится в допустимых пределах, и систему техни­ческого контроля с ожиданием можно считать вполне приемлемым вари­антом системы технического контроля, обеспечивающей 100%-ную про­верку всех блоков. Вероятность образования очереди при заданных выше интенсивностях потока изделий и производительности контроля р_k= 0,88.

Задача № 2

Фирма организует у себя телефонную связь. Аналитически извест­ны интенсивность потока заявок λ. и интенсивность потока обслужива­нии μ. Необходимо обосновать оптимальное количество каналов обслу­живания. Очевидно, что чем больше количество каналов, тем вероят­ность обслуживания (вероятность связи) выше, но при этом может снизиться эффективность работы станции из-за простоев в этих кана­лах и лишних затрат на обслуживание.

Решение

Данную задачу можно описать n-канальной системой с отказами. Граф состояний такой системы показан на рис. 20.

Рис. 20.

Состояния системы:

S_o — все каналы свободны;

S₁ , — занят один канал, остальные свободны;

S₂ — заняты два канала, остальные свободны;