Файл: Математический анализ.pdf

где L — длина кривой AB.
В силу произвольности ε можно утверждать, что сумма σ
1
(f, (T, N )) имеет пре- дел K
1
(при λ(T ) → 0). Тем самым одновременно доказано существование интегра- ла (10.1.4) и равенство (10.1.7).
2
Замечание 10.1.1. В формуле (10.1.7) всегда a 6 b независимо от выбора на- правления на кривой от A к B или от B к A.
Замечание 10.1.2. В случае кусочно-гладкой кривой γ криволинейный интеграл по этой кривой естественно определить как сумму криволинейных интегралов по всем гладким кускам, составляющим кривую γ. Таким образом, равенство (10.1.7)
оказывается справедливым и для кусочно-гладкой кривой γ. Это равенство справед- ливо и в случае, когда функция f (x, y) кусочно-непрерывна вдоль кривой γ.
Замечание 10.1.3. Совершенно аналогично результаты и формулы справедли- вы и для криволинейного интеграла, взятого по пространственной кривой γ = AB,
определяемой параметрическими уравнениями



x = ϕ(t),
y = ψ(t),
z = χ(t),
a 6 t 6 b.
Замечание 10.1.4. Легко показать, что криволинейный интеграл первого рода обладает теми же свойствами, что и обычные определенные интегралы. Перечис- лим эти свойства, ограничившись лишь написанием формул.
a) Свойство линейности
Z
AB
(αf (x, y) + βg(x, y)) dl = α
Z
AB
f (x, y) dl + β
Z
AB
g(x, y) dl.
b) Свойство аддитивности
Z
AB
f (x, y) dl =
Z
AC
f (x, y) dl +
Z
CB
f (x, y) dl,
где C — точка на кривой AB.
c) Оценка модуля интеграла
Z
AB
f (x, y) dl
6
Z
AB
|f(x, y)| dl,
d) Теорема о среднем. Если функция f (x, y) непрерывна вдоль кривой AB, то на этой кривой найдется точка M
∗
такая, что
Z
AB
f (x, y) dl = L · f(M
∗
).
Пример 10.1.1. Вычислить массу эллипса γ, определяемого уравнениями

x = a cos t,
y = b sin t,
0 6 t 6 2π,
при условии, что a > b > 0 и что линейная плотность распределения массы равна
ρ(x, y) = |y|.
Решение. Необходимо вычислить криволинейный интеграл первого рода
Z
L
|y| dl.
– 332 –

Используем для этого формулу (10.1.7).
Z
L
= b
2π
R
0
| sin t|
√
a
2
sin
2
t + b
2
cos
2
t dt =
= b
π
Z
0
sin t p
a
2
sin
2
t + b
2
cos
2
t dt − b
2π
Z
π
sin t p
a
2
sin
2
t + b
2
cos
2
t dt =
= −b
π
Z
0
p a
2
− (a
2
− b
2
) cos
2
t d(cos t) + b
2π
Z
π
p a
2
− (a
2
− b
2
) cos
2
t d(cos t) =
= −b
√
a
2
− b
2
π
Z
0
s a
2
a
2
− b
2
− cos
2
t d(cos t)+
+ b
√
a
2
− b
2 2π
Z
π
s a
2
a
2
− b
2
− cos
2
t d(cos t) = 2b

b +
arcsin e e

,
где e =
√
a
2
− b
2
a
Для отыскания неопределенного интеграла использовалась формула
Z √
a
2
− x
2
dx =
x
2
√
a
2
− x
2
+
a
2 2
arcsin x
a
+ C,
a > 0.
10.1.4. Определение и физический смысл криволинейного интеграла второго рода. Пусть на плоскости Oxy задана простая спрямляемая кривая γ и пусть вдоль нее снова задана непрерывная функция f(x, y), т.е. дословно повторим условия п. 10.1.1. Далее также построим разбиение кривой γ c отмеченными точками
(T, N ), а вот на следующем шаге введем новые величины
∆x k
= x k
− x k−1
,
k = 1, 2, . . . , n,
(10.1.10)
где x k
= ϕ(t k
). Таким образом величина ∆x k
совпадает с проекцией дуги M
k−1
M
k на ось Ox и может принимать отрицательные, положительные и нулевые значения в зависимости от положения дуги M
k−1
M
k на плоскости.
Составим теперь интегральную сумму σ
x
(f, (T, N )) криволинейного интеграла второго рода от f (x, y)dx по кривой γ.
σ
x
(f, (T, N )) =
n
X
k=1
f (ξ
k
, η
k
)∆x k
(10.1.11)
Определение 10.1.3. Выражение J
x называется пределом интегральной сум- мы σ
x
(f, (T, N )) при условии, что диаметр разбиения λ(T ) = max
16k6n
∆l k
стремится к 0, если для любого ε > 0 найдется δ > 0 такое, что |σ
x
(f, (T, N )) − J
x
| < ε, как только λ(T ) < δ.
В этом случае пишут
J
x
=
lim
λ(T )→+0
σ
x
(f, (T, N )).
(10.1.12)
Определение 10.1.4. Если существует предел суммы σ
x
(f, (T, N )) при условии,
что λ(P ) → +0, то этот предел называется криволинейным интегралом второго
– 333 –

рода от f (x, y)dx по кривой γ и обозначается символом
Z
L
f (x, y) dx или
Z
AB
f (x, y) dx.
(10.1.13)
Совершенно аналогично вводится криволинейный интеграл второго рода от f (x, y)dy по кривой γ . Для этого достаточно вычислить величины
∆y k
= y k
− y k−1
,
k = 1, 2, . . . , n,
где y k
= ψ(t k
), записать интегральную сумму
σ
y
(f, (T, N )) =
n
X
k=1
f (ξ
k
, η
k
)∆y k
(10.1.14)
и через предельный переход типа (10.1.12) получить интеграл
Z
AB
f (x, y) dy
(10.1.15)
Большое число математических и прикладных задач приводят, к так называемо- му, общему криволинейному интегралу второго рода.
Пусть вдоль кривой AB определены две функции P (x, y), Q(x, y) и существуют интегралы
Z
AB
P (x, y) dx,
Z
AB
Q(x, y) dy.
Их сумму
Z
AB
P (x, y) dx+
Z
AB
Q(x, y) dy и называют общим криволинейным интегралом второго рода и обозначают
Z
AB
P (x, y) dx + Q(x, y) dy.
(10.1.16)
Сопоставим теперь определение криволинейного интеграла второго рода (10.1.13)
или (10.1.15) с определением криволинейного интеграла первого рода. При очевидном сходстве оба определения имеют существенное различие: в случае интеграла первого рода при составлении интегральной суммы (10.1.2) значение функции f(ξ
k
, η
k
) умно- жается на длину ∆l k
участка кривой M
k−1
M
k
, а в случае интеграла второго рода это значение f(ξ
k
, η
k
) умножается на проекцию ∆x k
(или ∆y k
) того же участка M
k−1
M
k на ось Ox (или на Oy).
Поясним физический смысл криволинейного интеграла второго рода (10.1.16).
Пусть материальная точка движется из точки A в точку B вдоль кривой γ под действием силы −
→
F (x, y), имеющей компоненты P (x, y) и Q(x, y), т.е.
−
→
F (x, y) = (P (x, y), Q(x, y)).
Для вычисления работы по такому перемещению естественно воспользоваться фор- мулой для случая, когда сила −
→
F (x, y) = (P
0
, Q
0
) постоянна, а путь — направленный
– 334 –

отрезок AB, т.е. вектор −→
AB = (a, b). Тогда, как известно, работа вычисляется по формуле
(
−
→
F ,
−→
AB) = P
0
a + Q
0
b.
(10.1.17)
Пусть теперь вектор силы −
→
F — переменный, а движение материальной точки осу- ществляется вдоль кривой γ = AB. Разобьем кривую γ на малые участки и, считая,
что на каждом участке сила меняется мало, а движение практически прямолинейное,
положим работу на каждом участке k, k = 1, 2, . . . , n, приближенно равной величине
P (ξ
k
, η
k
) · ∆x k
+ Q(ξ
k
, η
k
) · ∆y k
(тем самым воспользуемся формулой (10.1.17)).
Полная работа по перемещению вдоль всей кривой γ будет приближенно равна сумме n
X
k=1
[P (ξ
k
, η
k
)∆x k
+ Q(ξ
k
, η
k
)∆y k
] ,
(10.1.18)
т.е. сумме величины σ
x
(формула (10.1.11) для функции P (x, y)) и величины σ
y
(фор- мула (10.1.14) для функции Q(x, y)). Точное значение этой работы естественно опре- делить как предел выражения (10.1.18) при стремлении к нулю длины наибольшего участка ∆l k
Таким образом, общий криволинейный интеграл второго рода (10.1.16) дает ра- боту по премещению материальной точки из A в B вдоль кривой γ под действием силы, имеющей компоненты P (x, y) и Q(x, y).
10.1.5. Специфическое свойство криволинейного интеграла второго ро- да. При изменении направления интегрирования криволинейный интеграл второго рода изменяет свой знак на противоположный, т.е., например, для общего криволи- нейного интеграла второго рода справедливо равенство
Z
AB
P (x, y) dx + Q(x, y) dy = −
Z
BA
P (x, y) dx + Q(x, y) dy.
Действительно, при составлении интегральных сумм (10.1.11) и (10.1.14) проек- ция дуги M
k−1
M
k на ту или другую из осей существенно зависит от направления дуги и меняет знак с изменением этого направления на обратное. Изменение же знака интегральной суммы влечет за собой изменение знака интеграла. Физический смысл общего криволиненйного интеграла второго рода хорошо иллюстрирует это положение.
10.1.6. Существование криволинейного интеграла второго рода и его вычисление.
Теорема 10.1.2. Если кривая γ = AB является гладкой и если функции P (x, y)
и Q(x, y) непрерывны вдоль этой кривой, то криволинейные интегралы второго рода
Z
AB
P (x, y) dx и
Z
AB
Q(x, y) dy существуют и выполняются равенства
Z
AB
P (x, y) dx =
b
Z
a
P (ϕ(t), ψ(t))ϕ
′
(t) dt,
(10.1.19)
– 335 –

Z
AB
Q(x, y) dy =
b
Z
a
Q(ϕ(t), ψ(t))ψ
′
(t) dt
(10.1.20)
Доказательство теоремы 10.1.2 проводится почти дословно так же, как доказа- тельство теоремы 10.1.1. Для вычисления величин ∆x k
и ∆y k
, k = 1, 2, . . . , n, исполь- зуются формулы
∆x k
= x k
− x k−1
= ϕ(t k
) − ϕ(t k−1
) =
t k
Z
t k−1
ϕ
′
(t) dt,
∆y k
= y k
− y k−1
= ψ(t k
) − ψ(t k−1
) =
t k
Z
t k−1
ψ
′
(t) dt.
Рекомендуется продолжить доказательство этой теоремы самостоятельно.
2
Замечание 10.1.5. В формулах (10.1.19) и (10.1.20) значение параметра t = a соответствует начальной точке кривой AB, т.е. точке A (направление от A к
B). При смене направления (от точки B к точке A) пределы интегрирования a и b поменяются местами.
Сопоставляя сформулированное замечание с замечанием 10.1.1, находим, что они есть следствие принципиальных различий в определении криволинейных интегралов двух типов.
Замечания 10.1.2, 10.1.3, 10.1.4 можно повторить здесь практически дословно.
Сделать это можно самостоятельно.
Замечание 10.1.6. Для замкнутой кривой γ (т.е. в случае, когда точка B сов- падает с точкой A) из двух возможных направлений обхода назовем положитель- ным то направление обхода, при котором область, лежащая внутри контура γ,
остается по левую сторону по отношению к точке, совершающей обход. Такое на- правление движения условно можно назвать "движением против часовой стрел- ки".
На рис. 10.1.3 положительное направление обхода изображено стрелками.
Будем считать, что в интеграле (10.1.16) по замкнутому контуру γ этот контур всегда обходится в положительном направлении. Противоположное направление об- хода будет специально оговариваться.
Знак интегрирования
Z
часто в случае замкнутого контура заменяют на знак
I
Приведем без доказательства формулу, связывающую криволинейные интегралы двух родов.
Теорема 10.1.3. Пусть AB есть гладкая кривая, а P (x, y) и Q(x, y) — непре- рывные функции, заданные вдоль кривой AB. Тогда
Z
AB
P (x, y) dx + Q(x, y) dy =
Z
AB
(P (x, y) cos α + Q(x, y) sin α) dl,
где α — угол, составленный с осью Ox касательной к кривой AB, направленной в сторону возрастанию дуг.
– 336 –

Рис 10.1.3. Положительное направление обхода замкнутого контура γ
Пример 10.1.2. Вычислить криволинейный интеграл второго рода
J =
Z
L
(x
2
− 2xy) dx + (y
2
− 2xy) dy,
где γ — парабола y = x
2
при −1 6 x 6 1.
Решение. Указанную параболу запишем в параметрическом виде

x = t,
y = t
2
,
−1 6 t 6 1.
Далее с помощью формул (10.1.19) и (10.1.20) получим, что
J =
1
Z
−1
(t
2
− 2t
3
) dt +
1
Z
−1
(t
4
− 2t
3
)2t dt =
=

t
3 3
−
t
4 2
+
t
6 3
−
4t
5 5

1
−1
= −
14 15
Заметим, что переход к параметрической форме кривой γ вовсе не обязателен. При явном задании кривой γ (как в рассматриваемом примере) роль параметра может играть x.
10.2. Формула Грина
Получим важную формулу, играющую большую роль в различных приложениях,
например, теории поля. Эта формула представляет собой обобщение, в определенном смысле, на двумерный случай формулы Ньютона-Лейбница для одномерных инте- гралов. Она связывает двойной и криволинейный интегралы и имеет следующий вид
ZZ
G

∂Q(x, y)
∂x
−
∂P (x, y)
∂y

dx dy =
Z
∂G
P (x, y) dx + Q(x, y) dy,
(10.2.1)
где G —область из R
2
, а ∂G — ее граница (замкнутый контур, пробегаемый в поло- жительном направлении, рис. 10.2.1).
– 337 –

Рис 10.2.1. Область G и ее положительно ориентированная граница
Для доказательства формулы (10.2.1) нужно сформулировать определенные усло- вия для функций P (x, y), Q(x, y),
∂P (x, y)
∂y
,
∂Q(x, y)
∂x
, для вида области G и вида ее границы ∂G.
Запишем необходимые определения.
10.2.1. Элементарные области. Непрерывность частных производных.
Определение 10.2.1. Ограниченная область G на плоскости (x, y) называется элементарной относительно оси Oy, если существуют две такие непрерывные на некотором отрезке [a, b] функции ϕ(x) и ψ(x), что
G = {(x, y) : a < x < b, ϕ(x) < y < ψ(x)}
(рис. 10.2.2, область G затемнена).
Рис 10.2.2. Элементарная относительно оси Oy область G
Аналогично определяется плоская область G, элементарная относительно оси Ox
(рис. 10.2.3).
Определение 10.2.2. Область, элементарная относительно обеих координат- ных осей, называется элементарной (рис. 10.2.4).
– 338 –

Рис 10.2.3. Элементарная относительно оси Ox область G
Очевидно, что граница элементарной области G является простым замкнутым контуром — ∂G. Очевидна также квадрируемость области G.
При доказательстве формулы Грина используется непрерывность частных про- изводных
∂P
∂y и
∂Q
∂x в замыкании G области G. Но при введении этого понятия воз- никают определенные трудности. Дело в том, что частные производные в некоторых граничных точках области G могут не определяться в принципе, т.е. в этих точках не имеет смысла говорить о той или иной частной производной. Рассмотрим пример.
Рис 10.2.4. Элементарная область G
Пусть область G — это круг радиуса 1, G = {(x, y) : x
2
+ y
2
< 1} и функция
Q(x, y) задана в замкнутом круге. Ясно, что в точке (0, 1) ∈ G невозможно вычис- лить частную производную
∂Q
∂x
, т.к. в этой точке не определено приращение функции
Q(x, y) по переменной x (значение Q(0 + ∆x, 1) не существует как бы ни была мала величина ∆x, см. рис. 10.2.5).
Введем понятие непрерывности частных производных вплоть до границы области следующим образом.
– 339 –

Рис 10.2.5. Функция Q(x, y) не определена в точке (∆x, 1)
Определение 10.2.3. Будем говорить, что частная производная
∂f
∂x
, опреде- ленная внутри области G, непрерывна на замыкании G, если функция
∂f
∂x непре- рывно продолжаема с области G на ее границу, т.е. существует непрерывная на G
функция, совпадающая на области G с частной производной
∂f
∂x
Приступим теперь к формулировке и доказательству основного результата для простейшего типа областей.
10.2.2. Формула Грина для элементарной области G.
Теорема 10.2.1. Если область G — элементарная, а функции P (x, y) и Q(x, y)
непрерывны вместе со своими частными производными
∂P
∂y и
∂Q
∂x на замыкании G
области G, то справедлива формула Грина (10.2.1).
Доказательство. Достаточно убедиться в справедливости равенств
ZZ
G
∂Q
∂x dx dy =
I
∂G
Q(x, y) dy,
−
ZZ
G
∂P
∂y dx dy =
I
∂G
P (x, y) dx.
(10.2.2)
Так как указанные равенства доказываются однотипно, то проведем доказатель- ство второго из них.
Рассмотрим двойной интеграл
ZZ
G
∂P
∂y dx dy.
(10.2.3)
Он существует и для него выполняются все условия, при которых действует формула повторного интегрирования (теорема Фубини). По этой формуле (см. рис. 10.2.4)
– 340 –

имеем
ZZ
G
∂P
∂y dx dy =
b
Z
a dx
ψ(x)
Z
ϕ(x)
∂P
∂y dy =
b
Z
a
[P (x, ψ(x)) − P (x, ϕ(x))] dx =
=
b
Z
a
P (x, ψ(x)) dx −
b
Z
a
P (x, ϕ(x)) dx.
Первый из этих двух интегралов представляет собой при указанном на рис. 10.2.4
направлении обхода границы криволинейный интеграл
−
Z
CB
P (x, y) dx,
а второй интеграл — криволинейный интеграл
Z
AD
P (x, y) dx.
Отсюда
ZZ
G
∂P
∂y dx dy = −
Z
CB
P (x, y) dx −
Z
AD
P (x, y) dx.
Вычтем из правой части полученного равенства интегралы
Z
BA
P (x, y) dx и
Z
DC
P (x, y) dx,
очевидно равные нулю, т.к. отрезки BA и DC перпендикулярны к оси Ox (см. п.
10.1.1). Тогда окончательно получим
ZZ
G
∂P
∂y dx dy = −
Z
CB
P (x, y) dx −
Z
AD
P (x, y) dx−
−
Z
BA
P (x, y) dx −
Z
DC
P (x, y) dx = −
I
∂G
P (x, y) dx и формула Грина (10.2.1) для элементарной области G доказана.
2 10.2.3. Формула Грина для областей общего вида.
Теорема 10.2.2. Пусть область G — ограниченная плоская область, которую можно разбить на конечное множество элементарных областей G
i
, i = 1, 2, . . . , m,
а функции P (x, y), Q(x, y) непрерывны вместе с частными производными
∂P
∂y и
∂Q
∂x на замыкании G области G. Тогда имеет место формула Грина (10.2.1).
Доказательство. Формула Грина справедлива для каждой области G
i i =
1, 2, . . . , m,
ZZ
G
i

∂Q
∂x
−
∂P
∂y

dx dy =
I
∂G
i
P (x, y) dx + Q(x, y) dy.
– 341 –

Просуммируем записанные равенства m
X
i=1
ZZ
G
i

∂Q
∂x
−
∂P
∂y

dx dy =
m
X
i=1
I
∂G
i
P (x, y) dx + Q(x, y) dy.
Слева, используя свойство аддитивности двойного интеграла, получим интеграл по области G
ZZ
G

∂Q
∂x
−
∂P
∂e

dx dy.
При сложении же правых частей останется только криволинейный интеграл по гра- нице ∂G
I
∂G
P (x, y) dx + Q(x, y) dy,
т.к. все другие части границ ∂G
i
, i = 1, 2, . . . , m, встретятся в сумме дважды и с противоположными ориентациями, в силу чего сумма интегралов по ним равна нулю
(рис. 10.2.6,
Z
AB
+
Z
BA
= 0).
Таким образом формула Грина (10.2.1) доказана.
2
Рис 10.2.6. Противоположные ориентации на отрезке AB границ ∂G
1
и ∂G
2
Пусть теперь G — ограниченная область в плоскости и пусть ее граница ∂G со- стоит из конечного числа простых контуров (Γ — внешний контур, γ
i
, i = 1, 2, . . . , p,
— внутренние контуры). На рис. 10.2.7 изображена (затемнена) область указанного вида при p = 2. Такие области называются многосвязными или более конкретно двух- связными, трехсвязными и т.д. в зависимости от количества контуров, составляющих границу . Положительная ориентация границы ∂G задается таким направлением об- хода каждого контура, при котором область G остается слева (см. рис. 10.2.7).
Теорема 10.2.3. В условиях теоремы 10.2.2 для области G, граница которой состоит из конечного числа простых замкнутых контуров справедлива формула
Грина
ZZ
G

∂Q
∂x
−
∂P
∂y

dx dy =
Z
∂G
P (x, y) dx + Q(x, y) dy,
– 342 –