Файл: Образовательное учреждение высшего образования уфимский университет науки и технологий.docx

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«УФИМСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ НАУКИ И ТЕХНОЛОГИЙ»
ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

КАФЕДРА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И КОМПЬЮТЕРНОЙ МАТЕМАТИКИ


Курсовая работа
Алгоритм построения параметрических рациональных сплайнов для описания произвольных

замкнутых кривых.
Направление (01.04.02)- Прикладная математика и информатика

Выполнил: студент 2-го курса

ФМиИТ факультета

очной формы обучения

группа ММ

Киньябаев Фанус Радикович

Научный руководитель:

д-р физ.-мат. наук., проф.

Болотнов Анатолий Миронович
УФА – 2023

СОДЕРЖАНИЕ

Содержание 2

Введение 3

1. 
   Сплайны первой степени, кубические и рациональные сплайны 6
   
   1. 
      Определение сплайна 6
      
   2. 
      Сплайн первой степени 9
      
   3. 
      Определение кубических сплайнов 10
      
   4. 
      Алгоритм построения интерполяционных кубических сплайнов 11
      
   5. 
      Определение рациональных сплайнов 13
      

1.6 Алгоритм построения интерполяционного рационального сплайна 14

1.7. Периодический случай 17

2. 
   Параметрические сплайны 21
   
   1. 
      Интерполяция кривых локальными сплайнами 22
      
   2. 
      Интерполяционный параметрический кубический сплайн 23
      
   3. 
      Интерполяционный параметрический рациональный сплайн 24
      
   4. 
      Метод прогонки 25
      

Список использованных источников и литературы 32

ВВЕДЕНИЕ

В вычислительной практике при работе с геометрическими объектами, кривыми и поверхностями, зачастую возникает необходимость иметь их описание, выраженное в универсальных категориях математических моделей. Стандартные способы анализа, доступные в рамках аналитической геометрии, в большей степени применимы в отношении простых объектов: прямых, кривых, плоскостей, поверхностей

---

второго порядка, а также ряда других. При исследовании поверхностей сложной формы, на первый план выдвигается задача построения гладких приближений высокой точности. В отношении таких объектов, частным случаем которых могут быть обводы движителей, корпуса воздушных и плавающих машин и лопасти энергетических установок, классические методы аналитической геометрии могут быть недостаточно эффективны. На данный момент оптимальные результаты в решении подобных задач показывают подходы, основывающиеся на сплайнах [14, 30].

Применение сплайнов или гладких кусочно-полиномиальных функций – достаточно удобный подход к решению некоторых задач вычислительной математики, полезный как в теоретических разработках, так и в комплексных вычислительных приложениях. Например, данные функции от двух переменных активно используются в случае необходимости описания поверхностей в цифровых системах моделирования.

Задействование сплайнов способствует решению комплексных задач в прикладной математике, которые вызывают затруднения при использовании других способов. Одной из ключевых проблем для исследований в различных областях техники, естественных науках, картографии и архитектуре, является задача представления и хранения информации о геометрических объектах.

В ситуациях со средним и выше среднего уровнях сложности, подобные задачи зачастую решаются графическим представлением сущностей или процессов на плоскости в виде чертежей и графиков. Подобный подход к решению поставленных задач не гарантирует соблюдение

---

требований к уровню

точности. Применение сплайнов, обладающих самостоятельностью и способных служить базой для построения тел с большей сложностью, позволяет с высокой степенью точности определить вид некоторой функции по известным значениям.

Использование гладких кусочно-полиномиальных функций в данных целях (как одной, так и многих переменных) позволяет хранить информацию о геометрических объектах в числовой форме с любой точностью. Кроме того, использование сплайнов эффективно в случае компьютерной обработки информации. Тут на руку играет единая методическая и методологическая база, которая позволяет создавать математическое обеспечение средств машинной графики (графопостроители и дисплеи). Моделирование сложных объектов (таких как лопасти турбин, Рисунок 1.) сопровождается проведением вычислений, которые имеют зависимости с параметром на сетке с крупным шагом. В этой связи возникает необходимость последующей интерполяции, что, как правило, происходит с применением гладких кусочно-полиномиальных функций. Дополнительно, значимым аспектом применения сплайн-функций в задачах аппроксимации является «… возможность регуляризации задачи с помощью свойства самого сплайна».



Лопасть гидротурбины Рисунок 1

Математические модели, подобные представленной, являются значимыми составляющими комплексного производственного процесса и применяются, в частности, на этапе технологической подготовки. Согласно тезисам научной конференции,

---

посвящённой 80-летию со дня рождения Ю. С. Завьялова,

«Ключевым звеном подобных систем явились методы математического описания кривых и поверхностей сложной геометрической формы. Достаточно быстро стало ясно, что для кривых и поверхностей сложной формы теоретически разработанные способы представления многочленами и рациональными функциями не подходят, можно было работать только с кусочными многочленными функциями — сплайнами». Математические модели крайне необходимы для работы аппаратного комплекса на современном производстве, начиная со станков с числовым программным управлением и заканчивая современными промышленными роботами.

Заявленная тема, в настоящее время, представляет значительный исследовательский интерес, поскольку в вычислительной практике при работе с геометрическими объектами, кривыми и поверхностями, существует постоянная необходимость иметь их математическое описание. Вместе с тем, сплайны позволяют строить гладкие приближения с высокой точностью для кривых и поверхностей геометрических фигур, в числе которых узлы и детали машин и агрегатов авиационной, энергетической и других отраслей. Стандартные методы сплайн-аппроксимации не дают удовлетворительного решения этой задачи, из-за чего требуется постоянное совершенствование существующих в этой области методов и подходов.

Ключевая идея исследования состоит в построении алгоритмов с автоматическим выбором этих параметров. На основании данной концепции была определена цель выпускной квалификационной работы, которая состоит в разработке алгоритмов и программ

---

для расчёта интерполяционного параметрического сплайна. Объектом исследования является изучение пространств сплайнов и нахождение наиболее оптимального сплайна.

1.   1   2   3   4

---