Файл: Образовательное учреждение высшего образования уфимский университет науки и технологий.docx

Сплайн представляет собой функцию, область определения которой разбита на конечное количество отрезков, на любом из которых сплайн схож с неким алгебраическим полиномом. Наибольшая степень из выбранных полиномов называется степенью сплайна. Гладкость сплайна – максимальный порядок непрерывной производной. Разница между степенью сплайна и получившейся гладкостью называется дефектом сплайна. Так, постоянная ломаная – это сплайн степени 1 и дефекта 1.

Пусть на участке отрезка [а, b] дано разбиение :

.

В данном случае для целочисленного через

обозначим множество функций, раз непрерывно дифференцируемых на

, а через

— множество кусочно-непрерывных функций с точками разрыва первого рода [14].

Как следует из работы Бахвалова Н.С. Численные методы, «Широкое

распространение сплайнов во многом вызвано тем, что они являются в определённом смысле наиболее гладкими функциями среди функций, принимающих заданные значения. Сплайны степени выше первой в случае гладкой хорошо

приближают не только саму функцию, но и её производные».

Согласно работе «Интерполирование функций и численное интегрирование: задания и методические рекомендации по вычислительному практикуму» группы авторов под руководством П.И. Монастырного, «функция

определяется как кусочно-непрерывная степени дефекта ( — целое число, ) с узлами на сетке , если:

а) на каждом отрезке

функция

является многочленом степени , т. е.

для

; (1.1.1)
б)

» [25].
Определение кусочно-непрерывной функции остаётся целесообразным на всей вещественной оси, при условии, что

На каждом отрезке

для сплайна, кроме формулы (1.1.1), можно представить в виде

В этой связи на полуоси

используется только формула (1.1.2), а на полуоси

используется формула (1.1.1).

Из этого следует, что сплайн

«обладает качеством непрерывности производных до порядка . Кусочно-непрерывные функции с производными порядка более , в большинстве случаев, терпят разрывы в точках

. Для ясности будем полагать, что функция

,

, непрерывна справа, т. е.

».

Множество сплайнов, соответствующих определению, обозначим через

Разумно предположить, что данному множеству принадлежат и сплайны степени дефекта и сплайны степени дефекта , если

, а так же многочлены степени не выше .

«Использование обычных операций сложения элементов из

и их умножения на действительные числа не выходят за пределы множества, то оно является линейным множеством или линейным пространством» [14].

Несложным примером сплайна считается единичная функция Хевисайда:

Также с ней связана и усечённая степенная функция:

Функции и являются «сплайнами

соответственно нулевой степени и степени n дефекта 1 с единственным узлом в нулевой точке» (рисунок 1.1).

Мы будем рассматривать также усечённые степенные функции