Файл: Образовательное учреждение высшего образования уфимский университет науки и технологий.docx

I:




Графики интерполяционных сплайнов.

Рисунок 1.3 Сплайн составлялся с параметрами:

2. 1   2   3   4

---

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ СПЛАЙНЫ

Удобным способом приближения кривых является параметрическое задание их координат в виде двух функций некоторого параметра .

При интерполяции кривой, заданной параметрически, естественно ввести

разбиение на промежутке изменения параметра : , следующим шагом требуется вычислить соответствующие значения координат точек на кривой, и построить для функций интерполяционные сплайны . Совокупность этих двух сплайнов называют интерполяционным параметрическим сплайном. В зависимости от вида функций будем говорить о параметрических сплайнах первой степени, эрмитовых параметрических сплайнах.

Для расчёта погрешности приближения кривой параметрическим сплайном воспользуемся величиной

(2.1)

При выполнении определённых требований к гладкости функций можно оценить выражения

---

, по какой-либо норме, например, пространства С. Тогда

(2.2)

Главной особенностью задач о приближении кривых является то, что заданы бывают только упорядоченные массивы точек на них, а информация о способе параметризации, которая необходима для построения сплайнов, отсутствует. Построение интерполяционных параметрических сплайнов для пространственных кривых можно осуществить и аналогичным образом. Разница лишь в том, что приходится оперировать с совокупностью трёх сплайнов одной переменной [14].

1. 
   Интерполяция кривых локальными сплайнами
   

Предположим, что на некоторой кривой L задана последовательность точек (рисунок 2.1). Введём на ней естественную параметризацию , взяв в качестве параметра длину дуги s кривой, которая отсчитывается от точки . Узлу будет соответствовать значение параметра .

Рисунок 2.1

Рассмотрим интерполяционный параметрический сплайн первой степени.

На промежутке между точками и он задается соотношениями
, (2.1.1)
, где

---

.

Геометрически параметрический сплайн первой степени представляет собой ломаную, которая состоит из отрезков прямых, соединяющих точки .

Из формулы (2.1.1) следует, что




которое используют для приближенного нахождения наклона касательной к кривой L между точками и . Если , то отсюда следует, что данное звено сплайна будет расположено параллельно оси .

2. 
   Интерполяционный параметрический кубический сплайн
   

Интерполяционным параметрическим кубическим сплайном именуется совокупность двух кубических сплайнов , класса , интерполирующих соответственно координаты точек , кривой на сетке : [14]. Для того, чтобы однозначно определить каждый из этих сплайнов, зададим краевые условия. Если кривая незамкнутая, то применим условие типа IV, а если замкнутая – соответственно используем краевое условие типа III.

В качестве параметра будем использовать суммарную длину хорд .

Запишем сплайн в виде




где , = .

Выпишем систему

---

для нахождения величины для периодических сплайнов
где , ,




Аналогичные формулы имеют место и для сплайна .

Погрешность интерполяции параметрическим кубическим сплайном определим формулой

,

где положим
.
Сравнение сплайнов и интерполируемых функций делается при

одинаковых значениях параметра . Получим оценки погрешности интерполяции.

Наряду со сплайном используем и сплайн , построенный с использованием параметризации по длине дуги:




здесь вычисляются из системы



где , ,

3. 
   Интерполяционный параметрический рациональный сплайн
   

Среди всех сплайнов, используемых при аппроксимации кривых, наиболее универсальными свойствами обладают параметрические рациональные сплайны.

---