Файл: Образовательное учреждение высшего образования уфимский университет науки и технологий.docx

(1.3.1)

Сплайн «на каждом из отрезков [ ] определяется с помощью четырёх коэффициентов, и поэтому для его построения на всём промежутке необходимо определять 4N коэффициентов». Условие эквивалентно требованию непрерывности сплайна и его

производных во всех внутренних узлах , , сетки , отсюда получим равенств. Следовательно, вместе с равенствами (1.3.1) получим соотношений. Также есть два дополнительных условия, которые задаются в виде ограничений на значения сплайна и его производных на концах промежутка (или вблизи концов) и называются краевыми условиями (граничными) [25].

Имеется несколько видов разных краевых условий, но наиболее часто используются следующие типы:

I. = ; = ;
II.

---

= ; = ;
III. ;
IV. .

Условия третьего типа называют периодическими.

Пусть в узлах сетки ∆: a = заданы значения некоторой функции и ее производной .

Кубическим интерполяционным сплайном дефекта 2 (эрмитовым кубическим сплайном) будем называть функцию которая удовлетворяет условиям:

1. 
   на каждом из промежутков [ ]:
   

2. ;
3. .

4. 
   Алгоритм построения интерполяционных кубических сплайнов
   

Рассмотрим один из вариантов алгоритма построения сплайнов Введём новое обозначение (1.4.1)

Разумеется, сплайн можно рассмотреть как

---

эрмитов кубический сплайн, который удовлетворяет условиям (1.3.1), (1.4.1). Для любого положим:

, (1.4.2)
где, как правило, .

Кубический сплайн, который представлен в таком виде на каждом из промежутков , непрерывен вместе со своей первой производной везде на отрезке .

Использование формулы построения интерполяционного кубического сплайна




(1.4.3)

сводится к вычислению неизвестных величин .

Для граничных условий типов I и II они вычисляются из системы



где

Здесь для выполнения условий типа I используем



а для условий типа II




Для условий типа IV имеем следующие уравнения:
,

,

где

---

, , а также система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

,
, ,
,
где
Рассмотрим граничные условия типа III. Если – периодическая функция, то, продолжая периодическим образом сетку и в соответствии с этим полагая

можем записать условие непрерывности второй производной, имеющее вид
,

где для точки .
Система для нахождения будет выглядеть так:




, ,

⁺

Так, построение интерполяционного кубического сплайна по формуле (1.4.2) сводится к вычислению вершин .

Матрицы систем во всех 4 случаях – это матрицы с диагональным преобладанием. Эти матрицы невырожденные, и поэтому системы имеют единственное решение.

Интерполяционный кубический сплайн

---

, который удовлетворяет условиям 1.3.1 и одному из типов краевых условий I – IV, существует и единственен. Решение систем уравнений относительно находится методом прогонки.

5. 
   Определение рациональных сплайнов
   

Рациональные сплайны по сравнению с кубическими дают возможность полнее учесть специфику интерполируемой функции. К примеру, с их помощью можно приблизить функции с большими градиентами либо точками излома, сохранив при этом свойства выпуклости и вогнутости, то есть убрать осцилляции.

Пусть на отрезке задана сетка .

Введём определение. Рациональным сплайном называется «функция , которая:

1) на каждом промежутке имеет вид [14]
, (1.5.1)

где – заданные числа,

;
2) .
Предположим, что в узлах сетки заданы значения .

Рациональный сплайн называется интерполяционным, если
. (1.5.2)
Чтобы построить интерполяционный рациональный

---