Файл: Матан(3блок).doc

Решение:

В круге единичного радиуса, тогда

- частное решение, удовлетв ур-ю Пуассона.

Искомое решение будет иметь вид:

- оно записано в полярных координатах. Где является решением уравнения Лапласа:

Рассмотрим в полярных координатах:

Подставляем в и получим

Так как по условию r=1, то

По принципу максимума ,

тогда =

и решение задачи имеет вид

24. Решить задачу Дирихле для единичного круга, если на его границе задана функция:

А) , Б).

Решение:

А) ***теория***Рассмотри уравнение Лапласа в полярных координатахили то же самоес граничными условиями. Решение этого уравнения имеем в виде

---

. Подставив вего в уравнение Лапласа в полярных координатх, получи: ю Разделим переменные

Перенесем лямда и приведем к общему знаменателю, тогда решение можно будет искать отдельно по двум уравнениям

1) и его решение есть

2) , его решение ищем в виде, что дает

, тогда

.

Итак, решение задачи Дирихле имеет вид:

***

Для нашей задачи , то есть

Следовательно решение примет вид

Б) .

Аналогично с первым решаем второе

****;****

---

25. Решить задачу Коши

Решение: преобразуем это уравнение к каноническому виду:

Уравнение характеристик

Распадается на 2 уравнения

интегралами которых являются прямые

Вводя новые переменные

Уравнение колебаний струны преобразуем к виду

Где - функция только переменного. Интегрируя (2) попри фиксированном, получим

26. Решить первую краевую задачу для уравнения теплопроводности:

Решение:

Решение будем искать в виде

(4), где Х(х)- функция только первого х, T(t)- функция только t.

Подставляя (4) в (1) и производя деление обеих частей равенства на XT, получим

, где , так как левая часть равенства зависит только отt , а правая- только от х.

Отсюда следует, что

Граничные условия (3) дают

Таким образом для определения функции мы получи задачу о собственных значениях (задача Штурма-Ляувиля)

---

Только для значений параметра , равныхсуществуют нетривиальные решения уравнения (5), равные

Этим значениям соответствуют решения уравнения (6)

где - неопределенные пока коэффициенты.

Таким образом функции является частными уравнениями (1), удовлетворяющими нулевым граничным условием.

Требуя выполнения начальных условий, получаем

То есть С_п являются коэффициентами Фурье функции при разложении её в ряд по синусам на интервале (0,1)

Таким образом искомое решение

27 разложить в ряд Лорана ф-ию 1/((z-2)(z-3)) в кольце 2<|z|3

Решение

Особые точки являются полюсами z=2, z=3

Разложим на простые дроби

28.Найти изолированные особые точки аналитической функции и выяснить их характер:

А) , Б), В).

---

Решение:

А)

Особые точки

Очевидно, все точки изолированные и являются полюсами, так как

Б)

Запишем разложение в окрестностях особых точек.

Разложим дробь на элемент дроби

z=0: Первая дробь представляет собой слагаемое требуемого вида

- это разложение содержит только главную часть, состоящую из одного числа; это разложение имеет место в области . Для второй дроби точкаz=0 не является особой, то получаем ряд Тейлора в круге :

. Таким образом разложение содержит конечное число отриц степенейz (т=1) следовательно точка z=0- полюс первого порядка.

Аналогично

z=1:

- это разложение справедливо во всей плоскости с выколотой точкой , то есть в области. От первого слагаемого получим

Таким образом

Как видим разложение содержит конечное число отриц степеней (1-z), следовательно точка z=1- полюс функции f(z), так как т=1, то полюс простой.

В)

Особая точка z=0

Разложение f(z) в ряд Лорана по степеням z :

---