Файл: Матан(блок2).doc

Процесс распространения температуры в стержне может быть описан функцией u(x,t) представляющей температуру в сечении x в момент времени t. Уравнение кот удовлетворяет ф-ия u(x,t) имеет вид: уравнение теплопроводности, где плотность теплового потока равная количеству тепла, протекшего в единицу времени через площадь в 1 , с – удельная теплоемкость, - плотность, F(x,t) – плотность тепловых источников в точке x в момент t. В частности если стержень однородный то ур-ие теплопроводности , если источники отсутствуют т.е. F(x,t)=0 то ур-ие теплопроводности имеет вид .

Принцип максимума. Если ф-ия u(x,t) определенная и непрерывная в замкнутой области и удовлетворяет уравнению теплопроводности (1) в точках области , то максимальное и минимальное значения ф-ии достигаются или в начальный момент или в точках границы x=0, или x=l.

Физический смысл этой теоремы: если температура на границе и в начальный момент не превосходит некоторого значения М, то при отсутствии источников внутри тела не может создаваться температура больше М.

Первая краевая задача состоит в отыскании решения ур-ия теплопроводности при , , удовлетворяющего условиям , , где , заданные функции.

Задача Коши о распределении температуры на бесконечной прямой: найти решение уравнения теплопроводности в области и удовлетворяющее условию , (), заданная ф-ия.

Теорема (единственности задачи Коши): Если и - непрерывные ограниченные во всей области изменения переменных ф-ии, удовлетворяющие ур-ию теплопроводности ( , t>0) (2) и условию () то (, ).

Теорема (единственности 1-й краевой задачи): Если две функции и определенные и непрерывные в области удовлетворяют уравнению теплопроводности (для , ), одинаковым начальным и граничным условиям, то

Б.2 в.18 Постановка внешних и внутренних краевых задач для уравнения Лапласа. Условие разрешимости внутренней задачи Неймана.

Простейшим уравнением эллиптического типа является уравнение Лапласа: . Функция называется гармонической в конечной области D, если она в этой области имеет непрерывные производные до второго порядка и удовлетворяет уравнению Лапласа во всех точках D. Функция называется гармонической в бесконечной области D, если она в этой области имеет непрерывные производные до второго порядка, удовлетворяет уравнению Лапласа во всех точках D и равномерно стремится к нулю при стремлении точки в бесконечность (ф-ия при , если для заданного число А>0 такое что при , где r – расстояние точки М от начала координат).

Пусть S – замкнутая поверхность. Обозначим через конечную область, ограниченную этой поверхностью; через - бесконечную область внешнюю к также ограниченную поверхностью S. Пусть на поверхности S заданы непрерывные функции.

Внутренняя задача Дирихле. Найти ф-ию гармоническую в области непрерывную в замкнутой области и принимающую на поверхности S заданные значения (1)

Внешняя задача Дирихле состоит в определении функции гармонической в , непрерывной в и удовлетворяющей условию (1).

Внутренняя задача Неймана. Найти ф-ию гармоническую в области такую чтобы ее производная по направлению внешней нормали в каждой точке поверхности S равнялась значению в этой точке заданной ф-ии (2).

Внешняя задача Неймана состоит в определении гармонической в ф-ии нормальная производная которой на поверхности S удовлетворяет условию (2).

Третья краевая задача. Найти ф-ию гармоническую в области непрерывную в и такую что в каждой точке поверхности S равно значению в этой точке заданной функции , где - заданная непрерывная ф-ия на поверхности S . Аналогично формируется 3-я внешняя краевая задача.

Уравнение Лапласа в сферических координатах: .

Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах: .

Решение внутренней задачи Неймана в D ,

существует лишь при условии . Это условие необходимо и достаточно и определено с точностью до произвольного постоянного слагаемого.

Б.2 в.19 Функция Грина. Функция Грина для внутренней задачи Дирихле.

Пусть - конечная область трехмерного пространства, ограниченная кусочно – гладкой ориентируемой поверхностью и пусть функции имеют внутри непрерывные и ограниченные производные первого порядка. Тогда имеет место формула Остроградского: (1), где n – внешняя нормаль к поверхности .