Файл: Матан(блок2).doc

Представляя многочлен в виде (2), получим: , , …, . Т.о. мы получили, что построенный формальный многочлен и его производные в точке совпадают со значениями ф-ии и её производными. Если -есть многочлен степени , то . Если же не есть многочлен или является многочленом степени выше , то подобное рав-во не имеет смысла. В этом случае многочлен лишь приближённо представляет ф-ию в точке . Разность . Тогда очевидно будет погрешностью допускаемой при замене на . Т.о. (3). Это тоже ф-ла Тейлора. Слагаемое обычно наз. Либо дополнительным, либо остаточным членом. Дополнительным к ф-ле (2) и остаточным к до .

Б.2 в. 5 Ряд Лорана. Классификация изолированных особых точек. Вычеты.

Рассмотрим ряд вида (1) где фиксированная точка комплексной плоскости, некот комплексное число, а суммирование ряда ведется как по полож так и по отриц значениям индекса n. Ряд (1) носит название ряда Лорана.

Теорема: ф-ия аналитическая в круговом кольце однозначно представляется в этом кольце сходящимся рядом Лорана.

Если диф-ма во всех точках некот области G а ее производная непрерывна в этой области то ф-ия наз аналитической в области G.

Точка наз изолированной особой точкой ф-ии если однозначная и аналитичная в круговом кольце а точка является особой точкой ф-ии .

Пусть ф-ия задана в области G, ограниченном контуром Г. Точка наз-ся правильной точкой ф-ии если существует сходящийся степенной ряд , кот в общей части области G и своего круга сходимости сходится к ф-ии , . Точки не являющиеся правильными точками ф-ии наз-ся особыми точками.

В основу квалификации изолированных особых точек однозн ф-ии положен способ ее разложения в окрестности таких точек.

1 тип. Разложение (1) не содержит отриц степеней . В этом случае точка a наз-ся устранимой особой точкой ф-ии т.е. ряд (1) обращается в обыкновенный степенной ряд и следовательно сходится всюду в окрестности точки a, включая точку a. Сумма этого ряда будет представлять собой ф-ию голоморфную в окрестности точки a. Данная ф-ия совпадает с суммой ряда если . Поэтому мы сделаем голоморфной в точке a, если положим . Таким образом особая точка этого типа исчезает, если мы надлежащим образом определим нашу ф-ию в этой точке. Сл, если точка a устранимая особая точка то т.е. в малой окрестности устранимой точки ф-ия ограничена.

2 тип. Разложение (1) содержит конечное число отриц степеней . В этом случае точка a наз-ся полюсом ф-ии . Если обозначить через m наиб из отриц степеней, входящих в разложение (1) то получим . Если m=1 то полюс наз простым, при m>1 полюс наз кратным, а m наз порядком полюса. В окрестности полюса ф-ия не ограничена.

3 тип. Разложение (1) содержит бесконечное множество отрицательных степеней . В этом случае точка a наз существенно особой точкой ф-ии .

Теорема (Сохотского): какую бы малую окрестность существенно особой точки мы ни взяли, ф-ия в ней не ограничена и принимает значения как угодно мало отличающиеся любого наперед заданного числа.

Мероморфной ф-ей называют всякую однозначную ф-ию, не имеющую в конечной части плоскости других особых точек кроме полюсов.

Ф-ия голоморфна если ее можно разложить в ряд Тейлора по степеням .

Вычет в конечной точке. Пусть аналит в кольце . Тогда точка a явл для ф-ии изолированной особой точкой а ф-ия представима в кольце сходящимся рядом Лорана . Вычетом ф-ии в точке a наз коэффициент ряда Лорана для в окрестности точки а. Обозначается где

Вычет в полюсе . Если а простой вычет то ряд Лорана в окрестности точки а имеет след вид:

. В частности где - голоморфные в точке а, причем

. Если a кратный полюс то .

Вычет бесконечно удаленной точки. Пусть голоморфна в области следовательно точка является изолированной особой точкой а ф-ия представима в этой области сходящимся рядом Лорана . Вычетом ф-ии в точке называется число где коэффициент ряда Лорана при

для ф-ии в окрестности бесконечно удаленной точки, т.е. т.е. ;

Теорема (основная теорема вычетов): пусть ф-ия голоморфна в каждой точке

Кроме конечного числа особых точек . Обозначим произвольный кусочно-гладкий замкнутый контур, содержащий внутри себя точки и целиком лежащий в области (D). При этих условиях равен сумме вычетов ф-ии относительно точек

№6. Опр1 Отображение g метрич-го простр-ва (X,ρ) наз-ся сжимающим,

если сущ-ет такое число 0<α<1,что ρ(g(x),g(y))≤ αρ(x,y).

Теорема1(принцип сжимающих отображений)

Всякое сжимающее отобр-е полного метрич-го простр-ва (X,ρ)в это же простр-во имеет и при том только одну неподв-ую точку хХ,т.е.такую точку хХ,что g(x)=x.