Файл: Матан(блок2).doc

Док-во По теор1и при том только одна точка хХ. g₁(x)=x.Применим к обеим частям рав-ва отобр g,воспольз тем,что отобр-ия коммут-т,получим g(g₁(x))= g(x),где у=g(x).Учитывая,что отобр-е g₁ сжимающее и неподвижная точка у этого отображения одна,получим,что х=у=g(x),следовательно и у отобр-я g сущ-ет неподвижная точка,а именно найденная выше точка х=g(x).

Пример Рассмотрим задачу Коши. Треб-ся найти такую дифф-ую фун-ю y(t),кот-я удовл-ла бы уравнению y′=f(t,y) и при t=t₀ имела заданное значениe y(t₀)=y₀,где y₀ некоторое число. При этом надо док-ть,что при опред-ых условиях такое решение y(t)одно.

Док-во Предпол-м,что фун-ия f(t,y) непрерывна на множ-ве a≤t≤b, -<y< и удовл-ет условию Липшица по у: (<K где K=сonst.Пусть t₀-внутр.точка

Реш-е зад. Коши эквив. реш. инт. ур-я Т.о.задано отобр.

фун-ии множ-ва {y} по правилу Введем в рассмотр простр-во С[a,b],тогда отобр-е g определено на этом пр-ве и отбр-ет его в себя,а задача о нах-ии реш-я интнгр-го yр-я свод-ся к нах-ию неподв-ой точки отобр-я g,т.е. нах-ю такой фун-ии у/ g(у)=у.Для того,чтобы такая точка и была единств-й достат-но,чтобы отобр-е g было сжимающ-м.Поскольку из условия Липшица следует,что ,то Здесь ρ-метрика в С[a,b],следоват отобр-е сжимающее,если [a,b] достаточно мал, K(a-b)=θ<1.При этих усл-ях получаем теор сущ-ия и единств-ти реш-я задачи Коши на [a,b] сод-т точку t₀.

№7. Пусть X, Y мн-ва произв-й природы.DX

Опр.1 Если каждому эл-ту xD ставится определ.эл-т у из Y, то гов-т, что задан оператор y=F(x),при этом мн-во D наз. обл. опред-я оператора F и обозн.D(F).Мн-во R=R(F)=наз. обл. знач-й оператора F

Схематич. действие операт. F м. изобр. образом:Xчто кратко зап-т так:F:XY.Если y=F(x), xD(F),у R(F),то гов-т, что у явл-ся образом эл-та х,а х прообразом эл-та у.

Опр2 Два оператора F:XY и Ф:XY наз-ся равными,если совп-т их области определ-я D(F)= D(Ф)иF(x)=Ф(х).

Опр3 Опер-р y=F(x) наз-ся взаимооднозн,если каждому образу у R(F) соотв-ет единственный прообраз х=F^-1(y).

Если F взаимноодн-но,то ф-ла х=F^-1(y), у R(F) опред-т опер-р F^-1:YX,кот наз обратным к F.Область опред-я D(F^-1)= R(F),а R(F^-1)= D(F).

Пусть X, Y нормир-ые простр-ва. Пусть дан опер-р F:XYтакой,что его область опр D(F)S(x₀) точки х₀,за искл-м самой этой точки.

Опр4 Эл-т у₀У наз-ся пределом опер-ра F в точке х₀,если можно ук-ть δ_ε>0/и из выполн-я нер-ва ||x-x₀||< δ_ε след-ет выполнимость нер-ва ||F(x)-y₀||<ε,y₀=

Опр5 Пусть дан опер. F:XY,опер.Fназ.непрер.в (.)x₀,если F(x) F(x₀),

x x₀

Опр6 Пусть F(x) оператор с обл опр-я D(F) и значений R(F),где D(F)X, R(F) Y и пусть X и Y норми-ые пр-ва.Опер-р F наз-т огранич-м,если он переводит всякое огранич-е множ-во из D(F) в огранич-е множ-во Y.

Опр7 Опер-р A:XY c D(A) наз-ся линейным,если:а) D(A)линейное многообразие;б)D(A) А(λ₁х₁+λ₂х₂)= λ₁А х₁+λ₂ А х₂, λ₁ ,λ₂-любые скаляры.

Опр8 Опер-р А наз-ся непрер в точке х₀ Х,если АхАх₀при x x₀.

Теорема Пусть линейн опер-р А задан всюду в банаховом пр-ве Х со значениями в банах-м пр-ве У и непрер в точке 0Х,тогда опер А непрер-н в любой точке x₀ Х.

Док-во Док-во след-т из рав-ва и следоват-но при x x₀

Ах-Ах₀.Т.о.теорема док-на.

Опр9 Линейн опер-р А явл-ся непрер,если он непрер-н в точке х=0.

Опр10 Линейн опер А с D(A)=Х и R(A)X ограничен,если он огр-н на единичном шаре,т.е. если огр-но мн-во норм {||Ax||,||x||≤1}.Отсюда следует,что если опер А огр,то с=const>0 х удовл нер-во ||x||≤1 ||Ax||≤c.

Теорема Опер А огр-н тогда и только тогда,когда спр-ва оценка ||Ax||≤c||x||, где хХ,с=const определ из нер ||x||≤1 ||Ax||≤c.

Док-во При х=0 нерво||Ax||≤c||x|| очевидно.

Пусть х≠0. Положим х′=.||x′||=1,поэтому из нер-ва ||Ax||≤c||x||что тогда По св-ву линейности ,поэтому .Т.о.

Теорема Пусть - огр мн-во,тогда {||Ax||,x≤М}-огр-но.

Теорема Пусть A:XY,А-лин-й опер-р, X,Y Банаховы пр-ва, D(A)=Х. Для того,чтобы опер-р был непр-н необх-мо и дост-но,чтобы он был огран-ым.

8 Теорем Рисса о представлении линейного функционала

Теорема

Пусть Н-гильбертово пространство (комплексное или вещественное) Для любого линейного ограниченного функционала f заданного всюду на Н существует единственный элемент такой что для всех

При этом ||f||=||y||

Доказательство

Рассмотрим L –множество всех элементов таких что

Если L=H то f=0 можно взять y=0 и теорема доказана

Пусть тогда найдется причем можно считать что <z_0,f>=1 Пусть теперь тогда x-<x,f>z_0 так как

Следовательно откуда

отсюда Итак можно принять

Покажем что ||f||=||y|| Действительно

По неравенству Коши-Буняковского Из определения нормы f имеем Но кроме того

Откуда Итак ||f||=||y||

Осталось доказать единственность y. Если то для любых Возьмем и получим ЧТД