Файл: Бахтадзе 3 курс.doc

Тем самым мы нашли управление

которое переводит систему из состояния в состояние.

Для произвольных иуправление, переводящее систему из состоянияв состояниеи минимизирующее функционал

,

(который иногда называют функционалом энергии), имеет вид:

в частности, при получаем:

-

уравнение минимальной энергии, переводящее систему из нуля в заданное состояние .

Аналогичные результаты имеют место и для дискретных систем.

Определение упавляемости для дискретных линейных систем

Дискретная система

(29)

называется управляемой, если для любого и некоторогонайдутся такие ограниченные управления, которые переводят систему в начало координат:.

Решением системы (см. лек.2) является:

.

Требование управляемости приобретает форму: для всякого вектора найдетсяи векторы, такие, что

. (30)

Отсюда вытекает критерий управляемости для дискретных систем.

Критерий управляемости для дискретных систем

Теорема.

Система (29) управляема тогда и только тогда, когда ранг матрицы равен.

Действительно, выбрав , перепишем уравнение (30) в виде, где обозначено, и. Это уравнение имеет решение при любомтогда и только тогда, когда ранг матрицыравен.

Заметим, что в отличие от непрерывных систем дискретное время не может выбираться призвольно: требуется определенное количество шагов, чтобы «накопить» ранг матрицы . Если рангбольше единицы, то систему можно привести в начало координат за число, меньшее. В частности, если матрицаневырождена, то мы достигаем цели за один шаг.

Подход с точки зрения программного управления допустим, когда нет внешних возмущений, матрицы известны и задан некий критерий оптимальности типа функционала энергии. Например, в линейно-квадратичной задаче оптимального управления можно найти оптимальное управление.

В более общих случаях – при наличии внешних возмущений, или неопределенности в описании системы – применение программного управления может привести к резкому ухудшению качества процесса и даже к катастрофе. Представим себе процесс управления самолетом, рассчитанный заранее, до начала полета и не предусматривающий использования поступающей информации о скорости ветра, высоте и других параметрах. Вряд ли такое управление допустимо. Это же относится к большинству ситуаций, связанных с управлением производственными процессами, транспортом, системами связи, финансовыми системами и т.п. В связи с этим будут рассмотрены иные подходы к выбору управления.

Синтез управления

Рассмотрим подход к проблеме управления, связанный с идеей обратной связи.

Управление при таком подходе не выбирается заранее, а корректируется в каждый текущий момент на основании информации о состоянии системы.

Выбор управления в виде функции от состояния и момента времени называется синтезом управления:

. (31)

Эта функция, в принципе, может быть нелинейной по . Существуют различные подходы, позволяющие решать задачу оптимального синтеза при некоторых конкретных постановках задачи оптимального управления. Однако после выбора управления в форме (31) уравнение состояния становится нелинейным и нестационарным. Ограничимся далее случаем линейной статической обратной связи по состоянию:

, (32)

где матрица усиленияне зависит от.

Оказывается, во многих задачах управления такого типа обеспечивают наилучшее значение критерия оптимальности в классе любых управлений, т.е. переход к нелинейным нестационарным обратным связям не улучшает критерия качества.

Подставим управление (32) в выражение для системы (9), тогда получим выражение для замкнутой системы:

,

Таким образом, после замыкания системы обратной связью вида (32), мы опять получаем уравнение состояния, но уже с измененной матрицей состояния . В дальнейшем покажем, что за счет выбора матрицы усиленияможно улучшить свойства системы, например, сделать матрицу устойчивой, тогда кактаковой не является.

Управления типа (32) называются линейными регуляторами. Большинство регуляторов, используемых на практике, является линейными. Они легко реализуются технически.

В то же время отметим, что возможности линейных регуляторов в некоторых отношениях ограничены. Так, линейный регулятор в системе без возмущений не может устранить начальное отклонение за конечное время, т.е. не может перевести систему из состоянияв начало координат за конечное время даже при выполнении условия управляемости. Действительно, из уравнения замкнутой системыи условияследует, что. Поэтому управление, которое выбиралось при доказательстве теоремы о критерии управляемости, не было стационарной обратной связью.

В дискретных линейных системах обратная связь имеет вид:

,

и уравнения замкнутой системы приобретают вид:

.

Таким образом, матрица состояний замкнутой дискретной системы пересчитывается по той же формуле, что и в непрерывном случае.

Наблюдаемость. Критерий наблюдаемости

Понятие наблюдаемости тесно связано с понятием управляемости. Управляемость означает, что, зная начальное состояние и матрицы, характеризующие рассматриваемую систему, можно найти вход, который переводит это состояние в нулевое конечное время. Наблюдаемость означает, что знания матриц, характеризующих систему, и реакции при нулевом входе Y[0,t] на конечном интервале достаточно для однозначного определения начального состояния данной системы.

Определение. Система, описываемая (1) и (2) называется наблюдаемой в том случае, когда, для некоторого Т>0 и всех возможных начальных состояний х(0), значения матриц А и С и реакции при нулевом входе Y[0,t] достаточно, чтобы определить начальное состояние x(0).

Теорема. Критерий наблюдаемости. Система, Y описываемая (1), (2), наблюдаема в том и лишь в том, случае, если на np столбцов матрицы Р=[С* ,А* С* ,..,А*^(n-1) С* ] натянуто пространство состояний ℇ . ( Матрицы А*, С*,. получаются транспонированием матриц А, С,. и заменой их элементов комплексно сопряженными.)