Файл: Бахтадзе 3 курс.doc

• Наличие хотя бы одного нулевого вектора

• Наличие хотя бы одной линейно зависимой подсистемы

• Хотя бы один вектор является линейной комбинацией остальных.

10. В противном случае векторы называются линейно независимыми.

11. Основные утверждения, определяющие линейно независимые системы векторов:

• Система из одного вектора независима, если вектор ненулевой

• Система из двух векторов независима, если они не коллинеарны (не лежат на параллельных прямых и их координаты не пропорциональны)

• Система из трех векторов независима, если они не компланарны (не лежат в параллельных плоскостях, определитель из их координат не равен нулю)

• Любая подсистема линейно независимых векторов линейно независима

• Если к системе линейно независимых векторов добавить еще один вектор и она в результате станет линейно зависимой, то этот дополнительный вектор можно представить как линейную комбинацию векторов исходной системы

12. Максимальное количество линейно независимых векторов из какого-то множества (пространства) называется размерностью векторного пространства.

13. Конечная упорядоченная совокупность любых линейно независимых векторов в-мерном пространстве называется егобазисом.

14. Любой вектор из данного пространства можно представить как линейную комбинацию векторов базиса:

.

Числа называются компонентами, иликоординатами вектора в выбранном базисе (в выбранной системе координат)

12. Если рассматривать не все векторное пространство, а некоторое подмножество (совокупность) векторов, то число векторов базиса называют рангом () системы векторов.

13. Два вектора иодинаковой размерностиназываютсяортогональными, если равно нулю их скалярное произведение:

12. Множество векторов называется ортогональным, если любая пара векторов из этого множества ортогональна.

13. Если матрица представляет собой форму записи линейного оператора, переводящего векторразмерностив другое линейной пространство:

, то существенно различаются случаи, когда эта матрица является квадратной и невырожденной (ее определитель отличен от нуля), вырожденной, и случай прямоугольной матрицы.

12. Если матрица квадратная и невырожденная, то преобразованиеявляетсяэквивалентным и существует обратное преобразование .

К эквивалентным преобразованиям, например, относится замена системы координат.

12. Если матрица - прямоугольная:

,

то каждый из столбцов этой матрицы можно рассматривать как векторнекоторого-мерного пространства, а каждую изстрок – как векториз другого --мерного пространства. Тогда для каждого из этих множеств можно использовать понятие ранга системы векторов, приведенное выше.

21. Можно доказать, что столбцовый ранг матрицы равен ее строчечному рангу и равен максимальному числу линейно независимых векторов.

22. Ранг матрицы не меняется при всех элементарных преобразованиях (умножение строки или столбца на число, перестановка строк или столбцов), а также при транспонировании матриц.

Вычисление ранга матрицы может быть осуществлено разными способами. Один из них основан на том, что с помощью элементарных преобразований можно сделать равными нулю все линейно зависимые строки (столбцы), а линейно независимые строки (столбцы) можно привести к ступенчатому виду. Тогда число ненулевых строк (столбцов), составляющих невырожденный блок матрицы, равно ее рангу.

Вернемся к определению управляемости линейной системы. Матрица

составлена из блоков, каждый из которых – матрица размерности, т.е. в целомпредставляет собой матрицу размерности. Например, если(система с одним входом),, то- матрица размерности, столбцы которой являются векторами.

Существует утверждение, что в этом случае пара управляема, если эти векторы линейно независимы.

Следующая теорема дает конструктивные необходимые и достаточные условия управляемости линейных систем.

Теорема. Система

где - начальное условие,

управляема тогда и только тогда, когда .

Доказательство. Необходимость. От противного: пусть . Тогда найдется вектор, такой, что.

По теореме Кэли-Гамильтона матрица удовлетворяет своему характеристическому уравнению: если, то

.

Отсюда следует

.

Умножая последнее равенство на ,, получим, чтои для всех

Но тогда .

С другой стороны, решение системы при программном управлении имеет вид

,

поэтому для имеем:

для любого управления . Ясно, что равенствоне может выполняться при произвольных, например, при.

Доказательство достаточности. Укажем конкретный вид управления, которое переводит систему из в. Например, выберем

где вектор должен выбираться из условияи,

т.е. .

Покажем, что в этом случае матрица

не вырождена. Она называется грамианом управляемости. Прежде всего,

для любого , т.е. эта матрица неотрицательно определена. Покажем, что она строго положительно определена.

Если предположить, что это не так, т.е. что для некоторого вектора, то отсюда последует тождестводля всех.

Тогда и все производные этой функции равны нулю.

, ,

т.е. приЭто означает, что противоречит условию. Таким образом,, поэтому уравнениеимеет решение

при любом .