Файл: Shpory_po_geometrii_4_semestr.doc

41 Принцип взаимности поляр.

Теорема 5.6.1. Если точка B принадлежит поляре точки A, то A принадлежит поляре точки B.

Пусть кривая  имеет уравнение (5.1.1), а точки A и B – координаты a_i и b_i . Пусть p(A) и p(B) – поляры точек A и B. Ур-ие p(A):(;\s\do10(i(а_ij a_i) x_j = 0 ; Ур-ие p(B): (;\s\do10(i(а_ij b_i) x_j = 0 ; B p(A)  (;\s\do10(iа_ij a_ib_j = 0  (;\s\do10(iа_ij b_ia_j = 0  A p(B) .

Из этой теоремы вытекает удобный способ построения поляры. Необходимо рассмотреть два случая:

1)из точки A можно провести 2 касат-ые к кривой ;

2) из A нельзя провести ни одной касат-ой к .

1. Пусть l₁ и l₂ – касательные к , проведенные из точки A, а P и Q – точки касания. Тогда l₁= p(P), l₂= p(Q). Значит, A p(P) и A p(Q)  P p(A) и Q p(A)  PQ = p(A).

Тот же рисунок показывает, как построить полюс прямой PQ, если она пересекает .

2. Проведем через точку A две произвольные прямые a и b. Построим полюсы этих прямых: K₁ и K₂. Тогда

A a = p(K₁)  K₁ p(A)

A b = p(K₂)  K₂ p(A)

И обратно, если дана прямая K₁K₂, мы можем построить ее полюс A.

Пример. Дано уравнение кривой : х₁² – х₂² + 2х₃² + 4х₁х₂ – 2х₂х₃ = 0 и точка B(0: 2: –1)  .

Уравнение поляры запишем в матричном виде: B^TAX = 0, или

1 2 0 х₁ х₁

0 2 –1 2 –1 –1 х_{2 = 0}; _{ 4 –1 –4} х_{2 = 0}; _

0 –1 2 х₃ х₃

4х₁ – х₂ – 4х₃ = 0

5.7. Полярное соответствие.

Поляра точки A(a_i ), относительно кривой , заданной уравнением (5.1.1), определяется уравнением (5.4.1), которое расписывается в виде (5.3.2 ). Это будет прямая, если не все из следующих чисел равны нулю:

u₁= а₁₁ а₁+ а₁₂ a₂+ а₁₃ a_3,

u₂= а₁₂ а₁₊ а₂₂ а₂₊ а₂₃ a_3, (5.7.1)

u₃= а₁₃ а₁₊ а₂₃ а₂₊ а₃₃ a₃

Теорема 5.7.1. Если

а₁₁ а₁₂ а₁₃

= а₁₂ а₂₂ а_{23  0} ,

а₁₃ а₂₃ а₃₃

то каждая точка A(a_i ) имеет, и притом только одну поляру относительно кривой .

Из алгебры известно, что система (5.7.1) при u₁= u₂= u₃= 0 и   0 имеет, и притом, только единственное решение a₁= a₂= a₃= 0. Но проективные координаты точки не могут быть такими. Значит, числа u₁, u₂, u₃ не могут быть все нулевыми, а значит, каждая точка A имеет определенную поляру.

Теорема 5.7.2. Если   0, то каждая прямая имеет, и притом, только один полюс относительно кривой .

Пусть прямая p имеет уравнение u₁x₁+ u₂x₂+ u₃x₃= 0 . Тогда при   0 система (5.7.1) имеет (и притом, только одно) решение a₁, a₂, a₃.

Следствие. Если для кривой  выполняется   0, то она порождает взаимнооднозначное соответствие между множеством всех точек и множеством всех прямых на проективной плоскости.

Это соответствие называется полярным соответствием. В частности, каждая овальная кривая (эллипс, гипербола, парабола) порождает полярное соответствие, т.к. для овальной кривой   0.

42 Теоремы Паскаля

Опр. 5.8.1. Шестивершинником называется фигура на расширенной плоскости, которую образуют упорядоченная шестерка точек M₁, M₂, M₃, M₄, M₅, M₆ и шесть прямых M₁M₂, M₂M₃, M₃M₄, M₄M₅, M₅M₆, M₆M₁. Точки называются вершинами, а прямые – сторонами шестивершинника. Стороны M₁M₂ и M₄M₅; M₂M₃ и M₅M₆; M₃M₄ и M₆M₁ называются противоположными.

Теор 5.8.1.(Паскаля)Три точки пересечения противоположных сторон любого шестивершинника, вписанного в овальную кривую, лежат на одной прямой.

Теорема5.8.2. (обратная). Если три точки пересечения противоположных сторон шестивершинника (у которого никакие три вершины не лежат на одной прямой) лежат на одной прямой, то данный шестивершинник вписан в овальную кривую второго порядка.

Следствие 1. Овальная кривая определяется пятью своими точками.

Действительно, если задать произвольно 5 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, то опираясь на теорему 5.8.2. можно (и притом, одной линейкой) построить шестую точку этой кривой (а, затем, седьмую, и.т.д.).

Пусть даны M₁, M₂, M₃, M₄, M₅. Находим точку P; затем через M₁ проводим произвольно прямую, которая пересечет M₃ M₄ в точке Q; затем проводим PQ, которая в пересечении с M₂M₃ даст точку R; и, наконец, M₅R  M₁Q = M₆ .

Замечание 1. Из 6 букв (и точек) можно составить P₆ = 720 перестановок. Различных же шестивершинников, составленных из данных шести точек, имеется только 60, т.к. каждый из них может считаться, начиная из любой своей вершины, причем, как в прямом, так и в обратном направлении.

Замечание 2. Теорема Паскаля имеет место и для предельных (частных) случаев: 5-ти, 4-х и 3-х вершинников. Если, например, M₁= M₂, то прямая M₁M₂ будет касательной к овальной кривой.

Опр. 5.8.2. Шестисторонником называется фигура, двойственная шестивершиннику.

Значит, это фигура, образованная шестеркой прямых m₁, m₂, m₃, m₄, m₅, m₆ и шестью точками N₁= m₁ m₂, N₂= m₂  m₃, N₃= m₃  m₄, N₄= m₄  m₅, N₅= m₅  m₆, N₆ = m₆  m₁. Прямые называются сторонами, а точки – вершинами. Вершины N₁ и N₄, N₂ и N₅, N₃ и N₆ наз. Противоположными

43 Теорема (Брианшона)

Опр. 5.8.1. Шестивершинником называется фигура на расширенной плоскости, которую образуют упорядоченная шестерка точек M₁, M₂, M₃, M₄, M₅, M₆ и шесть прямых M₁M₂, M₂M₃, M₃M₄, M₄M₅, M₅M₆, M₆M₁. Точки называются вершинами, а прямые – сторонами шестивершинника. Стороны M₁M₂ и M₄M₅; M₂M₃ и M₅M₆; M₃M₄ и M₆M₁ называются противоположными.

Теорема 5.8.1. (Брианшона) Если шестисторонник описан вокруг овальной кривой второго порядка, то три прямые, которые проходят через противоположные вершины, проходят через одну точку.

Имеет место и обратная теорема. Теорема Брианшона и обратная ей теорема вытекают из теоремы Паскаля и обратной к ней теоремы по принципу двойственности.

Следствие 2. Теорема Брианшона позволяет по пяти касательным к произвольной кривой второго порядка строить сколько угодно новых касательных к кривой. Ход построения аналогичен тому, который рассматривался в следствии 1.

Доказательство теорем Паскаля и Брианшона можно найти в [1]