Файл: Shpory_po_geometrii_4_semestr.doc

26. Однородные аффинные координаты на плоскости.

Как известно, аффинная системакоординат на обычной плоскости  определяется началом O и векторным базисом B = {e1;\s\up8(( , e2;\s\up8(( }. Аффинные координаты произвольной точки M совпадают с координатами ее радиус-вектора OM;\s\up10( –(, т.е. они равны коэффициентам разложения OM;\s\up10( –( = xe1;\s\up8(–( + ye2;\s\up8(–( .

Таким образом, каждая точка M имеет две координаты (x, y). На проективной плоскости этих координат не хватает (для несобственных точек).

Опр.2.2.1. Однородными аффинными координатами собственной точки M(x, y) называются числа x₁, x₂, x₃ такие, что x = x₁/x₃ , y = x₂ / x₃ , или, что то же самое, x₁: x₂ : x₃ = x : y : 1.

Очевидно, что такие координаты определяются с точностью до пропорциональности.

Рассмотрим несобственную точку M_ . Она определяется прямой l . Пусть ее уравнение в аффинной системе координат ax + by + c = 0 . Пусть M(x, y) – произвольная собственная точка прямой. Тогда y = – (ax + с) / b, т.е. M(x, – (ax + с) / b). Значит, однородные координаты точки M будут (x, – (ax + с) / b, 1) или (b, – a – с / x, b / x). Несобственную точку прямой l; ¯можно рассматривать, как предел собственной точки, когда она бесконечно удаляется по прямой. Поэтому однородные координаты M_ получаем, как предел

lim;\s\do8(x ( ((b, – a – с / x, b / x) = (b, – a , 0)  M_(b: – a: 0).

Для решения многих задач удобнее пользоваться другими координатами.

27. Проективные координаты на проективной плоскости.

Опр.2.3.1. Проективной системой координат (проективным репером) на проективной плоскости (; ¯ наз.произвольная упорядоченная четверка точек этой плоскости R = {A₁, A₂, A_3, E}, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Точки A₁, A₂, A₃ называются вершинами репера, а E – единичной точкой.

Выберем произвольную собственную точку O (; ¯ и будем откладывать от нее все векторы. Опр.2.3.2. Говорим, что вектор x;\s\up8(( порождает точку M(; ¯, если x;\s\up8(( лежит на прямой OM. Пишем ( x;\s\up8(–( ) = M.Очевидно, что R \{0} ( x;\s\up8(( ) = (x;\s\up8(( ).

Опр.2.3.3. Говорим, что базис B = {a1;\s\up8(( , a2;\s\up8(( , a3;\s\up8(( } в пространстве порождает репер R = {A₁, A₂, A₃, E}, если ( a1;\s\up8(( ) = A ₁ , ( a2;\s\up8(( ) = A₂ , ( a3;\s\up8(( ) = A₃, ( a1;\s\up8(( + a2;\s\up8(–( + a3;\s\up8(( ) =E . Пишем: (B ) = R .

Теорем2.3.1.Для любого репера R на плоскости (; ¯ сущ-ет единственный с точностью до гомотетии с центром O базис B, который порождает репер R .

Д-во аналогично доказательству теоремы 2.1.1.

Опр.2.3.4. Пусть базис B порождает репер R , а вектор x;\s\up8(( – точку M. Проективными координатами точки M(; ¯ в репере R называются координаты вектора x;\s\up8(–( относительно базиса B .

Очевидно, что проективные координаты определяются с точностью до пропорциональности. Поэтому их часто записывают так: M(x₁: x₂ : x₃). В частности, A₁(1, 0, 0), A₂(0,1, 0), A₃(0, 0, 1), E(1, 1, 1). Позже мы докажем, что проективные координаты точки на (; ¯ не зависят от выбора точки O.

28Связь между проективными координатами на плоск. И на прям.

Пусть R = {A₁, A₂, A₃, E} –произвольный проективный репер на плоскости (; ¯ . Спроецируем E из вершины A₁ на прямую A₂A₃; получим точку E₁. Проецируя E из A₂ на A₁A₃, получим E₂ , а проецируя E из A₃ на A₁A₂, получим E₃. На прямых A₂A₃, A₁A₃, A₁A₂ получились проективные реперы R ₁={A₂, A₃,E₁},

R ₂= {A₁, A₃, E₂}, R ₃= {A₁, A₂, E₃}.

Пусть M(; ¯ – произвольная точка.Аналогичным образом пол-ем точки M₁, M₂, M₃.

Теорема 2.4.1. M(x₁, x₂, x₃)_R  { M₁(x₂, x₃)_{R 1} & M₂(x₁, x₃)_{R 2} & & M₃(x₁, x₂)_{R 3}}.

Эта теорема позволяет:

1. находить проективные координаты точки на плоскости (; ¯ ;

2. строить точку по ее координатам, не выходя за пределы плоскости.

Для решения первой задачи

а) строим точки E₁, M₁, E₂, M₂;

б) находим координаты x₁, x₂ точки M₁ в репере R ₁={A₂, A₃, E₁};

в) находим координаты x₁ , x₃ точки M₂ в репере R ₂= {A₁, A₃, E₂};

г) координаты x₁ , x₃ заменяем пропорционально на x₁, x₃: (x₁: x₃ = x₁ : x₃ ).

д) M(x₁, x₂, x₃)_R .

Задача 2 решается аналогично.

Пример. В репере R = {A₁, A₂, A₃, E} построить точку M(3:2:1).

Построение.

1) Выбираем репер R = {A₁, A₂, A₃, E};

2) строим реперы R ₁={A₂, A₃, E₁} и R ₂= {A₁, A₃, E₂} (см. рисунок);

3) в репереR ₁ строим точкM₁(2:1); для этого

а) выбираем точку O₁ A₂A₃ и проводим прямые O₁A₂ , O₁A₃ , O₁E₁ ;

б)на прям.O₁E₁ откл-ем вектор e1;\s\up8(( от точки O₁;

в) раскладываем e1;\s\up8(( на составляющие, параллельные O₁A₂ и O₁A₃ :

e1;\s\up8(( = a2;\s\up8(( + a3;\s\up8(( и получаем базис {a2;\s\up8(( , a3;\s\up8(( };

г) в этом базисе строим вектор x;\s\up8(((2, 1) (т.е. x;\s\up8(( = 2a2;\s\up8(( + a3;\s\up8(( ), отложенный от точки O₁;

д) проводим прямую l₁ x;\s\up8(( через точку O₁; тогда M₁= l₁  A₂A₃ ;

4) в репере R ₂= {A₁, A₃, E₂} аналогично пункту 3) строим точку M₂(3:1);

5) M = A₁M₁  A₂M₂ – искомая точка.

29 Формулы замены проективных координат на плоскости.

Рассмотрим на плоскости (; ¯ два проективных репера R = {A₁, A₂, A₃, E} и R = {A₁ , A₂ , A₃ , E}. Пусть M(; ¯ – произвольная точка, и M(x₁, x₂, x₃)_R , M(x₁, x₂ , x₃ )_{R } . Будем писать коротко: M(x_i )_R , M(x_i )_{R } . Согласно определению 2.3.4., x_i – это координаты некоторого вектора x;\s\up8(( на прямой OM в некотором базисе B = {a1;\s\up8(( , a2;\s\up8(( , a3;\s\up8(( }, а x_i – это координаты некоторого вектора x(;\s\up8(( на той же прямой OM в другом базисе B  ={a1(;\s\up8(( , a2(;\s\up8(( , a3(;\s\up8(( }. Поскольку векторы x;\s\up8(( и x(;\s\up8(( должны быть коллинеарны, то x(;\s\up8(( = x;\s\up8(( и x(;\s\up8(( (x_i)_B .

Разложим векторы базиса B  по базису B : ai(;\s\up8(–( =(;\s\do10(k=1c_kiak;\s\up8(–( . Тогда матрица C = [c_ik], i, k = 1, 2, 3 называется матрицей перехода от базиса B к базису B  . Как известно, det C  0 и координаты x_i и x_i вектора x(;\s\up8(( в различных базисах связаны формулами: