Файл: Shpory_po_geometrii_4_semestr.doc

36 Формулы сложных отношений.

1. Пусть точки A, B, C, D лежат на одной прямой a; ¯ и имеют в репере R координаты A(a₁, a₂), B(b₁, b₂), C(c₁, c₂), D(d₁, d₂). Требуется найти (ABCD).

Найдем (ABCD) в частном случае, когда R = {A_1 , A₂, E}. Тогда a₁/a₂ = a, b₁/b₂ = b, c₁/c₂ = c, d₁/d₂ = d, где a, b, c, d – обычные координаты на прямой. Поэтому

c₁ c₂

a₁ a₂

Можно показать, что по этой формуле выч-ся (ABCD)и в произв-ом репере на a; ¯ .

Лемма. Координаты точки Ma; ¯ в двух реперах R = {A₁, A₂, E} и R = {A₁, A₂ , E} на a; ¯ связаны между собой формулами

(4.2.2)

x₂ = c₂₁x₁ + c₂₂ x₂ .

Эта лемма д-ся дословно так же, как и аналогичная теорема для плоскости.

Теор 4.2.1. Формула (4.2.1) имеет место в любом проективном репере.

Пусть точки A, B, C, D имеют в репере R = {A_1 , A₂, E} координаты A(a₁, a₂), B(b₁, b₂), C(c₁, c₂), D(d₁, d₂), а в репере R = {A₁, A₂ , E} – A(a₁, a₂ ), B(b₁ , b₂ ), C(c₁ , c₂ ), D(d ₁ , d ₂ ). Тогда (ABCD) вычисляется по формуле (4.2.1). Но, в соответствии с (4.2.2)

(4.2.3)

a₂ = c₂₁a₁ + c₂₂ a₂ .

Иэто же выполняется для координат других точек. Подст-я(4.2.3) в(4.2.1) получаем

· ·

(ABCD) = ––––––––––––––– : –––––––­­­––––––––– = ––––––– : ––––––– .

· ·

2. Пусть на плоскости (; ¯ даны: проективная система координат R = {A₁, A₂, A₃, E}, прямая a; ¯ и на ней 4 точки A(a₁, a₂, a₃), B(b₁, b₂, b₃), C(c₁, c₂, c₃), D(d₁, d₂, d₃). Требуется найти (ABCD). Для этого нам потребуется следующая теорема.

Теор 4.2.2. Сложное отношение сохраняется при центральном проецировании.

Пусть точки A, B, C, D прямой a; ¯ проецируются из центра S в точки A, B , C , D прямой a(;¯ . Пусть R = {A₁, A₂, E} – произвольный репер

на a; ¯, аA₁, A₂ , E – проекции точек A₁, A₂, E из S на a(;¯ . Тогда R = {A₁, A₂ , E} – репер на a(;¯ . Тогда согласно п^о 2.1 точки A, B , C , D имеют в репере R  такие же координаты, что и точки A, B, C, D в репере R . Из теоремы 4.2.1 вытекает, что (ABCD) = (AB C D).

Спроецируем A, B, C, D из центра A₃ на прямую A₁A₂. Проекции этих точек в репере R ₃ = {A₁, A₂, E₃} (E₃ – проекция точки E) будут иметь

координаты A; ̃(a₁, a₂), B; ̃(b₁, b₂) C; ̃(c₁, c₂), D; ̃(d₁, d₂). Значит,

(ABCD) = (A; ̃B; ̃C; ̃D; ̃) = –––––– : –––––­– .

Вместо a₁, a₂ можно брать a₂, a₃ или a₁, a₃ ; это касается и координат других точек.

Теорема 4.2.3. Сложное отношение сохраняется при любом проективном преобразовании плоскости.

Пусть f – проективное преобразование плоскости (; ¯, которое задается реперами R и R  . Пусть точки A, B, C, D на прямой a; ¯ имеют координаты в репере R : A(a_i ), B(b_i ), C(c_i ), D(d_i ), и пусть при преобразовании f они переходят в A, B , C , D. Тогда в репере R  : A(a_i ), B (b_i ), C (c_i ), D(d_i ). Значит, (ABCD) = (AB C D) .

3. Пусть в плоскости (; ¯ даны 4 точки A(a₁, a₂, a₃), B(b₁, b₂, b₃), C(c₁, c₂, c₃), D(d₁, d₂, d₃), лежащие на одной прямой. Тогда

c_i = ₁a_i + ₁b_i , d_i = ₂a_i + ₂b_i , i = 1, 2, 3,

и из формулы (4.2.1) вытекает

(ABCD) = : (4.2.4)

4. Теорема 4.2.4. Если A, B, C, D a; ¯ и точка D в репере R = {A, B, C} имеет координаты u₁ , u₂ , то (ABCD) = u₁/u₂ .

A(1, 0), B(0,1), C(1, 1), D(u₁, u₂)  ₁= ₁ =1, ₂= u₁, ₂= u₂ 

(ABCD) = u₁/u₂ .

Следствия. 1.  A, B, C a; ¯ R  D a; ¯ : (ABCD) =  .

2. Проективные координаты не зависят от выбора точки O (см. п^о 2.1).

37 Гармоническая четверка точек.

Опр. 4.3.1. Упорядоченная четверка точек A, B, C, D прямой называется гармонической, если (ABCD) = –1. При этом точка D называется четвертой гармонической к точкам A, B, C.

Свойства. 1.  A, B, C a; ¯  D a; ¯ : (ABCD) = –1.

2. (ABCD) = –1  (CDAB) = –1, (ABDC) = –1, (BACD) = –1.

3. Если C – середина отрезка AB, то четвертой гармоничной к ABC будет несобственная точка.

4. Для A, B, D_ четвертой гармонической является середина отрезка AB.

Доказательства опираются на определение 4.3.1 и свойства из п^о 4.1.

Опр.4.3.2. Полным четырехвершинником наз. фигура, которая состоит из четырех точек расширенной плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и шести прямых, которые про-ходят через все пары этих точек. Точки наз. вершинами, а прямые – сторонами четырехвершинника.

Стороны, которые не имеют общих вершин называются противоположными.

Точки A, B, C пересечения противоположных сторон называются диагональными точками, а прямые, которые проходят через пары этих точек называются диагоналями (AB, AC, BC).

Теорема4.3.1. На каждой диагонали есть гармоническая четверка точек, состоящая из двух диагональных точек и двух точек пересечения этой диагонали со сторонами, которые проходят через третью диагональную точку.

Д-ем, напр, что A, B, X, Y – гармоническая четверка (см. чертеж). Для этого спроецируем эти точки из точки N на прямую MP; получим M, P, C, Y. Затем спроецируем полученные точки из Q на прямую AB;получим B, A, X, Y.

Поскольку сложное отношение сохраняется при центральном проецировании, то (ABXY ) = (BAXY ) = (ABXY )² = 1(ABXY ) = 1.

Но (ABXY ) = 1  X = Y . Значит, (ABXY ) = –1 .