Файл: Shpory_po_geometrii_4_semestr.doc

Эта теорема позволяет строить четвертую гармоническую точку.

Пусть даны точки A, B, X ; требуется построить четвертую гармоническую к ним точкуY . Строим 1. две произвольные прямые 1, 2, проходящие через A ;

2.произвольную прям 3, проходящую через X ; 3.пересечение прямой 3 с прям-и 1,2 –точкиN, Q ; 4.прямые BQ и BN ; 5.точки M,P, прям MP ;6. MP  AB = Y

38 Определение и типы кривых второго порядка.

Опр. 5.1.1. Кривой второго порядка на проективной плоскости называется множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению

а₁₁х₁² + а₂₂ х₂² + a₃₃ х₃² + 2а₁₂ х₁х₂+ 2а₁₃ х₁х₃+ 2а₂₃ х₂х₃ = 0, (5.1.1)

где а₁₁, … , а₂₃ – действительные числа, не все из которых равны нулю.

Коротко это уравнение можно записать так:

(;\s\do10(j =1(;\s\do10(i =1а_ij х_i х_{j = 0 (}а_{ij =} а_{ji ) .} (5.1.1 )

_{Примеры (классы) кривых второго порядка:}

1. х₁² + х₂² – х₃² = 0; 2. х₁² – х₂² = 0; 3. х₁² + х₂² = 0;

4. х₁² = 0; 5. х₁² + х₂² + х₃² = 0 .

Первая кривая называется овальной кривой второго порядка (это эллипс, гипербола или парабола вместе с их несобственными точками). Вторая – пара прямых. Третья – пара мнимых прямых. Четвертая – двойная прямая. Пятая – мнимая кривая.

Можно доказать, что любая кривая второго порядка в соответствующей системе координат имеет одно из пяти уравнений, и, значит, является одной из пяти вышеупомянутых кривых.

Замечание. Уравнение (5.1.1) удобно записывать в матричном виде:

X^TAX = 0, A^T = A . (5.1.1 )

39 Пересечение кривой второго порядка с прямой.

Пусть кривая второго порядка  задана уравнением (5.1.1) и A(a_i ), B(b_i ) – две точки. Найдем пересечение прямой AB с кривой . Уравнение прямой AB (п^о2.7):

х_i = a_i + b_i . (5.2.1)

Подставим (5.2.1) в (5.1.1 ):

(;\s\do10(iа_ij (a_i + b_i)(a_j + b_j) _{= 0,}

²(;\s\do10(iа_ij a_ia_j + 2(;\s\do10(iа_ij a_ib_j + ²(;\s\do10(iа_ij b_ib_j = 0, (5.2.2)

Это уравнение вида ² + 2 + ² = 0. (_*)

Возможны следующие случаи.

1.  =  =  = 0; тогда  и  любые, AB .

2.  =  = 0,   0; тогда  = 0 или  = 0 ; это значит AB   = {A, B}.

3.   0 или   0; пусть   0, тогда разделим (_*) на ²:

(/)² + 2(/) +  = 0; (5.2.3)

Это уравнение относительно неизвестного / имеет два корня (различные или совпадающие действительные, или комплексно-сопряженные). Под-ставляем ₁, ₁ и ₂, ₂ в (5.2.1) и получаем две точки пересечения (действительные или комплексные, а, может быть, совпадающие).

5.3. Касательная к кривой второго порядка.

Опр. 5.3.1. Касательной к кривой 2 порядка  называется прямая, которая имеет с  одну (двойную) общую точку.

Пусть  задана уравнением (5.1.1) и A(a_i ) . Составим уравнение касательной l к  в точке A . Поскольку A  , то

(;\s\do10(iа_ij a_ia_j= 0 . (5.3.1)

Пусть B(b_i ) l . Тогда уравнение прямой AB: х_i = a_i + b_i . Пересечение AB с  находится из уравнения (5.2.2). Поскольку AB – касательная, то это уравнение должно свестись до ² = 0. С учетом (5.3.1) остается потребовать

(;\s\do10(iа_ij a_ib_j = 0 .

Это условие принадлежности B касательной l . Обозначим, как обычно, координаты B через x_i ; тогда уравнение касательной к  в точке A(a_i ) :

(;\s\do10(i(а_ij a_i) x_j = 0 , (5.3.2) или

(а₁₁а₁+ а₁₂a₂+ а₁₃a₃₎ х₁+ (а₁₂а₁₊ а₂₂а₂₊ а₂₃a₃₎х_{2 +} (а₁₃а₁₊ а₂₃а₂₊ а₃₃a₃₎ х₃= 0. (5.3.2)

40Полюс и поляра.

Опр. 5.4.1. Пусть кривая 2 порядка  задана в плоскости (; ¯ Ур-ем (5.1.1), и A(a_i ) – произвольная точка плоскости (; ¯ . Полярой точки A относительно  наз множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению

(;\s\do10(i(а_ij a_i) x_j = 0  (;\s\do10( j =1u_j x_j = 0 , (5.4.1)

где мы обозначили u_j = (;\s\do10(i =1а_ij a_i. Мы видим, что поляра – это прямая (если не все u_j = 0). Точка A называется полюсом этой прямой. Уравнение (5.4.1) совпадает с (5.3.2), и поэтому, если A  , то полярой к A будет касательная к кривой в точке A

5.5. Геометрический смысл поляры.

Опр.5.5.1. Точка B называется сопряженной с точкой A относительно кривой , если (ABM₁M₂) = –1, где {M₁, M₂} = AB  .

Очевидно, что

1. если B сопряжена с A , то A сопряжена с B;

2. на каждой прямой, которая проходит через A , существует единственная точка B, сопряженная с A (четвертая гармоническая к M₁, M₂, A ).

Пусть заданы точки A(a_i ), B(b_i ) и кривая  с помощью уравнения (5.1.1). По определению (ABM₁M₂) = –1. Поскольку {M₁, M₂}  AB, то координаты M₁, M₂ можно записать так: ₁a_i + ₁b_i , ₂a_i + ₂b_i , где ₁/₁ и ₂/₂ – корни уравнения (5.2.2). В соответствии с (4.2.2)

(ABM₁M₂) = : .

Поэтому

: = –1  + = 0 .

По теореме Виета для Ур-ия (5.2.2) получаем (;\s\do10(iа_ij a_ib_j = 0, (5.5.1)

Это и есть условие сопряженности точек относительно кривой .

Сравним теперь (5.5.1) и (5.4.1). Мы видим, что справедлива следующая теорема.

Теорема 5.5.1. Поляра точки A относительно кривой второго порядка  есть множество точек, сопряженных к A относительно .