Файл: Shpory_po_geometrii_4_semestr.doc

Пусть (;¯ – ещё один эллипс, O; ¯ – его центр, A; ¯B; ¯ и C; ¯D; ¯ – сопряжённые диаметры. Выберем репер R ; ¯ = {O; ¯, A; ¯, C; ¯}. Рассмотрим аффинное отображение, которое переводит репер R ; ¯ в репер R . Поскольку оба эллипса имеют относительно соответствующего репера одно и то же уравнение (2), то при этом отображении (;¯ будет переходить в . Тем самым мы доказали, что любые два эллипса аффинно-эквивалентны и поэтому могут служить изображением друг друга. В частности, изображением данной окружности может служить любой эллипс или окружность.

Способы построения эллипса. Сразу оговоримся, что при построении кривых ставится задача найти способ построения любого количества точек этой кривой.Построив достаточное кол-во точек, можем потом соединить их вручную.

1. В соответствии с определением, с помощью двух гвоздиков и верёвочки. Для этого нам должны быть даны фокусы эллипса (или их можно вычислить) и большая полуось a. Мы помещаем гвоздики в фокусы эллипса, на них закрепляем верёвочку длины 2a. Будем перемещать карандаш, оставляя верёвочку натянутой. Карандаш опишет эллипс.

2. С помощью сжатия окружности. Нам должны быть известны полуоси эллипса a и b. Мы строим окружность (;¯ радиуса a и произвольный её диаметр d; ¯. Выбираем произвольное число точек Mi;¯ на окружности. Из каждой точки опускаем перпендикуляр Mi;¯O_i на d; ¯. На этом отрезке находим точку M_i, такую, что M_iO_i/Mi;¯O_i=b/a. Найденные точки будут принадлежать эллипсу.

3. Опять же известны полуоси эллипса a и b. Мы строим две концентрические окружности ₁ и ₂ радиусов a и b. Проводим несколько радиусов OM_i большой окружности, которые пересекут малую окружность в точках N_i. Из точек проводим вертикальные линии, а из точек N_i – горизонтальные. Точки пересеч. K_i этих линий принадлежат эллипсу.

4.След-й СП. Постр-я будем наз. основным. Нам даны сопряжённые диаметры эллипса. Для обоснования этого метода построения сначала рас-им окружн. у которой даны перпендик-ые диаметры AB и CD. Через концы каждого из диаметров проведём линии, параллельные другому диаметру. Получатся кв. PQRS. Разобьём отрезок PC точ-и M_i на любое число равных частей и отрезок CO точ-и N_i на то же число част (на черт. разбили на 3 ч).Пусть K_i=AM_iBN_i Тогда точки K_i лежат на окруж.т.к. OBN_i и APN_i равны, след AK_iB=90

При аффинном отобр-и сохраняется деление отрезка на равные части. Поэтому этот СП. построения можно применить и к эллипсу

§7. Изображение многогранников в параллельной проекции.

Теорема Польке-Шварца. Вершины произвольного четырёхугольника ABCD в плоскости изображений  могут служить изображением аффинного репера, равного данному реперу R ; ¯ = {A; ¯, B; ¯, C; ¯, D; ¯}.

Поясним формулировку. Для того, чтобы проекция данного репера на данную плоскость оказалась подобна ABCD, возможно понадобиться данный репер в пространстве повернуть. Тогда получится, что ABCD явл. изображением не данного репера, а равного ему.

Равносильная форм-а. Каков бы ни был четырёхугольник ABCD и аффинный репер R ; ¯ = {A; ¯, B; ¯, C; ¯, D; ¯}, существует такая плоскость , что проекция репера R ; ¯ на эту плоскость подобна ABCD.

Идея д-ва. Вершины репера можно рассматривать в качестве вершин тетраэдра (треугольной пирамиды). Пусть E – точка пересечения диагоналей в ABCD. Выберем на ребре A; ¯C; ¯ точку E1;¯, такую что

(A; ¯C; ¯,E1;¯)=(AC, E). Выберем на ребре B; ¯D; ¯ точку E2;¯, такую что (B; ¯D; ¯, E2;¯)=(BD, E). Выберем теперь направление проецирования параллельно отрезку E1;¯E2;¯. Тогда точки E1;¯ и E2;¯ проецируются в одну точку E_o, и проекцией репера R ; ¯ будет четырёхугольник A_oB_oC_oD_o, аффинно-эквивалентный ABCD. Но нам нужно получить четырёхугольник не просто аффинно-эквивалентный, а подобный. Поэтому, возможно, понадобиться данный репер в пространстве повернуть. Таким образом, полное доказательство значительно сложнее.

8.Изображениемногогранников.

Рассмотрим изображение некоторых многогранников. При этом мы предполагаем, что ни одна из граней многогранника не параллельна направлению проецирования. Тогда каждая из граней будет изображаться многоугольником, и изображение многогранника состоит из нескольких многоугольников.

1. Из теоремы Польке-Шварца следует, что в качестве изображения вершин тетраэдра можно выбрать вершины любого четырёхугольника. Если для наглядности невидимые линии изобразить пунктиром, то получатся следующие возможные варианты.

2.Каждая из граней параллелепипеда изображается параллелограммом. При этом, противоположные грани изображаются равными параллелограммами. Поэтому изображение параллелепипеда состоит из трёх пар параллелограммов, причём параллелограммы в каждой паре получаются друг из друга параллельным переносом.

Согласно т.Польке-Шварца, мы можем в качестве изображения трёх вершин нижнего основания и одной вершины верхнего основания выбрать вершины произвольного четырёхугольника (напр, ABDA).Затем, изобр-я остальных вершин можно достроить однозначно.

3. Изображение n-угольной призмы состоит из двух одинаковых n-угольников, которые получаются друг из друга параллельным переносом, и n параллелограммов. В качестве изображения трёх вершин нижнего основания и одной вершины верхнего основания мы можем выбрать вершины произвольного четырёхугольника (на чертеже мы эти точки выделили). После этого остальные вершины достраиваются однозначно.

4. Изображение n-угольной пирамиды состоит из многоугольника, изображающего основание и треугольников с общей вершиной, изобр-щих боковые грани.Согласно т. Польке-Шварца, мы можем в качестве изобр-ия трёх вершин нижнего основания и одной вершины верхнего основания выбрать любые 4 точки, из которых никакие 3не лежат на одной прям.Остальные вершины основания стоятся по правилам построения изобр-й плоских многоуг-ов(§5).Если пирамида явл. правильной, то принято ещё изображать высоту, падающую в центр основания

§9. Изображение цилиндра

1. Пусть цилиндр-оригинал F; ¯ расположен так, что его ось O; ¯O1;¯ параллельна плоскости изображений . Направление прое­цирования выберем следующим образом. Через ось цилиндра проведём плоскость  и выберем направление проецирования параллельно этой плоскости, но не параллельно основаниям цилиндра (иначе изображение будет выглядеть, как прямоугольник, и не будет наглядным).

Пусть (;¯ – окружность верхнего основания цилиндра, A; ¯B; ¯ и C; ¯D; ¯ – взаимно перпендикулярные диаметры этой окружности, причём A; ¯B; ¯ ||, C; ¯D; ¯. Тогда C; ¯D; ¯. Проведём образующие A; ¯A1;¯, B; ¯B1;¯, которые будем называть контурными. Пусть l1;¯ и l2;¯ – касательные к окружности (;¯ в точках A; ¯ и B; ¯. При проецировании окружность (;¯ переходит в эллипс  с осями AB и CD. Отрезок A; ¯A1;¯ и прямая l1;¯ лежат в плоскости, параллельной направлению проецирования, поэтому они проецируются на одну прямую l₁. При этом, прямая l1;¯ была касательной к (;¯. Следовательно, изображение AA₁ контурной образующей лежит на каса­тельной к эллипсу . Аналогично ВВ₁ тоже лежит на касательной к эллипсу .

Дополнительно потребуем, чтобы угол между вектором p;\s\up8(( и осью цилиндра был больше 45. Тогда на изображении будет |AB|>|CD|. Итак, мы окончательно имеем следующее изображение.

10 Изоброжение конуса

2. Выберем плоскость изображения  параллельно оси S; ¯O; ¯ данного конуса (; ¯. Пусть  – плоскость основания конуса, а  – плоскость, проходящая через ось цилиндра, перпендикулярно . Направление прое­цирования выберем следующим образом. Через вершину S; ¯ проведём прямую l;¯ в плоскости , так чтобы она пересекала плоскость  в точке K; ¯, расположенной вне основания конуса, и так чтобы угол между высотой S; ¯O; ¯ и прямой l;¯ был больше 45. Теперь выберем направление проецирования параллельно l;¯.

Пусть (;¯ – окружность основания конуса, A; ¯B; ¯ и C; ¯D; ¯ – взаимно перпенд-ые диаметры этой окружности, причём A; ¯B; ¯ ||, C; ¯D; ¯. Тогда C; ¯D; ¯. Проведём касательные K; ¯M; ¯, K; ¯N; ¯ к (;¯. Образующие S; ¯M; ¯ и S; ¯N; ¯ назовём контурными.