Файл: Shpory_po_geometrii_4_semestr.doc

(A; ¯C; ¯, E; ¯)=(AC, E), (B; ¯D; ¯, E; ¯)=(BD, E) (1)

Условие (1) означает, что соответствующие диагонали четырёхугольников делятся точкой пересечения диагоналей в одинаковом отношении.

Д-во. Пусть четырёхугольники аффинно-эквивалентны. Это значит, существует аффинное отображение f:(; ¯ ^– , которое переводит первый четырёхугольник во второй. Обозначим их так, чтобы выполнялось A=f(A; ¯), B=f(B; ¯), C=f(C; ¯), D=f(D; ¯). Тогда отрезок A; ¯C; ¯ переходит в отрезок AC, отрезок B; ¯D; ¯ – в отрезок BD. Точка пересечения отрезков A; ¯C; ¯ и B; ¯D; ¯ переходит в точку пересечения отрезков AC и BD, и при этом сохраняется простое отношение трёх точек. Это означает, что выполняется (1).

Обратно, пусть четырёхугольники обозначены буквами так, что выполнено (1). Рассмотрим аффинное отображение f:(; ¯ ^– , которое переводит репер R; ¯ = {A; ¯, B; ¯, D; ¯} в репер R = {A, B, D}. В силу (1) точка E; ¯ будет переходить именно в точку E. Мы имеем f(A; ¯)=A, f(E; ¯)=E. Значит, луч A; ¯E; ¯ переходит в луч AE, а первое из условий (1) оказывает, что точка C; ¯A; ¯E; ¯ переходит в точку CAE. Таким образом, четырёхугольник A; ¯B; ¯C; ¯D; ¯ переходит в четырёхугольник ABCD.

§4. Изображение плоских фигур в параллельной проекции.

Выберем в пространстве некоторую плоскость  и назовём её плоскостью изображений. Выберем вектор p;\s\up8(( непараллельный . Направление этого вектора назовём направлением проецирования. Пусть (;¯ – некоторая фигура в простве, а _o – её проекция на плоскость .

Опре. Фигуру (;¯ будем называть оригиналом, а _o – проекцией оригинала. Всякая фигура , подобная _o наз. изображением фигуры (;¯.

Рас-им изображение плоских фигур. В дальнейшем везде предполагаем, что плоск. (; ¯, в которой расположен оригинал (;¯, и плоскость изображений  не параллельны, а вектор p;\s\up8((, задающий направление проецирования не параллелен ни одной из этих плоскостей. Если (; ¯ ||, то изображение будет подобно оригиналу. Этот случай не представляет интереса для изучения.

Теорема 6. Пусть фигуры (;¯ и  лежат в плоскостях (; ¯ и , которые пересекаются. Фигура (;¯ может служить изображением фигуры  тогда и только тогда, когда эти фигуры аффинно-эквивалентны.

Д-во. Пусть  является изображением (;¯. Тогда  получается из (;¯ в результате проекции f₁:(; ¯ ^–  и подобия f₂: ^– . Каждое из отображений f₁ и f₂ является аффинным. Поэтому f_2f₁ – тоже аффинное отображение и =f_2f₁((;¯).След-но, (;¯ и  аффинно-эквивалентны.

Обратно, пусть (;¯ и  аффинно-эквивалентны и f:(; ¯ ^–  – такое аффинное отображение, что =f((;¯). Нам нужно доказать, что это отображение является композицией проекции и подобия. Выберем на плоскости (; ¯ произвольный репер R; ¯ = {A; ¯, B; ¯, C; ¯} так, чтобы A; ¯ и B; ¯ принадлежали линии пересечения плоскостей (; ¯ и . Пусть R = {A, B, C} – образ репера R; ¯ при отображении f.

На плоскости  выберем точку C_o так, чтобы ABC_o был подобен треугольнику ABC. Пусть

f₂: ^–  есть подобие, которое переводит ABC_oв ABC. Пусть p;\s\up8(( ||\O(C; ¯, а f₁:(; ¯ ^–  есть проекция по направлению вектора p;\s\up8((.

Тогдаf₁, очевидно, оставляет точки A; ¯ и B; ¯ на месте, а точку C; ¯ переводит в точку C_o. Тем самым, f₁ переводит репер R; ¯ в репер R _o= {A; ¯, B; ¯, C_o} на плоскости . Следовательно, отображение f_2f₁:(; ¯ ^–  переводит репер R; ¯ в репер R. Но отображение f тоже переводит репер R; ¯ в репер R. Согласно теореме 3 f=f_2f₁.

Теорему 6 можно переформулировать так: любое аффинное отображение f:(; ¯ ^–  является композицией проекции и подобия, но только при условии, что плоскости (; ¯ и  не параллельны.

§5. Изображение многоугольников.

1. Согласно теореме 3 любые два треугольника аффинно-эквива­лентны и поэтому могут служить изображением друг друга.

2. Согласно теор 5 не любой четырёхугольник может служить изобр-ем данного четырёхугольника, а только тот, для которого вып. (A; ¯C; ¯, E; ¯)=(AC, E),(B; ¯D; ¯, E; ¯)= (BD,т.е. у которого соответствующие диагонали делятся точкой пересечения в одинаковом отношении. Для построения изображения ABCD данного четырёхугольника A; ¯B; ¯C; ¯D; ¯ мы можем в качестве точек A, B, D выбрать произвольные три точки на плоскости изображений , не лежащие на одной прямой. Тогда вершина C определится однозначно.

3.Аффинное отображение сохр-ет параллельность прямых и отношение отрезков, лежащих на них.Поэтому изобр-ем данной трапеции может служить только трапеция,у которой такое же отношение оснований. Условия (1) для двух трап. равносильны требованию,что у этих трап. Один-ое отношение оснований.

4. Аффинное отображение сохраняет параллельность прямых. Поэтому изображением параллелограмма является параллелограмм. В качестве изображений трёх вершин параллелограмма можно выбрать любые три точки на плоскости изображений. Поэтому изобр-ем данного параллелограмма может служить любой паралл-мм. Даже если A; ¯B; ¯C; ¯D; ¯ – ромб, прямоугольник или квадрат, всё равно его изобр-ем может быть любой параллелограмм.

5. n-угольник при n5. Для построения его изображения 3 точки, изображающие 3 его вершины можно выбрать произвольно, а изображения остальных вершин можно найти, используя тот факт, что точки пересечения диагоналей оригинала и изобр-ия делят соответствующие диаг-и в один-ом отношении.

Пусть,например, дан пятиугольник A; ¯B; ¯C; ¯D; ¯E; ¯. Пусть M; ¯ = A; ¯C; ¯  B; ¯E; ¯, N; ¯ = A; ¯C; ¯  B; ¯D; ¯. Выберем произвольные точки A, B, C. На отрезке AC находим точки M, N, такие что (AC, M)= (A; ¯C; ¯, M; ¯), (AC, N)= (A; ¯C; ¯, N; ¯).Затем на прямых BM и BN выбираем точки E и D так, чтобы

(BE, M)=(B; ¯E; ¯, M; ¯), (BD, N)=(B; ¯D; ¯, N; ¯).

6. В прав-ом шестиуг-е A; ¯B; ¯C; ¯D; ¯E; ¯F; ¯ диаг-и A; ¯D; ¯, B; ¯E; ¯, C; ¯F; ¯ делятся точ-й пересеченияO; ¯пополам В данном случ,в качестве произвол. удобнее выбрать точки A, B и O.Затем нах-им др.вершины,используя тот факт,что отр. BC,OD и AO паралл-ны и равны;и также

§6. Изображение окружности и эллипса.

При ортогональном проецировании окружности получается эллипс. Это верно при любой параллельной проекции f:(; ¯ ^– . Пусть l=(; ¯ , A; ¯B; ¯ и C; ¯D; ¯ – диаметры окружности,

т

A; ¯

Пусть A; ¯B; ¯ и C; ¯D; ¯ – взаимно перпенд-ные

диаметры окружности (;¯. Мы знаем, что все хорды параллельные к A; ¯B; ¯ делятся C; ¯D; ¯ пополам; касательная l; ¯, проведённая к окружности через точку C; ¯ или D; ¯ перпендикулярна C; ¯D; ¯, т.е. она параллельна A; ¯B; ¯. При аффинном отображении сохраняется параллельность прямых и деление отрезка пополам. Поэтому на изображении CD будет делить хорды, параллельные к AB пополам и изображение l касательной в точке C будет параллельно к AB. Напомним, что диаметр CD, делящий хорды, параллельные к диаметру AB пополам, называется сопряжённым к диаметру AB. Свойство диаметров быть сопряжёнными взаимное: т.е. диаметр AB будет делить пополам хорды, параллельные к CD.

Итак, изображением окружности является эллипс, при этом перпендикулярные диаметры окружности изображаются сопряжёнными диаметрами эллипса. Но остаётся вопрос: а любой ли эллипс является изображением данной окружности, и что служит изображением эллипса?

Пусть  – произвольный эллипс, O – его центр, AB и CD – сопряжённые диаметры. Выберем репер R = {O, A, C}. Он определяет аффинную систему координат. Примем без доказательства, что относительно этой СК эллипс задаётся уравнением x₁²+x₂²=1. (2)