Файл: лекции 2-й семестр.doc

Сформулируем задачу плановых расчетов по модели МОБ со смешанным составом неизвестных.

Пусть все виды продукции (проекты) разбиваются на две группы:

1. Продукты (mвидов), по которым искомыми являются объемы производства – векторX₁, а задаются объемы КП – векторY₁=C₁(оба вектора порядкаm);

2. Продукты (m-nвидов), по которым задаются объемы производства (например, в соответствии с заданиями перспективных планов) – векторX₂=Q₂, а искомыми являются показатели КП – векторY₂(оба вектора порядкаn-m).

Тогда решение системы относительно X₁ иY₂возможно следующим образом. Вначале решается подсистема порядкаm

(E–A₁₁)X₁=C₁ +A₁₂Q₂

и находится вектор X₁. Затем векторX₁подставляется в подсистему порядкаn-m

Y₂= (E–A₂₂)Q₂–A₂₁X₁,

каждое уравнение которой содержит по одному неизвестному и решается независимо.

Аналогично решается задача корректировки плана, когда требуется учесть влияние отклонений от плана выпуска продукции второй группы продуктов (X₂=Q₂) на валовые выпуски первой группы продуктов (X₁) и КП второй группы (Y₂) при условии выполнения заданий по КП первой группы (Y₁= 0).

Взаимозависимости проектов в процессе реализации программы количественно могут быть выражены системой коэффициентов прямых, косвенных и полных затрат продукции и ресурсов. Каждый коэффициент полных затрат представляет сумму прямых и косвенных затрат, обусловленных выпуском единица определенного вида продукции.

Проиллюстрируем сказанное, решив упрощенную задачу. Сформулируем задачу, когда при реализации разнородных проектов (изготовлении разнородной продукции) возможна конкуренция технологий отраслей производства (технологий реализации проектов).

Для реализации трех типов проектов, i = 1,2,3 применяются три вида оборудования (s = 1,2,3). Для реализации проектов первых двух типов используется по три технологии j =1,2,3, третьего вида - две технологии. Величина нормозатрат на выпуск единицы готовой продукции b_isj, фонд рабочего времени b_s(машиночасы) и планируемая прибыль P_ijединицы изделия приведены в табл. 27.

Определить оптимальные количества у.ед. изделий и выбрать технологии их изготовления на имеющемся оборудования из условия максимизации прибыли (1 у.ед. = 10 изделий).

Алгоритм решения.

1. Целевая функция - максимизация суммы прибыли

Z=P_ijx_ijmax

^{i j}

Таблица 27. Исходные данные к оптимизационной модели Леонтьева

или

Z=11x₁₁ + 7x₁₂ + 5x₁₃ + 9x₂₁ + 6x₂₂ + 7x₂₃ + 18x₃₁ + 15x₃₂  max

2. Ограничения по фонду рабочего времени:

 b_isjx_ijb_s

^{i j}

или в другой записи

2x₁₁ + 2x₁₂ + x₁₃ + 3x₂₁ + 4x₂₃ + 3x₃₁ + 3x₃₂ 20,

3x₁₁ + x₁₂ + 2x₁₃ + x₂₁ + 2x₂₂ + 5x₃₁ + 6x₃₂ 34,

x₁₂ + 3x₁₃ + 2x₂₁ + 3x₂₂ + x₂₃ + x₃₁ 48.

3. Итак, линейная задача оптимизации содержит 8 основных переменных прямой задачи и три ограничения. Для ее решения используем электронные таблицы Excel.

В табл.28 приведены результаты этого решения. Эти результаты представлены в форме, очень удобной для всестороннего экономического анализа. Такой анализ позволяет принять достаточно обоснованные решения по управлению системой отраслей, промышленных объединений, сотрудничающих фирм (проектов в рамках программы).

Таблица 28. Результат оптимального решения в модели Леонтьева

4. Из табл.28 следует, что в оптимальный план не вошли нерентабельные количества изделий (результатов проектов) x₁₁, x₂₃, x₃₁, x₃₂.

5. Составим двойственную задачу оптимизации:

а) целевая функция - минимизация стоимости затрат ресурсов:

f= 20V₁+ 34V₂+ 48V₃min

б) ограничения по размеру прибыли:

2V₁+ 3V₂11,

2V₁+ V₂+ V₃7,

V₁+ 2V₂+ 3V₃5,

3V₁+ V₂+ 2V₃9,

2V₂+ 3V₃ 6,

4V₁ + V₃ 7,

3V₁+ 5V₂+ V₃18,

3V₁+ 6V₂15.

Условие неортицательности переменных V_i0.

Результаты решения двойственной задачи содержатся в таблице. Из них следует, V^*₁= 2, V^*₂= 3 ден.ед./ед.продукции. Двойственная же оценка “дорогих” изделий (результатов проектов) V^*₃= 0.

6. Рассчитаем для каждого из не вошедших в оптимальный план типов изделий (результатов проектов) величину недополученной прибыли:

₃

Q^j_i =b^j_isV^*_s, ден.ед./ед.продукции.

^s=1

Например, для x¹₁₁= 0 значение недополученной прибыли будет:

Q¹₁= 2V^*₁+ 3V^*₂= 22 +33 = 13 ден.ед./ед.продукции.

А намечавшаяся прибыль P¹₁=11 ден.ед./ед.продукции. Следовательно, если бы x¹₁₁вошел в оптимальный план выпуска продукции 1-го типа по первой технологии, это принесло бы убытки_уб^j= Q^j_i- P^j_i= 13 - 11 = 2 ден.ед./ед.продукции.

Подсчитанные по такому алгоритму значения _уб^j помещены в табл.29.

Таблица 29. Анализ недополученной прибыли

Наличие убытка объясняется ограниченностью фонда рабочего времени для выпуска более дорогих изделий. Резерв рабочего времени первых двух типов оборудования даст наибольший вклад в получение максимальной прибыли: увеличение на единицу этого резерва увеличит значение целевой функции на 5 ден.ед. Значения возможного убытка показаны в таблице как U^*_ij.