Файл: Finmat.doc

Разделим весь срок погашения ссуды на два интервала протяженностью m и М месяцев. В первом месяце расходы растут с постоянным темпом роста q:

,

где - расходы в первом месяце; q - ежемесячный темп роста расходов.

Во втором периоде расходы должника равны постоянной величине

.

Найдем современную стоимость платежей каждого периода относительно начала действия контракта.

В первом периоде последовательность платежей представляет геометрическую прогрессию, и современная стоимость этого потока

.

Во втором периоде платежи представляют собой отложенную постоянную ренту с членом . На начало действия контракта современная стоимость этой ренты

Приравняем современную стоимость всего потока платежей к сумме задолженности:

.

Отсюда

.

Пример13.4. Сумма задолженности по договору ипотеки - 100000 руб., общий срок погашения - 20 лет (240 месяцев); предусматривается рост платежей в течение 60 месяцев; процентная ставка за ссуду - 10% годовых; ежегодный прирост платежей - 5%. Необходимо разработать график погашения долга.

Р е ш е н и е. Исходные данные: D = 100000, m = 60, M =180, i = 0,1/12= =0,0083333, n=1/(1+i)=0,9917355.

Ежемесячный темп роста расходов в первом периоде составит = 1,0040741, qn = 0,9957760, .

Находим величину взноса первого месяца:

Таким образом, ежемесячные расходы в первом периоде определяются как 802,870×1,004074^t-1 . Расходы в конце пятилетнего периода:

руб.

Эта же сумма ежемесячно выплачивается и во втором периоде.

13.4. Ссуды с периодическим увеличением взносов

(SRM – Step Rate Mortgage)

Схема такой ипотеки является вариантом GPM: по согласованному графику каждые три-пять лет увеличивается сумма взносов. Весь срок ипотеки разбит на k периодов (равные или неравные). Размеры взносов в каждом периоде . Задача состоит в том, чтобы определить размер последнего взноса .

Рассмотрим простейший вариант, когда периоды одинаковы по длине и длина одного периода . В каждом периоде с номером t имеем аннуитет. Найдем сумму Q современных стоимостей k-1 аннуитетов:

Это можно записать также следующим образом:

.

Современная стоимость W непокрытой взносами задолженности:

W = D - Q.

Эта задолженность W должна быть покрыта взносами последнего периода:

.

Отсюда размер взносов в последнем периоде

.

13.5. Ссуда с залоговым счетом

Для должника в отношении метода погашения долга это ипотека не отличается от ипотечной схемы GPM. Для кредитора это стандартная ипотека. Такое совмещение двух схем достигается открытием специального залогового счета, на который должник (или третья сторона) вносит оговоренную сумму. С этого счета в погашение долга списываются некоторые суммы. Недостающие средства доплачиваются должником. Этим достигается некоторое обеспечение выплат и сокращение расходов должника в первые m месяцев.

В зависимости от того, какая величина задается, возможны различные постановки задачи. Рассмотрим одну из них. Пусть заданным является размер залогового счета и необходимо определить суммы взносов с учетом частичного погашения путем списания с этого счета. Решение выполняется в три этапа. На первом этапе по формуле

---

рассчитывается необходимый размер взносов R, далее определяются суммы списания с залогового счета в первые m месяцев, на последнем этапе находятся суммы доплат до требуемого размера взносов R.

Для определения сумм списания введем обозначения:

V_t - сумма, списываемая с залогового счета;

r - месячная ставка процента, начисляемого на средства залогового счета.

Z - сумма залогового счета.

Обычно суммы списания со счета сокращаются во времени с постоянным темпом, таким образом, соответственно размеры доплат увеличиваются.

Находим сумму, списываемую с залогового счета в месяце с номером t:

_.

Современная стоимость этого потока платежей равна Z, то есть

,

где n=1/(1+r).

Используя формулу суммы m членов геометрической прогрессии, получим

.

Отсюда сумма списания с залогового счета в первый месяц

.

Сумма, списываемая с залогового счета в месяце с номером t:

.

Должник доплачивает величину Y_t = R - V_t . Здесь t меняется от 1 до m. При m < t £ M должник уже выплачивает ежемесячно взнос R.

Остаток долга на начало (t+1)-го месяца находится как в стандартной ипотеке

.

Пример13.5. Стоимость закладываемого имущества 120 тыс. руб. Продавец получает за счет ссуды 115 тыс. руб. и от покупателя 5 тыс. руб. Срок ипотеки10 лет. Покупатель открывает специальный счет (15 тыс. руб.). На счет начисляются проценты по ставке 10% годовых (начисление ежемесячное), списание производится 20 месяцев, сумма списания уменьшается на 2% в месяц. Составить план погашения кредита.

Р е ш е н и е. Исходные данные: Z = 15 тыс. руб.; m = 20; N = 120; q = 0,98; i = 12%; r = 10%.

Размер ежемесячных взносов, которые получает кредитор:

R= = = 1,64992 тыс. руб.

Первая сумма списания со счета

V₁ = = = 0,97815 тыс. руб.

Здесь n = , qn = = = 0,9719008.

Сумма списания со счета через t месяцев

V_t = 0,97815× 0,98^t-1 тыс. руб.

Таким образом, суммы списания составят, тыс. руб.:

Месяц	1-й	2-й		20-й	21-й		120-й
Списания со счета, Vt	0,97815	0,95859	....	0,65333	0	...	0
Взносы должника, Rt	0,67177	0,69133	....	0,99659	1,64992	...	1,64992
Размер ежемесячных взносов, которые получает кредитор, R	1,64992	1,64992	....	1,64992	1,64992	...	1,64992

Если бы не было залогового счета, то должник ежемесячно платил бы кредитору срочную уплату R = =»1.434771 тыс. руб. Залоговый счет сокращает взносы должника в данном случае в первые 20 месяцев.

Если на счет начисляются проценты по ставке 15% годовых, то

qv = = = 0,9679012

и размер первого списания со счета составит

V₁ = = 1,017719 »1,01772 тыс. руб.

Суммы списания, тыс. руб.:

Месяц	1-й	2-й		20-й	21-й		120-й
Со счета, Vt	1,01772	0,99685	......	0,69330	0	...	0
Взносы должника, Rt	0,6322	0,65307	......	0,95662	1,64992	...	1,64992

Ссуда с льготным периодом. В такой ипотеке предполагается наличие льготного периода, в течение которого выплачиваются только проценты по долгу. Такая схема в наибольшей мере сдвигает финансовую нагрузку должника. Расчет размеров взносов осуществляется так же, как и для стандартной ипотеки.

---

Ссуды с периодическим изменением процентной ставки. Схема этой ссуды предполагает, что стороны каждые три-пять лет пересматривают уровень процентной ставки. Тем самым создается возможность для некоторой, конечно неполной, адаптации к изменяющимся условиям рынка.

Схема ипотеки с переменной процентной ставкой (VRM – Variable Rate Mortgage)

Уровень ставки здесь “привязывается” к какому-либо распространенному показателю. Пересмотр ставки обычно осуществляется по полугодиям. Чтобы изменения ставок не были очень резкими, предусматриваются верхняя и нижняя границы разовых коррективов (например, не более 2%).

Особый вид ипотеки предназначен для заклада домов пожилыми владельцами. Он назван ипотекой с обратным аннуитетом (RAM – Reverse Annuity Mortgage). Цель такого залога - получение систематического дохода владельцем жилища. Операция напоминает продажу имущества в рассрочку.

Основной задачей при анализе ипотек является разработка планов погашения долга. Важно также уметь определить сумму остатка задолженности на любой момент процесса погашения.

14. Потребительский кредит

Потребительский кредит предоставляется населению для покупки предметов личного потребления. Потребительский кредит может быть предоставлен с отсрочкой платежа и последующим разовым погашением всей суммы. Другой метод предусматривает погашение платежа в рассрочку - частями. Здесь проценты начисляются на всю сумму кредита, а сумма задолженности (сумма, предоставленная в кредит, плюс начисленные проценты) равномерно погашается на протяжении всего срока кредита.

Разновидностью погашения потребительского кредита является метод, при котором суммы процентных платежей и суммы погашения основного долга изменяются от периода к периоду по мере изменения сроков погашения ссуды.

14.1. Погашение потребительского кредита равными выплатами

Наращенная сумма долга определяется по формуле S = P(1+in), а сумма разового погасительного платежа q будет зависеть от числа погасительных платежей в году (m). Разовый погасительный платеж

q = ,

где n-срок кредита в годах.

Так как проценты начисляются только на всю сумму первоначального долга в течение всего срока погашения, то, несмотря на уменьшение величины долга с каждым платежом, фактически процентная ставка оказывается значительно выше ставки, предусмотренной при заключении сделки.

Пример14.1. Холодильник ценой 2 тыс. руб. продается в кредит на год под 10% годовых. Погасительные платежи вносятся через каждые 3 месяца. Определить размер разового погасительного платежа.

Р е ш е н и е. Сумма, подлежащая погашению за весь срок кредита

S = 2(1+1×0,1) = 2,2 тыс.руб.

Разовый погасительный платеж:

q = = 0,55 тыс.руб. = 550 руб.

14.2. Погашение потребительского кредита

изменяющимися суммами

При погашении кредита изменяющимися суммами возникает задача определения суммы, идущей на погашение основного долга и суммы процентных платежей.

---

Если сумма кредита выдана на год, погашение производится ежемесячными платежами, то можно воспользоваться “правилом 78”. Это правило получило такое название потому, что сумма порядковых номеров месяцев года 78 (1+2+....+12=78). В соответствии с этим правилом уплата процентов при первом платеже составит общей начисленной суммы процентов, а оставшаяся часть платежа пойдет на уплату основного долга. При II-м платеже на оплату процентов пойдет общей начисленной суммы процентов и т.д.

Пример14.2. Кредит в сумме 10 тыс. руб. Выдан на 6 месяцев под 20% годовых (проценты простые). Погашение задолженности производится ежемесячными платежами. Составить план погашения задолженности.

Р е ш е н и е. Наращенная сумма долга в конце периода составит:

S = P(1 + in) = 10(1 + 0,5 × 0,2) = 11 тыс. руб.

Сумма начисленных процентов

I = P i n = 10× 0,5 × 0,2 = 1 тыс. руб.

Ежемесячные выплаты

q = = = 1833,33 руб.

Найдем сумму порядковых номеров месяцев:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21.

Из 1-го платежа в счет уплаты процентов идет общей суммы начисленных процентов:

= 285,71 руб.

Сумма, идущая на погашение основного долга, составляет:

1833,33 - 285,71 = 1547,62 руб.

Из 2-го платежа в счет уплаты процентов идет общей суммы начисленных

процентов.

× 1000 » 238,09 руб.

Сумма, идущая на погашение долга:

1833,33 - 238,09 = 1595,24 руб.

План погашения долга:

Доля погашаемых процентов	Сумма погашения процентных платежей, руб.	Сумма погашения основного долга, руб.	Остаток основного долга на начало месяца, руб.
6/21	285,71	1 547,62	10 000,00
5/21	238,09	1 595,24	8 452,38
4/21	190,48	1 642,86	6 857,14
3/21	142,86	1 690,48	5 214,28
2/21	95,24	1 738,09	3 523,8
1/21	47,62	1 785,71	1 785,71
Итого:	1000,00	10 000,00

14.3. Сравнение коммерческих контрактов

В коммерческой практике часто сталкиваются с ситуациями, когда один и тот же товар можно купить у разных поставщиков. Условия кредита должны приниматься во внимание при выборе контракта, так преимущество варианта с низкой ценой может быть «перекрыто» невыгодными для покупателя условиями кредитования. Существует два способа сравнения коммерческих контрактов. Классический подход, или задача Клаузберга. Данный подход, предложенный еще в прошлом веке и широко применяемый в настоящее время, заключается в сравнении величин всех платежей, предусматриваемых контрактами. Вариант с наименьшей современной стоимостью считается предпочтительным для должника.

При расчете современных стоимостей для сравнения контрактов основным моментом является выбор уровня ставки процентов, по которой производится дисконтирование, — ставки сравнения. При этом необходимо учитывать, что чем выше ставка, тем в большей мере учитывается такой фактор, как время: более отдаленные платежи оказывают все меньшее влияние на современную стоимость затрат.

---

При выборе ставки сравнения ориентируются на существующий уровень ссудного процента.

Можно показать, что если современная стоимость платежей по одному из сравниваемых контрактов больше, чем по другому, то такое соотношение сохраняется и для других уровней ставки сравнения, если они превышают наибольшую из ставок в сравниваемых контрактах или если ставки сравнения меньше наименьшей из этих ставок.

Метод расчета предельных значений параметров соглашений. Допустим, существует два варианта покупки товара в кредит. Первый поставщик продает по цене Р₁, ставка за кредит i₁. У второго поставщика цена товара Р₂, а ставка i₂ не объявлена. Возникает возможность определить максимально допустимое значение i₂.

Рассмотрим первый способ сравнения коммерческих контрактов.

Продавец предлагает несколько вариантов уплаты за один и тот же товар. Мы должны выбрать наилучший вариант для себя. Каждый из вариантов предусматривает следующие условия:

1) авансовые платежи (задаются суммы и сроки выплат);

2)льготный период, в котором выплачиваются только проценты за кредит, а кредит не выплачивается. Здесь оговариваются сроки и методы выплаты процентов: проценты могут выплачиваться один раз в конце льготного периода, могут выплачиваться ежегодно, образуя аннуитет;

3) сроки и методы погашения задолженности по кредиту. Будем рассматривать случай, когда кредит погашается равными ежегодными выплатами.

Пусть Q₁ - 1-й авансовый платеж, который вносится при заключении контракта; Q₂ - 2-й авансовый платеж, который вносится через t лет после заключения контракта; i - процент за кредит; L - срок льготного периода; D - остаток задолженности после выплаты авансовых платежей; R - величина ежегодных срочных уплат; n — срок погашения остатка задолженности D; q - ставка сравнения.

Тогда современная стоимость всех платежей

A-Q₁+Q₂v^t+D((l + i)^l-l)v^t+L +R^. PVIFA_q;n v^t+L,

Здесь , R= .

Если же в льготном периоде проценты выплачиваются периодически и льготный период состоит из целого числа лет, то формула примет вид

Пример14.3. Предлагается один и тот же товар по цене 80 тыс. руб., но с различными вариантами погашения кредита:

	I вариант	П вариант
Цена Р, тыс. руб.	80 тыс. руб.	80 тыс. руб.
1-й аванс при заключении контракта	4 тыс. руб.	4 тыс. руб.
2-й аванс через 6 месяцев	4 тыс. руб.	8 тыс. руб.
Льготный период	—	6 месяцев
Ставка за кредит	10%	10%
Срок аннуитета	5 лет	8 лет
Ставка сравнения	15%	15%

Во втором варианте выплаты процентов - в конце льготного периода.

Находим современную стоимость всех платежей:

по I варианту

= 4 + 3,73002 + 59,37154 = 67,10156 тыс. руб.;

по II варианту

= 4 + 7,46004 + 2,88609 + 49,73588 64,08201 = 64,08201 тыс.руб.

II вариант уплаты предпочтительнее.

Смысл суммы А в том, что будучи инвестированной под ставку q, она обеспечит выплату всех платежей, предусмотренных контрактом.

---