Файл: УМК Избранные главы 11 класс.doc

Решение.

Составим таблицу:

Так как, работая вместе, две трубы наполняют бассейн за 7,5 часов, то их совместная производительность равна .

Сравнивая полученную производительность с записанной в таблице, составим уравнение:

.

х = 12, х < 0 – не удовлетворяет условию.

Первая труба наполнит бассейн за 12 часов.

Вторая труба наполнит бассейн за 12 + 8 = 20 часов.

Ответ: 20 ч.

Задача 3. Производительность самоходной косилки в 5раз выше производительности бригады косцов. Сколько дней потребуется бригаде косцов, чтобы скосить луг, если известно, что самоходная косилка и бригада косцов работая вместе, могут закончить сенокос за 3 дня?

Решение:

Пусть х дней требуется для выполнения всей работы косилки, тогда 5х дней требуется бригаде косцов.

Составим таблицу:

Так как объем работы равен произведению затраченного времени на производительность, получим

*3 = 1

5х = 18(дней) - требуется бригаде косцов.

Ответ: 18 дней.

В задачах на планирование необходимо рассмотреть две ситуации: планируемую и фактическую, учитывая произошедшие при этом изменения.

В задачах на применение формулы многозначного числа учитываем, что

___

авс = 100а + 10в + с.

При делении числа на части пропорционально числам a, b и c вводим коэффициент пропорциональности x, тогда данные числа запишем в виде ax, bx и cx. Если данные величины обратно пропорциональны числам a, b и c, то они пропорциональны числам

, и .

При решении задач на проценты их заменяют дробями: 1% = 0, 01.

Информацию в задачах на смеси и сплавы удобно записывать в таблицу следующего вида

Далее учитываем, что масса смеси растворов равна сумме исходных масс растворов, а масса сухого вещества в растворе равна сумме масс в каждом исходном растворе.

Тема лекции 2. Элементарные функции, их свойства и графики. Производная и ее применение. Общая схема исследования функции.

1. Понятие функции и способы ее задания. Свойства функции.

Функцией называется зависимость переменной y от переменной x, при которой каждому значению переменной y соответствует единственное значение переменной x.

Переменную x называют независимой переменной или аргументом, а переменную y - зависимой переменной или функцией. Говорят, что y является функцией от x. Областью определения функции называют все значения, которые принимает независимая переменная, а множеством значений функции - все значения зависимой переменой. Приняты обозначения: D ( f ) - область определения функции, E ( f ) - множество значений функции, f ( x) - значение функции в точке x.

Если функция задана формулой и область определения функции не указана, то считают, что область определения состоит из всех значений независимой переменной, при которых эта формула имеет смысл.

Графиком функции называется множество точек плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – значениям функции. Заметим, что не всякое множество точек плоскости является графиком некоторой функции. Для того, чтобы множество точек координатной плоскости являлось графиком некоторой функции, необходимо и достаточно, чтобы любая прямая, параллельная оси Оу, пересекалась с указанным графиком не более чем в одной точке.

Функция может быть задана аналитически в виде формулы у = f (x), или множеством пар (х; f (x)), где х принимает все значения из области определения, а

f (x) – соответствующие значения функции (в том числе и табличным способом), или графически. Иногда функцию задают словесным способом. Примером может служить функция Дирихле у = D(x): если х – рациональное число, то значение функции D(x) равно 1, а если число х – иррациональное, то значение функции D(x) равно 0. Таким образом, чтобы найти значение D(x) при заданном значении х = x, необходимо каким-либо образом установить, рационально или иррационально число х.

Функция называется четной, если она обладает следующими двумя свойствами:

1) область определения этой функции симметрична относительно точки О (т.е. если точка а принадлежит области определения, то и точка - а также принадлежит области определения);

2) для любого значения х, принадлежащего области определения этой функции, выполняется равенство f (x) = f (-x).

Функция называется нечетной, если:

1) область определения этой функции симметрична относительно точки О;

2) для любого значения х, принадлежащего области определения этой функции, выполняется равенство f (x) = - f (x).

Свойства четности и нечетности функции используются при построении графиков. График четной функции симметричен относительно оси Оу, нечетной – относительно начала координат.

Функция называется возрастающей на данном числовом промежутке Х, если большему значению аргумента х Х соответствует больше значение функции f (x), т.е. для любых хи х из промежутка Х, таких, что х> х, выполнено равенство f(х) > f(х).

Функция называется убывающей на данном числовом промежутке Х, если большему значению аргумента х Х соответствует меньшее значение функции f (x), т.е. для любых хи х из промежутка Х, таких, что х> х , выполнено равенство f (х) < f (х). Функция, только возрастающая или только убывающая на данном числовом промежутке, называется монотонной на этом промежутке.

Числовые промежутки, на которых функция сохраняет свой знак (т.е. остается положительной или отрицательной), называются промежутками знакопостоянства функции. В первом случае график расположен выше оси Ох, во втором случае ниже ее.

Значения аргумента из области определения, при которых f (x)= 0, называются нулями функции. Значения аргумента, при которых функция обращается в ноль – это абсциссы точек пересечения графика функции с осью Ох.

Функция f называется периодической, если существует такое число Т ≠ 0,что при любом х из области определения функции числа х – Т и х + Т также принадлежат этой области и выполняется равенство f (x)= f (x - Т) = f (x + Т). В этом случае число Т называют периодом функции f. Значения периодической функции через промежуток, равный периоду, повторяются. Это обстоятельство также используется при построении графиков.

2. Простейшие преобразования графиков функций.

Во многих случаях графики элементарных функций можно построить по графику заданной его части или по графику другой функции с помощью линейных преобразований: параллельного переноса, растяжения (сжатия), преобразования симметрии. С помощью параллельного переноса вдоль оси Ох (рис.1) или оси Оу (рис.2) по заданному графику функции можно построить графики функций и . В первом случае любая точка A (x ; y) графика переходит в точку А (x + m ; f(x)), во втором в точку А (x; f(x) + n).

рис.1 рис.2

рис.3 рис. 4

С помощью растяжения или сжатия по оси Ох или оси Оу можно построить график функции (рис.3) или (рис.4). Для построения графика функции

у = аf(k(x-m)) + n последовательно применяют вышеуказанные преобразования.

Если функция – периодическая с периодом Т, то достаточно построить часть ее графика для , и тогда весь график получается переносом построенной части вдоль оси абсцисс на отрезки (рис.5).

Для построения графиков четных и нечетных функций следует строить ветвь графика только в области неотрицательных значений аргумента .

Для построения графика функции необходимо построить график функции и отразить его относительно оси ординат. Полученный график является графиком функции (рис.7). Для построения графика функции необходимо построить график функции и отразить его относительно оси абсцисс (рис.6).

рис.5 рис.6

рис.7 рис.8

Для построения графика функции следует учесть, что функция является четной, поэтому строим график функции при и отражаем полученный график относительно оси ординат.

Для построения графика функции нужно сначала построить график функции ,а затем ту часть графика, которая расположена в нижней полуплоскости, отразить относительно оси абсцисс. Полученная в верхней полуплоскости линия и будет графиком функции (рис.8).

3. Основные свойства и графики тригонометрических функций.

а) Свойства функции у = sin x и ее график.

1. Область определения – множество всех действительных чисел, т.е. D(у) = R.

2. Область значений – отрезок , т.е. Е (у) = .

3. Функция нечетная: sin (–x ) = sin x для всех хR.

4. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2 , т.е.

sin (x+2 )= sin x для всех хR.

5. sin x = 0 при x =k, kZ .

6. sin х >0 при x (2k ; + 2k), kZ .

7. sin х<0 при x ( + 2k; 2 + 2k), kZ .

8. Функция возрастает от -1 до 1 на промежутке (- + 2k; + 2k), kZ .

9. Функция убывает от 1 до -1 на промежутке ( + 2k; + 2k), kZ .

10. Функция принимает наибольшее значение, равное 1, в точках x = + 2k, kZ.

11. Функция принимает наименьшее значение, равное -1, в точках x = + 2k, kZ .

Используя свойства синуса, сначала строим его график на промежутке , т.е. на промежутке, длина которого равна периоду функции, затем, используя периодичность функции у = sin x , строим график функции на всей числовой прямой.

б) Свойства функции у = соs x и ее график.

1. Область определения – множество всех действительных чисел, т.е. D(у)=R.

2. Область значений – отрезок , т.е. Е (у)=

3. Функция четная: соs (–x )= соs x для всех хR.

4. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2 , т.е.

соs (x+2 )= соs x для всех хR.

5. соs x = 0 при x = + k, kZ .

6. соs x >0 при x (- + 2k; + 2k), kZ .

7. соs x <0 при x ( + 2k; + 2k), kZ .

8. Функция возрастает от 1 до -1 на промежутке (- + 2k; 2k), kZ .

9. Функция убывает от -1 до 1 на промежутке (2k ; + 2k), kZ .

10. Функция принимает наибольшее значение, равное 1, в точках x = 2k, kZ.

11. Функция принимает наименьшее значение, равное - 1, в точках x = + 2k, kZ .

Т. к. соs x =sin (x + ), то график функции у = соs x получается параллельным переносом графика функции у = sin x на расстояние в отрицательном направлении оси Ох.

Графики функций у = sin x и у = соs x называют синусоидой.

в) Свойства функции у = tg x и ее график.

1. Область определения – множество всех действительных чисел, кроме чисел вида x = + k, kZ .

2. Область значений – множество всех действительных чисел.

3. Функция нечетная: tg (–x )= - tg x для всех х из области определения.

4. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом , т.е.

tg (x+ )= tg x для всех х из области определения.

5. tg x = 0 при x = k, kZ .

6. tg x >0 при x (k; + k), kZ .

7. tg x <0 при x (- + k; k), kZ .

8. Функция возрастает на промежутках (- + 2k; + k), kZ .

Используя свойства тангенса, сначала строим его график на промежутке , т.е. на промежутке, длина которого равна периоду функции, затем, используя периодичность функции у = tg x , строим график функции на всей числовой прямой.

График функции у = tg x называют тангенсоидой.

г) Свойства функции у = сtg x и ее график.

1. Область определения – множество всех действительных чисел, кроме чисел вида x = k, kZ .

2. Область значений – множество всех действительных чисел.

3. Функция нечетная: сtg (–x ) = - сtg x для всех х из области определения.

4. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом , т.е.

сtg (x+ )= сtg x для всех х из области определения.

5. сtg x = 0 при x = + k, kZ .

6. сtg x >0 при x (k; + k), kZ .

7. сtg x <0 при x (- + k; k), kZ .

8. Функция убывает на каждом из промежутков (k; +k), kZ .

Используя свойства котангенса, сначала строим его график на промежутке (0; ), т.е. на промежутке, длина которого равна периоду функции, затем, используя периодичность функции у = сtg x , строим график функции на всей числовой прямой.

График функции у = сtg x можно построить иначе: т.к. сtg x = - tg (x + ), то выполним параллельный перенос графика функции у = tg x на расстояние в отрицательном направлении оси Ох и отобразим полученный график симметрично оси Ох.

4. Рассмотрим примеры построения графиков сложных функций элементарными способами:

Пример 1. Построить график функции: .

Ф ункция четная. По определению арифметического квадратного корня .

Схема построения при :

1. ;

2. . Выполняем параллельный перенос первого графика на 2 единицы вдоль оси ординат и на одну единицу вдоль оси абсцисс;

3. Так как при , то областью определения исходной функции является промежуток .

Построим таблицу зависимости значений исходной функции от значений функции . При возрастает, следовательно, возрастающей является и функция . Отобразим полученный график симметрично оси ординат.

Пример 2. Построить график функции:

Ф ункция четная.

Схема построения:

1) ;

2) – отражаем первый график относительно оси ординат;

3) . Часть второго графика, находящуюся под осью абсцисс, отражаем относительно ее. Полученная в верхней полуплоскости линия является требуемым графиком.

Пример 3. Построить график функции:

Т ак как , то . Построим таблицу зависимости от .

При , следовательно, х = 1 является вертикальной

асимптотой.

Пример 4. Построить график функции: .

. Схема построения:

1. ; 2. – растягиваем график в 2 раза вдоль оси ординат;

3.

При график напоминает сжатую пружину, причем, чем меньше значение x, тем сильнее сжатие.

Построим таблицу:

5. Исследование функции с помощью производной. Непрерывность функции. Асимптоты.

Определение 1. Функция называется непрерывной в точке х = а, если предел функции при равен значению функции при х= а:

Определение 2. Функция у = называется непрерывной в точке х = а, если она в этой точке определена и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т.е.:

Если условие непрерывности функции в точке х = а нарушено, то такую точку называют точкой разрыва функции.