Файл: УМК Избранные главы 11 класс.doc

4. Бригада слесарей может выполнить задание по обработке деталей на 15ч. Скорее, чем бригада учеников. Если бригада учеников отработает 18 часов, а потом в течение 18 часов продолжит работу бригада слесарей, то и тогда будет выполнено 3/5 всего задания.

Сколько времени потребуется бригаде учеников для выполнения всего задания?

5. Числители трех дробей пропорциональны числам 1, 2, 5, а знаменатели соответственно числам 1, 3, 7. Среднее арифметическое этих дробей равно 200/441. Найти дроби.

6. Цену товара сначала снизили на 20%, новую еще на 15% и, наконец, последнюю еще на 10%. На сколько процентов всего снизили первоначальную цену?

7. Найти сумму трех чисел, если известно, что третье относится к первому, как 4,5: и составляет 40% второго, а сумма первого и третьего равна 400.

8. Свежие грибы содержат по массе 90% воды, а сухие 12% воды. Сколько получится сухих грибов из 22 кг свежих?

Практическое задание № 2.

Тема: Элементарные функции, их свойства и графики. Производная и ее применение. Общая схема исследования функции.

Вопросы:

1. Что такое числовая функция? Ее область определения и область значений?

2. Что такое график функций?

3. Как найти нули функций? Промежутки знакопостоянства?

4. Сформулируйте определение возрастающей (убывающей) функций.

5. Как найти промежутки монотонности и экстремумы функции?

6. Как исследовать функцию на выпуклость и нахождение точек перегиба?

7. Виды асимптот графика функции и их определения. Нахождение асимптот.

8. Элементарные способы построения графиков функции.

а) Использование симметрии для построения графиков четных и нечетных функций.

б) Отражение относительно оси при построении графиков, содержащих модуль.

Задания:

1. Построить график функции: .

Функция четная.

Схема построения:

1. ;

2. . Так как при , то x = 1 – вертикальная асимптота;

3. – отобразим у₂ симметрично оси ординат;

4. - часть графика, находящуюся под осью абсцисс, отразим симметрично ей.

2. Построить график функции: .

Схема построения:

1) ;

2) (с помощью вспомогательной таблицы, см. пример 1). Так как при , то y = 1 является горизонтальной асимптотой. При , т.е. прямые x=1 и x=3 являются горизонтальными асимптотами. При справа и слева график приближается к точкам (1;0) и (3; 0), так как .

3. Построить график функции:

Область определения: .

При , следовательно, прямые – вертикальные асимптоты. Функция четная, периодическая.

у = ln|sin x|

4. Определите асимптоты функции y = и постройте ее график.

5. Исследуйте функцию y = и постройте ее график.

Практическое задание № 3 - 4.

Тема: Тригонометрические формулы. Тождественные преобразования тригонометрических выражений.

Вопросы:

1. Основные тригонометрические тождества.

2. Формулы приведения.

3. Формулы сложения, двойных углов и следствия из них.

4. Формулы половинных углов.

5. Выражение синуса и косинуса через тангенс половинного угла.

6. Формулы суммы и разности тригонометрических функций.

7. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму.

Задания:

Упростите выражения (1-6):

1. tgx - sin x - tgx sin x;

2. cos 2 + tgsin 2 ;

3. 2 cos - 2sin ;

4. ;

5. ;

6. sin + sin 4 +…+ sin 28 + sin 32 . Вычислите (7-20):

7. , если tg х = 1;

8. sin , если cos x = 0,3;

9. cos 2 , если ctg = -2;

10. ctg 2 , если tg = 4;

11. cos ( -), если sin = - , cos = - , и - углы третьей четверти;

12. sin ( + arcsin );

13.

14. ;

15. arcsin (cos );

16. sin (arcos );

17. sin sin - cos sin + сtg ;

18. cos cos cos ;

19. ;

20. tg.

21. Преобразуйте выражение - 2cos в произведение тригонометрических функций.

Практическое задание № 5 - 6.

Тема: Тригонометрические уравнения и неравенства.

Вопросы:

1. Формулы решения простейших тригонометрических уравнений. Частные случаи решения.

2. Указать интервалы, в которых определены обратные тригонометрические функции:

y = arcsin x; y = arcos x; y = arctg x; y = arcctg x.

3. Основные виды тригонометрических уравнений и способы их решения.

4. В каких случаях наиболее эффектно решение уравнения вида a sin x + b cos x = c введением вспомогательного угла?

5. Покажите на тригонометрическом круге линии синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов.

6. При каких значениях х не существует тангенс? котангенс?

Задания:

Решите уравнения:

1. сtg2x = 3;

2. 2 sin 3x - 5 cos 3x - 5 = 0;

3. tg x + 3 сtg x = 4;

4. 5sin x + 3sin x cos x - 4 = 0;

5. 3sin x = 2(1- cos x);

6. cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x = 2;

7. sin x + sin 3x + sin 2x = 1;

8. sin 3x sin 5x = sin x sin 7x;

9. Найти корни уравнения cos 2x + cos 8x – cos 6x - 1 = 0,

принадлежащие промежутку ;

10. tgx +3tg x + 3сtg x + сtg x – 4 = 0;

11. sin 2x -12(sin x - cos x) + 12 = 0;

12. 2 sin11 x +sin5 x + cos 5x = 0.

Решите неравенства:

1. ≥ ;

2. sin 3x cos x + cos 3x sin x ≥;

3. tgx – 1 > 0;

4. 6sin x - 5sin x + 1 ≥ 0;

5. 11 – 2 cos x;

6. sin x > cos x.

Практическое задание № 7.

Тема: Обобщение понятия степени. Показательные, логарифмические и иррациональные уравнения и неравенства и их системы.

Вопросы:

1. Какие уравнения и неравенства называют иррациональными, показательными, логарифмическими?

2. Почему при решении иррациональных и логарифмических уравнений нужно делать проверку? Каким образом можно ее упростить?

3. Что является областью определения и множеством значений показательной ( логарифмической) функции?

4. При каких значениях а функции y = и y = logх являются возрастающими; убывающими?

5. Почему при решении показательных и логарифмических уравнений полагают, что

a > 0, a ≠ 1 ?

6. Как применяются свойства монотонности показательной и логарифмической функции при решении неравенств?

7. Какой метод используется при решении уравнений, содержащих переменную и в показателе степени, и в основании?

8. Чему равносильны условия:

а) = В(x);

б) = ;

в) < В(x);

г) > В(x);

д) =, где a > 0, a ≠ 1;

е) < , если a > 1; если 0 < a <

ж) log f(x) = log g(x), где a > 0, a ≠ 1;

з) log f(x) > log g(x) при a(1; +) и при a(0;1)?

Задания:

1. Докажите, что уравнение + = 1 не имеет корней. При каких значениях а

уравнение + = a имеет корни?

2. Решите уравнение: - = 8;

3. Решите уравнения, используя ведение новой переменной: - = 2.

4. Решите уравнение: + = ;

5. Найдите значения a, при которых выполняется равенство = a.

6. Решите неравенство:

а) + ≥ ;

б) < 1;

7. Решите уравнение:

а) = 5 ;

б) 3 + 3 + 3 = 45,5 + 22,75 + 11, 375 +… ;

в) 3*4 - 5*6 + 2*9 = 0;

8. Решите неравенство:

а) 2, 56 ≥ ;

ж) (х + 3) = (х + 3) .

б) (4 х+ 2 х + 1) > 1;

в) 1,2 < 1,2 ;

10. Решите уравнение:

а) log5- 1,25 = log;

б) х= ( ) ;

в) 6 + х = 12;

г) х = 8;

д) log = log + log ;

е) 4 log + 2 logx= 3 logx .

11. Решите неравенство:

а) log (2- 1)* log (2- 2) < 2;

б) log log < 0;

в) log(3 – 2х) > 1;

г) х< 100х;

.

Практическое задание №8.

Тема: Методы решения уравнений, систем уравнений, неравенств. Уравнения и неравенства с модулем и параметрами.

Вопросы:

1. При каких значениях коэффициента k уравнение k х = 5 имеет единственный корень? Существует ли значение k, при котором это уравнение не имеет корней; имеет бесконечное множество корней?

2. Не решая уравнения 7(2х + 1) = 13, докажите, что его корень не является целым числом.

3. При каких значениях n ровно один из корней уравнения х + (n + 3) х + - 3 = 0 равен нулю?

4. При каких значениях m оба корня уравнения х + (16 - m) х + m- 8 = 0 равны нулю?

5. При каких значениях m корни уравнения 4х + (5- 1) х + 3 m+ m = 0 равны по модулю, но противоположны по знаку?

6. Решите неравенства: х > 4 ; х ≤ 1.

7. Назовите подстановки, позволяющие свести данные уравнения к квадратным:

а) 3 x – 5 – 2 = 0;

б) (x - 1) - х + 2 x - 73 = 0;

в) (х + 3 x + 1)( х + 3 x +3) + 1 = 0;

г) (x + 1) (х + 2 x) = 12;

д) = ;

е) x = 5 + 4 .

Задания:

1. Решите уравнение: (x - 3)(x - 4)(x - 5)(x - 6) = 1680.

2. Решите уравнение: 4(х + 5)(х + 6) (х + 10)(х + 12) = 3х .

3. Решите уравнение: x- 2x- х - 2х + 1 = 0.

4. Решите уравнение: (х + х - 2)(х + х - 3) = 12.

5. Решите уравнение: (2х – 3х + 1)(2х + 5х + 1) = 9х .

6. Решите уравнение: (x - 8)+ (x - 6)= 16.

7. Решите уравнение: f (x) = f ( ), где f (x) = .

8. Не вычисляя корней уравнения 2 х - 5 х – 4 = 0, найдите

а) ;

б) xx+ xx;

в) ;

г) x+ x.

9. Докажите, используя неравенство Коши, что (a + 1) (a + 2) (a + 3) (a + 6) > 96 a,

где a > 0.

10. Решите неравенство: - ≥ 2 х – 1;

11. Решите неравенство: ≤ 2.

12. Решите неравенство: (x - 2)(x + 1)(4 – 4x) ( х + 2 + 5) < 0;

13. Решите систему уравнений:

(х + y- 25)( х + y - 8) = 0;

xy = 12.

14. Решите систему уравнений:

х + y= 28;

хy + x y = 12.

15. Решите систему уравнений:

хy + x y= 300;

xy + х + y = 37.

16. Изобразите множество решений системы неравенств на координатной плоскости:

х - y + 1 ≥ 0;

х + y - 3 ≤ 0;

х + 3y + 1 ≥ 0.

Практическое задание №9.

Тема: Обобщение и повторение курса планиметрии.

Вопросы:

1. Треугольники. Элементы треугольников. Равенство и подобие. Соотношения между сторонами и углами. Замечательные точки треугольника.

2. Четырехугольники и их свойства.

3. Окружность и круг, их элементы. Свойства вписанных и описанных многоугольников. Правильные многоугольники.

4. Решение треугольников. Теоремы.

5. Площади.

6. Метод координат и векторы на плоскости.

Задания:

Задача 1.

В треугольнике АВС длины сторон СВ, СА и АВ соответственно равны 4, 3 и 2см. Найти отношение, в котором точка пересечения биссектрис делит биссектрису угла (считая от вершины В).

Решение:

∆ АВС: = = = .

АС = 3см, поэтому АВ = 1см , В С = 2см.

∆ ВВ С: = = = .

Ответ: 2:1

Задача 2.

В равнобедренном треугольнике АВС длина основания АВ равна см, угол при основании равен 30˚. Найдите длину биссектрисы АD.

Решение:

∆ АВС: А = В = 30˚.

∆АDВ: DАВ = 15 ˚, поэтому

АDВ = 180˚ - (30˚ + 15 ˚ ) = 135˚.

= ,

следовательно

АD = * : =1 (см).

Ответ: 1см.

Задача 3.

Стороны ∆ АВС равны 13см, 14см, 15см, О – точка пересечения медиан. Найдите площадь треугольника АОС.

Решение:

а = 13см, в = 14см, с = 15см.

р = (13+14+15) : 2 = 21(см).

S=84cм – площадь треугольника АВС.

84 : 3 = 28 (см ) – площадь треугольника АОС.

Ответ: 28 см .

Задача 4.

Стороны угла АВС, равного 60˚, касаются двух окружностей с центрами О и О , касающихся одна другой ( О - центр меньшей окружности).СО = 12см. Найдите радиус окружности с центром О

Решение:

АСО =30˚,

следовательно О Н = 0,5 СО = 6см = О К.

СО = СО - О К -О К =

= 12 – 6 – R = 6 – R (см).

СО : О Н = 2, поэтому

(6- R) : R = 2.

6-R = 2 R

3R = 6

R = 2 см.

Ответ: R = 2 см.

Задача 5.

Медианы, проведенные к катетам прямоугольного треугольника, равны а и в. Найдите гипотенузу.

Решение:

Пусть ВС = х, АС = у, тогда А С = , В С = .

Рассмотрим треугольники ВВ С и АА С:

х + ( ) = в ,

( ) + у = а .

х + у = а + в ,

х + у = (а + в ).

Так как АВ = а + в , то АВ= 2 .

Ответ: 2 .

Задача 6 .

В прямоугольном треугольнике медианы, проведенные к катетам, равны и . Найдите гипотенузу треугольника.

Решение:

П усть СВ = х , СА = у, тогда СА = 2х , СВ =2у.

Применив теорему Пифагора к треугольникам СВ В и СА А, получим систему уравнений:

(2х ) + у = 52,

х + (2у ) = 73.

Складывая левые и правые части уравнений, получим

5х +5у = 125,

х + у = 25,

=5.

Из треугольника АВС : АВ = 2 = 2*5 = 10.

Ответ: 10.

Задача 7.

Найдите углы равнобедренного треугольника, если известно, что найдется

прямая, проходящая через вершину угла при основании, делящая исходный треугольник на два равнобедренных.

Решение:

С лучай 1:

АD = АС, поэтому 1 = 2 = ;

АDС – внешний, поэтому 3 + 4 = 2 = , следовательно , т.к. АD=АВ, то 3 = 4 = .

Сумма углов треугольника равна 180˚, поэтому А + 1 + 4 = 180˚, тогда

2 + = 180˚,

= 180˚,

= 72˚, т.е. А = С = 72˚,

В = 72˚: 2 = 36˚.

Случай 2:

АD = АВ, поэтому 1 = 2 =

АDС – внешний, поэтому АDС = 1 + 2 = 2 , следовательно

4 = 2 , т.к . АD = АС.

3 = 180˚ - ( 4 + АDС) = 180˚ - 4 .

Сумма углов треугольника АВС равна 180˚, поэтому

2 * (180˚ - 4 ) + = 180˚,

7 = 180˚,

= (25 )˚ = В,

А = С =180˚ - 4 = 180˚ - 4 * (25 )˚ = (77 )˚.

Ответ: 36˚, 72˚, 72˚ и 25 ˚; 77 ˚, 77 ˚;

Задача 8.

Дана трапеция АВСD с основаниями ВС=12 см и АD=27 см. Найдите диагональ АС, если АВС= АСD.

Решение:

У глы 1 и 2 равны как накрест лежащие при

параллельных прямых ВС и АD.

Углы АВС и АСD равны по условию, поэтому

треугольники АВС и АСD подобны. Отсюда следует, что

ВС : АС = АС : АD, т.е. 12 : АС = АС : 27.

АС = = = 2*3*3 = 18 (см).

Ответ: 18 см.

Задача 9.

Концы одного диаметра удалены от касательной к окружности на 2,4 дм и 1,8 дм. Найдите диаметр окружности.

Решение:

А ВСD – трапеция, т.к. АС СD и ВD СD.

ОН – средняя линия, т.к. ОН СD, следовательно

ОН || АС || ВD.

Т.к. АО = ВО, то СН = DН, следовательно

ОН = (1,8 + 2,4) :2 = 2,1 (см) =R.

D = 2 R = 2* 2,1 = 4,2 (см).

Ответ: 4,2 см.

Задача 10.

В трапеции АВСD АD и ВС – основания, АD : ВС = 4 : 3. Площадь трапеции равна 70 см . Найдите площадь треугольника АВС.

Решение:

1 способ (см. рис. 1):

У глы АСВ и САD равны как накрест лежащие, поэтому

= , тогда =, поэтому

S =

Рис. 1

= *70 = =30 (см )

2 способ (см. рис. 2):

S = , S = h = ,

поэтому S = = *70 = 30 (см ).

Рис. 2

Ответ: 30 см .

Задача 11.

В трапеции основания равны 5 и 15, а диагонали 12 и 16. Найдите площадь трапеции Решение:

Т реугольники АОD и СОВ подобны по двум углам,

k = = =3,

следовательно,

ВО = х, ОD = 3х.

Так как ВD =16,

то х + 3х = 16,

х = 4,

следовательно,

ВО = 4, ОD =12.

Аналогично

АС = 12, АО = 9.

∆ ОВС – прямоугольный, т.к.

3 + 4 = 5 , следовательно,

О = 90˚

S= 0, 5 АС * ВD = 0,5 * 12 * 16 = 96. Ответ: 96.

З адача 12.

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, равна 4 . Один из катетов равен 8. Найдите площадь исходного треугольника.

Решение:

А Н = = = = 4;

= ,

следовательно АВ = = = 16.

S = 0,5 АВ * СН =0,5*16*4 = 32 .

Ответ: 32 .

Практическое задание №10.

Тема: Обобщение и повторение курса стереометрии.

Вопросы:

1. Назовите признаки: параллельности прямой и плоскости, двух плоскостей; перпендикулярности двух плоскостей.

2. Какие прямые называются скрещивающимися?

3. Что принимают за расстояние между скрещивающимися прямыми?

4. Каким образом можно установить, что две плоскости перпендикулярны?

5. Как определяются координаты точки в пространстве?

6. Чему равны координаты точки, делящей отрезок с заданными координатами в отношении ?

7. Чему равно расстояние между двумя точками с заданными координатами?

8. Как определяется угол между пересекающимися (скрещивающимися) прямыми в пространстве?

9. Дайте определение угла между прямой и плоскостью.

10. Что такое скалярное произведение двух векторов?

11. Каким образом можно установить перпендикулярность двух векторов?

12. Что такое диагональное сечение?

13. Чему равны площадь поверхности и объем призмы, пирамиды, конуса, цилиндра, шара?

14. Как можно вычислить объем тела вращения?

15. Где находится центр сферы, вписанной в правильную призму, пирамиду?

16. Где находится центр сферы, описанной вокруг правильной призмы, пирамиды?

17. Как найти объем шарового сектора, сегмента, слоя?

Задания:

1. Основанием пирамиды служит ромб со стороной, равной a и острым углом . Двугранные углы при основании равны . Найдите радиус шара, вписанного в эту пирамиду. Ответ: 0,5 a sin tg.

2. Найдите ребро куба, вписанного в конус, образующая которого равна l и наклонена к плоскости основания под углом . Ответ: .

3. Основанием пирамиды служит ромб со стороной, равной a и острым углом . Двугранные углы при основании равны . Найдите объем и площадь полной поверхности. Ответ: ; .

4. Около шара радиуса r описан конус. Наибольший угол между образующими конуса прямой. Найдите площадь полной поверхности конуса. Ответ: r(5 + 7).

5. Найдите площадь боковой поверхности и объем усеченного конуса, описанного около шара, если его образующая равна 13 см, а радиус шара 6 см. Ответ: 169см , 532 см .

6. В наклонном параллелепипеде основание и боковая грань – прямоугольники, площади которых соответственно равны 20 см и 24 см , а угол между их плоскостями равен . Одна из боковых граней параллелепипеда имеет площадь 15 см . Найдите объем параллелепипеда.