Файл: УМК Избранные главы 11 класс.doc

Для корней нечетной степени справедливо равенство = - .

Для любого действительного х

, если п четно;

=

, если п нечетно.

Для любого натурального п, целого k и любых неотрицательных чисел а и b справедливы равенства:

1) = ;

2) = (b≠ 0);

3) = ( k > 0);

4) = ( k > 0);

5) ( ) (если k ≤ 0, то а≠0 );

6) Для любых чисел а и b, таких, что 0 ≤ а < b, выполняется неравенство < .

2. Иррациональные уравнения.

Уравнения, в которых под знаком корня содержится переменная, называются иррациональными.

Одним из методов решения иррациональных уравнений является возведение обеих его частей в степень, соответствующую степени корня, или замена переменной. При возведении в четную степень возможно появлении посторонних корней, поэтому необходимо делать проверку или указывать соответствие полученных корней ОДЗ (области допустимых значений переменной). Удобно также использовать при решении уравнения равносильные переходы:

а) А(х) = В (х),

= В(x)

В(x) ≥ 0.

б) А(х) = В(х),

=

В(x) ≥ 0.

3. Иррациональные неравенства.

а) Любое неравенство вида < В(x) равносильно системе неравенств А(х) ≥ 0, В(x) > 0,

А(х) < В (х):

А(х) ≥ 0,

< В(x) В(x) > 0,

А(х) < В (х).

Первое из них выражает неотрицательность подкоренного выражения, второе – неотрицательность корня, третье следует из того, что при а ≥ 0, b≥ 0 неравенства а < b и

< выполняются одновременно.

б) Любое неравенство вида > В(x) равносильно совокупности систем неравенств

В(x) ≥ 0, В(x) < 0,

А(х) > В (х) и А(х) ≥ 0.

4. Показательные уравнения.

1) Показательными называются уравнения, содержащие переменную в показателе степени. Простейшим из показательных уравнений является = b, где a > 0, a ≠ 1.

Если b < 0, то это уравнение не имеет решений, поскольку значения положительны. Если же b > 0, то существует единственное значение x, удовлетворяющее этому уравнению: x = log.

2) Решение показательного уравнения вида = , где a > 0, a ≠ 1, основано на том, что это уравнение равносильно уравнению f(x) = g(x).

3) Уравнение вида A + В + С = 0 с помощью подстановки = y сводится к квадратному уравнению A + В y + С = 0.

5. Показательные неравенства.

1) Неравенства, содержащие переменную в показателе степени, называются показательными.

2) Решение показательных неравенств вида < , где a > 0, a ≠ 1, основано на свойстве монотонности показательной функции:

если a > 1, то ( < ) (f(x) < g(x)), т.к. функция y = возрастает;

если a < 1, то ( < ) (f(x) > g(x)), т.к. функция y = убывает.

6. Логарифмические уравнения.

1) Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим. Простейшим примером логарифмического уравнения служит уравнение log x = b, где a > 0, a ≠ 1;

2) Решение логарифмического уравнения вида log f(x) = log g(x), где a > 0, a ≠ 1, основано на том, что это уравнение равносильно уравнению f(x) = g(x) при дополнительных условиях f(x) > 0, g(x) > 0;

3) Переход от уравнения log f(x) = log g(x) к уравнению f(x) = g(x) иногда приводит к появлению посторонних корней. Такие корни можно выявить либо с помощью подстановки найденных корней в исходное уравнение, либо с помощью нахождения области определения исходного уравнения:

f(x) = g(x),

log f(x) = log g(x) f(x) > 0,

g(x) > 0.

4) При решении логарифмических уравнений часто бывает полезен метод введения новой переменной.

5) При решении уравнений, содержащих переменную и в основании, и в показателе степени, используется метод логарифмирования. Если при этом в показателе степени содержится логарифм, то обе части уравнения надо прологарифмировать по основанию этого логарифма.

7. Логарифмические неравенства.

1) Неравенства, содержащие переменную под знаком логарифма, называются логарифмическими. Например, неравенства log f(x) > log g(x), log f(x) < log g(x)

где a > 0, a ≠ 1, называются логарифмическими.

2) Неравенство log f(x) > log g(x) равносильно системе f(x) > g(x) > 0 при a (1; + ) и системе 0 < f(x) < g(x) при a (0;1).

3) При решении логарифмических неравенств следует учитывать общие свойства неравенств, свойство монотонности логарифмической функции и область ее определения.

8. Системы иррациональных, показательных и логарифмических уравнений и неравенств.

Известные способы решения систем алгебраических уравнений и неравенств применяются и к решению систем, содержащих иррациональные, показательные и логарифмические уравнения и неравенства.

Тема лекции 6. Методы решения уравнений, систем уравнений, неравенств. Уравнения и неравенства с модулем и параметрами.

1. Уравнения с одной переменной.

Пусть заданы функции f(x) и g(x). Если относительно равенства f(x) = g(x) поставлена задача отыскания всех значений переменной, при которых получается верное числовое равенство, то говорят, что задано уравнение с одной переменной.

Значение переменной, обращающее уравнение в верное равенство, называется корнем уравнения.

Решить уравнение – значит найти множество его корней или доказать, что их нет.

Множество всех значений переменной х, при которых одновременно имеют смысл выражения f(x) и g(x), называется областью определения уравнения. Для того, чтобы установить область определения уравнения, необходимо найти пересечение множеств, на которых определены функции f(x) и g(x).

Два уравнения называются равносильными на данном множестве, если они имеют одинаковые корни (или оба не имеют корней). Если среди корней есть совпадающие, то говорят, что у многочлена есть кратные корни. Поэтому два уравнения, имеющие одни и те же корни (без учета кратности), считаются равносильными.

Свойства равносильности уравнений:

1. Если к обеим частям уравнения прибавить одну и ту же функцию А(х), имеющую смысл при всех допустимых значениях переменного, то получится уравнение, равносильное данному.

2. Если обе части уравнения умножить (или разделить) на одну и ту же функцию

А(х) ≠ 0, имеющую смысл при всех допустимых значениях переменного, то получится новое уравнение, равносильное данному.

3. Любое слагаемое можно перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком.

Линейное уравнение a х = b имеет:

1. если a ≠ 0 - единственный корень х = - ;

2. если a = 0, b = 0 - бесконечное множество корней (хR);

3. если a = 0, b ≠ 0 – не имеет корней.

Пусть дано уравнение вида f (a,b,c,…k, x) = g (a,b,c,…k, x), где a,b,c,…k, x – переменные величины.

Переменные a,b,c,…k, которые при решении уравнения считаются постоянными, называются параметрами, а само уравнение называется уравнением, содержащим параметры. Решить уравнение с параметрами – значит указать, при каких значениях параметров существуют значения х, удовлетворяющие данному уравнению.

Уравнение вида a х + b x + с = 0, где a, b и с – некоторые числа, причем a ≠ 0, называется квадратным.

Формула корней квадратного уравнения имеет вид:

х= ,

выражение b- 4ac называется дискриминантом квадратного уравнения и обозначается буквой D.

1. Если D > 0, то уравнение имеет два различных действительных корня;

2. Если D = 0, то уравнение имеет два равных действительных корня ( корень кратности два): х = - ;

3. Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Если уравнение имеет вид a х + 2 k x + = 0, то удобнее пользоваться формулой корней

х= , где D= k- aс – дискриминант данного уравнения.

Квадратное уравнение, в котором коэффициент a равен 1, называется приведенным.

Если дискриминант квадратного трехчлена больше нуля, то этот трехчлен можно представить в виде a х + b x + с = a(x – х)( х - х), где х и х - корни трехчлена.

Основные методы решения уравнений высших степеней – замена переменной и разложение на множители. В отдельных случаях при решении уравнений целесообразно использовать свойства монотонности и ограниченности функций.

Алгебраическое уравнение четвертой степени вида

a х + b х + с = 0,

где a, b, с – некоторые действительные числа, называется биквадратным уравнением.

Заменой х = y уравнение сводится к квадратному уравнению a х + b x + с = 0 с последующим решением двух двучленных уравнений х = y и х = y

(y и y - корни соответствующего квадратного уравнения).

Решение уравнений вида

a х + b x + с = 0

(а ≠ 0, k – натуральное число) заменой х = y сводится к решению квадратного уравнения a х + b x + с = 0 с последующим решением соответствующих двучленных уравнений.

Алгебраическое уравнение четвертой степени вида

a х+ b х + c х + d х + e = 0

называется возвратным (e ≠ 0), если существует такое число ≠ 0, что между коэффициентами уравнения a, b, c, d, e имеют место соотношения d = b, e =a, или , что то же самое, имеет место равенство

= .

Используя эту связь между коэффициентами, уравнение можно записать в виде

a х+ b х + c х + b х + a = 0.

Так как x = 0 не является корнем данного уравнения, то, разделив почленно обе его части на х и проведя группировку членов левой части уравнения, получим уравнение

a (х + ) + b(х + ) + c = 0.

Теперь заменой х + = y (учитывая, что х + = y- 2 ) последнее уравнение сводится к квадратному относительно y:

a y+ b y + c - 2 a = 0.

Найдя y из этого уравнения, возвращаемся к подстановке и находим значение х.

Частным случаем возвратных уравнений являются симметрические уравнения

( соответствующие = 1)

a х+ b х + c х + b х + a = 0

и кососимметрические (соответствующие = - 1)

a х+ b х + c х - b х + a = 0.

Заменой х + = y для симметрического и х - = y для кососимметрического уравнений эти уравнения сводятся к квадратным уравнениям.

Уравнение четвертой степени вида

( х + b x + с)( х + b x +d) = k,

где b, c, d, k – некоторые действительные числа, заменой

х + b x = y

так же сводится к квадратному уравнению

y+ (c + d) y – k = 0.

Решение уравнения вида

x(x + a)( х + b)( х + a + b) = с

может быть сведено к решению совокупности двух квадратных уравнений следующим способом:

Объединяя произведения первого с четвертым и второго с третьим множителей, стоящих в левой части уравнения, получаем уравнение

(х+ (a + b) x)( х+ (a + b) x + a b) = c,

которое заменой

х + (a + b) x = y

сводится к квадратному относительно новой неизвестной y.

При решении уравнений высших степеней с целыми коэффициентами можно для понижения степени использовать теоремы Виета и Безу и деление многочленов «уголком».

Если уравнение

a х+ a х+ … + a= 0, a≠ 0

имеет целые коэффициенты, а старший коэффициент равен 1, то рациональными корнями этого уравнения могут быть только целые числа, являющиеся делителями свободного члена a. Если число k является одним из таких корней, то многочлен

P(x) = a х+ a х+ … + a

делится на (x- k).

Уравнения вида

(х - a)( х - )( x - c)( x - d) = А,

где a < < c < d, - a = d – c, можно решить, используя замену переменной, приводящей к симметризации уравнения:

y = = х - .

Для решения уравнения вида

(х - a) + ( х - ) = А

также используют метод симметризации, делая замену y = = х - .

Уравнения вида

(х - a)( х - )( x - c)( x - d) = А х ,

где a= c d, сводится к решению совокупности двух квадратных уравнений при помощи замены y = х + .

Пример. Решить уравнение

(х + 2)( х + 3)( х + 8)( х + 12) = 4 х .

Решение. Так как (-2)(-12) = (-3)(-8), то, перемножив в левой части уравнения первую и четвертую скобки, а так же вторую и третью, получим

(х + 14 х + 24)( х + 11 х + 24) = 4 х .

Так как х = 0 не является корнем данного уравнения, разделим обе части на х . Получим уравнение

( х + 14 + )( х + 11 + ) = 4.

Сделав замену y = х + , получим

( y +14 )( y +11) = 4,

откуда y= -10, y= -15.

Таким образом, получаем совокупность двух уравнений

х + = -10 или х + = -15.

Решая ее получим ответ: х= -6, х= -4, х= , х= .

Уравнения, содержащие неизвестное под знаком модуля, можно свести к уравнениям, не содержащим знак модуля, используя определение модуля.

Рассмотрим решение уравнения, содержащего несколько слагаемых, находящихся под знаком модуля:

+ = с.

Отметим на числовой прямой точки a и b (нули функций, стоящих под знаком абсолютной величины). Эти точки разобьют числовую прямую на три промежутка. Отметим промежутки знакопостоянства для каждого из выражений х- a и х- b. Составим совокупность трех систем, каждая из которых задает один из промежутков и соответствующее этому промежутку уравнение, не содержащее знак модуля. Решение этой совокупности систем и будет являться решением исходного уравнения. Рассмотренный метод можно применить для любого числа слагаемых.

Рациональным называется уравнение вида

= 0,

где P(x) и Q(x) – многочлены (Q(x) тождественно не равен нулю).

Решение данного уравнения сводится к решению уравнения P(x) = 0 и проверке того, что его корни удовлетворяют условию Q(x) ≠ 0.

Уравнение вида

+ = С,

где ABC ≠ 0 ac ≠ 0, заменой переменной

y = a х +

cводится к решению уравнения

+ = С.

Аналогично решаются уравнения вида

= A

и = , A ≠ 0.

При решении рациональных уравнений иногда применяются методы:

- выделения полного квадрата;

- использующие однородность уравнения относительно некоторых функций;

- сведения к решению систем или совокупности уравнений;

- сведения к некоторым специальным уравнениям (квадратным, биквадратным, возвратным, симметрическим и т.п.);

- графический.

Основными методами решения систем уравнений являются методы:

- сложения (умножения, деления);

- подстановки;
- разложения систем (разложения на множители левой или правой части одного из уравнений);

- использования симметричности и однородности уравнений.

Система уравнений называется симметрической системой, если все многочлены в составе уравнений являются симметрическими, т.е. их значения не изменяются при любой перестановке их аргументов. Например, многочлены

,

,

………………………………………………..