Файл: УМК Избранные главы 11 класс.doc

Для элементарных функций справедливы следующие положения:

1) область непрерывности элементарной функции совпадает с её областью определения, т.е. элементарная функция непрерывна во всей области определения;

2) элементарная функция может иметь разрыв только в отдельных точках какого-либо промежутка, но не во всех его точках;

3) элементарная функция может иметь разрыв только в той точке, в которой она не определена.

Функция называется непрерывной в промежутке, если она непрерывна во всех точка этого промежутка.

Достаточный признак возрастания (убывания) функции: Если (x) > 0 в каждой точке интервала I, то функция f(x) возрастает на I. Если (x) < 0 в каждой точке интервала I, то функция f(x) убывает на I.

Внутренние точки области определения функции, в которых производная равна 0 или не существует, называются критическими точками этой функции.

Необходимое условие экстремума (теорема Ферма): Если точка х является точкой экстремума функции f и в этой точке существует производная , то она равна нулю: ( х ) = 0.

Признак максимума функции: Если функция f непрерывна в точке х , а (x) > 0 на интервале (а; х ) и (x) < 0 на интервале ( х ;b), то точка х является точкой максимума функции f.

Признак минимума функции: Если функция f непрерывна в точке х , а (x) < 0 на интервале (а; х ) и (x) > 0 на интервале (х ;b), то точка х является точкой минимума функции f.

Для нахождения наибольшего или наименьшего значения функции на промежутке, в котором она имеет конечное число критических точек, нужно вычислить значения функции во всех критических точках и на концах промежутка и выбрать из них наибольшее и наименьшее.

График дифференцируемой функции f(x) называется вогнутым вверх (вогнутым вниз) на интервале I, если отрезок кривой у = f(x) расположен выше (соответственно ниже) касательной, проведенной в любой точке этого отрезка.

Достаточным условием вогнутости в предположении существования второй производной (x) является выполнение неравенства (x) > 0 ( (x) < 0) при хI.

Точки, в которых меняется направление вогнутости графика функции, называются точками перегиба. Точка х, для которой (x) = 0 либо (x) не существует, есть точка перегиба, если (x) меняет свой знак при переходе через значение х.

Асимптотой кривой называется прямая, к которой неограниченно приближается точка кривой при ее неограниченном удалении от начала координат. Различают вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.

Вертикальные асимптоты. График функции у = f(x) при имеет вертикальную асимптоту, если или ; при этом точка х= а есть точка разрыва II рода. Уравнение вертикальной асимптоты имеет вид х = а (рис.1).

Горизонтальные асимптоты. График функции y=f(x) при или при имеет горизонтальную асимптоту, если или Может оказаться, что либо только один из этих пределов конечный, либо ни одного. Тогда график имеет или одну горизонтальную асимптоту, или ни одной. Уравнение горизонтальной асимптоты имеет вид у = b (рис.2).

у y у у

у=f(x)

y=f(x) у=f(x) х x

0 0 у=в

х=а x=a y=в

y=f(x) х 0

0

а) б) а) б)

рис.1 рис.2

Наклонные асимптоты. Пусть график функции y= f(x) имеет наклонную асимптоту

у = kx+b. В этом случае справедливы формулы для вычисления параметров k и b:

. (рис.3).

Следует отдельно рассматривать случаи и и в каждом из них определить знак разности f(x) – (kx + b). Если он будет «+», то кривая расположена над асимптотой, если «-», то под ней. Если же эта разность при и не будет сохранять неизменного знака, то кривая будет колебаться около своей асимптоты.

у y=f(x) y

y=f(x)

у=kx+b y=kx+b

x

0 х 0

a) б)

рис.3

6. Общая схема и следования функции.

I. 1. Область определения функции. Вертикальные асимптоты.

2. Четность, периодичность.

3. Нули функции. Точки пересечения графика с осями.

4. Промежутки знакопостоянства функции.

II. Исследование с помощью производной.

1. Критические точки. Промежутки монотонности.

2. Экстремумы.

3. Наибольшее и наименьшее значение функции. Область значений функции.

III. Исследование с помощью второй производной.

1. Выпуклость (вогнутость) графика.

2. Точки перегиба.

IV. Горизонтальные и наклонные асимптоты.

Тема лекции 3. Тригонометрические формулы. Тождественные преобразования тригонометрических выражений.

Тригонометрические функции связаны между собой многочисленными соотношениями.

Первая серия формул - основные тригонометрические тождества - описывает связь между функциями одного аргумента.

sin+ cos= 1,

tg = ,

ctg = ,

tg ctg = 1,

1+ tg = ,

1+ ctg = ,

sec = , cos ≠ 0,

cosec = , sin ≠ 0 .

Вторая серия – формулы приведения – происходит от симметрии и периодичности движения точки по окружности. Формулами приведения называются формулы, с помощью которых значения тригонометрических функций аргументов + , - ,

+ , - , + , - , 2+ , 2- выражаются через значения sin , cos , tg и ctg . Для облегчения запоминания этих формул нужно использовать следующие правила:

а) при переходе от функций углов + , - , + , - к функциям угла исходная функция изменяет название на кофункцию;

при переходе от функций углов + , - , 2+ , 2- к функциям угла название функции сохраняют;

б) перед полученной функцией ставят такой знак, какой имеет приводимая функция в исходной четверти, считая угол острым.

Третья серия – формулы сложения - получается при изучении поворотов.

sin ( + ) = sin cos + sin cos

sin ( - ) = sin cos - sin cos

cos( + ) =cos cos - sin sin

cos( - ) =cos cos + sin sin

Формулы сложения являются одними из основных формул, связывающих тригонометрические функции. Из них можно вывести различные следствия. Так, полагая = , получаем формулы удвоения. Применяя основное тригонометрическое тождество к преобразованию косинуса двойного угла, получаем формулы, используемые для понижения степени синуса или косинуса:

1+ cos2 = 2 cos

1- cos2 = 2 sin .

Используя правые части этих формул, легко вывести формулы для выражения тангенса половинного угла через синус и косинус.

Из формул двойных углов можно вывести формулы для синуса и косинуса половинного угла, но такие формулы часто неудобны, так как они содержат радикалы и при определении знака функции необходимо знать, в какой четверти лежит искомый угол.

Обилие тригонометрических формул связано с тем, что между основными тригонометрическими функциями – синусом, косинусом и тангенсом – есть соотношения, позволяющие по-разному написать одно и то же выражение. Оказывается, все тригонометрические функции от аргумента x выражаются через тангенс половинного угла рационально, без квадратных корней:

sin x = ,

cos x = .

tg x = .

При использовании этих формул необходимо учитывать область определения дробей и функций.

Пользуясь этими формулами, можно функцию вида у = a sinx+ b cosx + c представить в виде рациональной функции от tg, что, в частности, может быть удобным при решении уравнений вида a sinx+ b cosx + c = 0.

Формулы сложения синусов и косинусов:

sin + sin= 2 sin cos;

sin - sin = 2 sin cos ;.

cos + cos = 2 cos cos ;

cos + cos = 2 sin sin .

Формулы для преобразования произведений синуса и косинуса в сумму получаются из формул сложения синусов и косинусов:

sin x cos y = ( sin(x+y) + sin(x-y)),

sin x sin y = - ( cos(x+y) + cos(x-y)),

cos x cos y = ( cos(x+y) + cos(x-y)).

Формирование навыков тождественных преобразований тригонометрических выражений требует специальной тренировки, которая осуществляется с помощью достаточно большого числа упражнений.

Кроме названных формул, для тождественного преобразования тригонометрических выражений используется весь изученный ранее математический аппарат: способы разложения на множители, применение формул сокращенного умножения и т.д.

Несмотря на обилие формул, прослеживание взаимосвязей между ними, последовательности их выведения, выполнение большого числа тренировочных упражнений позволяют приобрести устойчивые навыки в их применении.

Тема лекции 4. Тригонометрические уравнения и неравенства.

Тригонометрическим уравнением называется уравнение, содержащее неизвестное только в аргументе тригонометрической функции. Основная цель при решении тригонометрических уравнений состоит в преобразовании тригонометрических выражений, входящих в уравнение, таким образом, чтобы рассматриваемое уравнение привелось к нескольким простейшим уравнениям, которые решаются стандартным способом.

В каждом конкретном примере необходимо найти свой способ преобразования рассматриваемого уравнения. Иногда приходится перебирать разные преобразования, применять различные идеи, прежде чем удастся найти тот путь, который приведет к цели. Успех в решении тригонометрических уравнений будет достигнут при наличии хороших знаний тригонометрических формул и умений грамотно проводить тригонометрические преобразования, что вырабатывается только достаточной практикой.

Решение тригонометрического уравнения можно свести к решению нескольких простейших тригонометрических уравнений следующими методами:

- разложение на множители;

- введение новой переменной;

- введение вспомогательного угла;

- использование ограниченности функций y = sinx, y = cosx.

Важно отметить, что форма записи корней тригонометрического уравнения часто зависит от того, какой метод применяется для решения данного уравнения.

Основные виды тригонометрических уравнений и способы их решения.

1. Простейшие тригонометрические уравнения:

sin x = а, где -1 а 1. x = (-1)arcsin a + n, nZ;

cosx = а, где -1 а 1. x =arcos a +2 n, nZ;

tg x = а x = arctg a + n, nZ;

ctg x = а x = arcctg a + n, nZ.

Для решения уравнений вида sinx =а, cos x =а, tg x =а и ctg x =а удобны формулы:

sin x = а, x =arсsin + n, nZ;

cos x = а, x =arсcos + n, nZ;

tg x = а, x =arc tg + n, nZ;

ctg x = а, x =arcctg + n, nZ.

2.Алгебраические относительно одной из тригонометрических функций:

3. Однородные уравнения:

а) a sin x + b cos x = 0;

делим обе части уравнения на cos x 0 (так как если cos x = 0, то из условия следует, что и sin x = 0, что противоречит тригонометрической единице: sin + cos = 1) и получаем простейшее уравнение относительно tg x;

б) a sin x + b sin x cos x + c cos x = 0;

делим обе части уравнения на cos x 0 (так как если cos x = 0, то из условия следует, что и sin x = 0, что противоречит тригонометрической единице: sin + cos = 1) и получаем простейшее уравнение относительно tg x и т.д.

4. Понижение степени уравнения.

Применение формул sin = ( 1- cos2 ) и cos = ( 1+ cos2 ) позволяет понизить степень уравнения с одновременным удвоением величины угла.

5. Преобразование уравнения с помощью тригонометрических формул:

а) преобразование суммы тригонометрических функций в произведение с помощью формул

sin + sin= 2 sin cos;

sin - sin= 2 sin cos ;.

cos + cos = 2 cos cos ;

cos + cos = 2 sin sin ;

б) преобразование произведения тригонометрических функций в сумму с помощью формул

sin x cos y = ( sin(x+y) + sin(x-y));

sin x sin y = - ( cos(x+y) + cos(x-y));

cos x cos y = ( cos(x+y) + cos(x-y));

в) применение различных формул для упрощения уравнения.

6. Условие равенства одноименных тригонометрических функций.

Учитывая периодичность тригонометрических функций, в уравнениях вида

sin x = sin y и cos x = cos y имеем:

x + 2 n = y, nZ.

В уравнениях вида

tg x = tg y и сtg x = сtg y соответственно

x + n = y, nZ.

Решение тригонометрических неравенств.

Неравенства, содержащие переменную только под знаком тригонометрической функции, называются тригонометрическими. Решение простейших тригонометрических неравенств удобно иллюстрировать на тригонометрическом круге или графике. Для решения более сложных неравенств необходимо привести их к простейшим (в том числе к системе или совокупности), используя тригонометрические и (или) алгебраические формулы. Для решения тригонометрических неравенств используют свойства монотонности тригонометрических функций, а так же промежутки их знакопостоянства.

Общие рекомендации:

а) При решении простейших неравенств

sin x ≥ a, cos x ≥ a, tg x ≥ a, сtg x ≥ a, (< ; >, ) :

1) отметить на линии синусов (косинусов, тангенсов, котангенсов) числовой промежуток, соответствующий условию неравенства;

2) отметить на окружности дугу, соответствующую данному промежутку, и центральный угол;

3) на ближайшем к началу отсчета конце дуги отметить число, равное arcsin a (arccos a, arctg a, arcctg a);

4) используя свойства симметрии и, учитывая, что положительным является направление против часовой стрелки, отметить число, соответствующее второму концу дуги;

5) переходя от частного решения к общему, прибавить к концам полученного промежутка числа, кратные наименьшему периоду функции (2 n для sin x и cos x , n для tg x и

сtg x, nZ);

6) записать общее решение в виде неравенства или числового промежутка.

б) При решении неравенств, сводящихся при замене тригонометрической функции новой переменной к рациональным, использовать дополнительно метод интервалов.

Тема лекции 5. Обобщение понятия степени. Показательные, логарифмические и иррациональные уравнения и неравенства и их системы.

1. Обобщение понятия степени.

Определение. Арифметическим корнем п -ой степени из числа а называют неотрицательное число, п-ая степень которого равна а.

Рассмотрим функцию f(x) = x . При четных п функция f(x) = x четна. Отсюда следует, что если а > 0, то уравнение x = а, кроме корня х = , имеет также корень х = - . Если а = 0, то корень один: х = 0; если а < 0, то это уравнение корней не имеет, поскольку четная степень любого числа неотрицательна. При нечетных п функция f(x) = x нечетна и возрастает на всей числовой прямой, ее область значений – все действительные числа. Уравнение x = а имеет один корень при любом а: х = . Итак, при четном п существует два противоположных корня п-ой степени из положительного числа а, корень п-ой степени из числа 0 равен 0, корень п-ой степени из отрицательного числа не существует. При нечетном п существует корень п-ой степени из числа а, и притом только один.